1999年高考数学理科试卷分析(1)

1、普通高考数学科试题符合《考试说明》的各项规定，考试内容与能力要求恰当合理，试题和试卷的结构严谨科学，达到选拔性考试的要求，题型设计继承和发扬了多年来高考数学科试题所形成的“立意鲜明，取材讲究，形式多样，层次分明”等优点，并有进一步创新和发展，增强了考试的活力。

1999年高考试题减少了一道客观题，客观题分值减少5分，同时主观题分值增加了5分，体现出减少计算量、降低解题速度及提高能力的要求。

题型结构的比例为：选择题：填空题：解答题=4：1：5。

试卷的分半信度和alf信度都超过了0.8的合格水平，80%以上的试题的区分度达到0.3的合格水平，三分之二的试题达到0.4的优秀水平，为高等学校录取新生提供了可靠的数学分数。

2、试题特点
（1）整体保持稳定，重视考察“三基”的掌握程度
今年的试题能全面考查高中数学的基础知识，但不可以追求知识的覆盖率，着重考查支撑学科知识体系的知识主干，代数、立体几何、解析几何都是考察了该学科中的重点内容。

如函数是高中代数中最基本也是最重要的内容，试题中第（1）~（5）题，考查了函数的基本概念和性质，理（20）题、文（21）题、理（23）题分别考察了函数的最值、图象、解析式、定义域等，考查函数试题的分值占总分的30%。

试题结合基础知识考查了基本数学思想和数学方法。

考查的基本数学方法有配方法（第（6）、（24）题）、换元法（第（17）题）、穷举法（第（14）、（16）题）、待定系数法（第（8）题）、数学归纳法（理（23）题）等，同时比较深入地考查了函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、化归与转化的思想等基本数学思想方法的运用，这些基本思想和方法在许多试题中均有体现。

（2）以能力立意命题，加强对知识综合性和应用性的考查。

1999年命题突出以能力立意，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，对知识的考查侧重于理解和应用，特别是知识的综合性和灵活应用，试题的知识载体落在知识网络的交汇点上。

如理科第（20）、文科第（21）题，以椭圆参数方程为背景，复数为依托，三角变换为工具，函数的最值为考查目的，不同的知识块在网络交汇点融为一体。

又如文理科第（24）题，融汇了圆锥曲线、直线的主要知识，并联系平面集合中有关角、线段比等知识，有很强的综合性。

试题提高了考生对解决问题的能力的要求，增加思考量，控制计算量，要求考生抓住问题的实质，对试题提供的信息进行分检、组合、加工，寻找解决问题的方法，这样的试题，难有现成的方法和模式可套用，能有效展示考生的思维水平和创造意识。

如理科第（23）题，抓住函数概念的实质，一反由自变量找对应函数值的常态，给出函数的图象，求它的表达式和定义域，解题过程融汇了数列、极限、不等式、数学归纳法等知识和方法，几乎涵盖了高中代数的主要内容，这样的试题，既体现基础性又体现综合性，能考查考生进入高校继续学习的潜能。

设计试题注意研究试题的能力层次要求，设计出土同解题思想层次的试题，使善于知识迁移和运用思维块简缩思维的考生能用敏捷的思维赢得时间，体现其创造能力，如文、理科第（15）题，熟知椭圆通径和离心率的意义者，可不必用常规计算，而直接求得结果。

此外，文理科的第（4）、（7）、（9）、（10）、（13）、（16）题，都有明显的思维层次要求。

坚持考察应用问题，家呢考生运用数学知识经济实际问题的能力，试题的背景包括工业生产（理科第（22）题、文科第（23）题)、农业生产（文理科第（16）题）和市场经济（文理科第（14）题），应用问题的考查侧重于阅读、理解能力，如理科第（22）、文科第（23）题，表书的文字较长，配有图形帮助理解，并有公式提示，读懂之后能转化为数学表达式，经济问题并不太难，这充分体现了考查素质的要求。

（3）调整题型结构，创设新颖的背景和设问方式
今年的试题减少了一道客观题，试题总量减少一个，客观题分值减少了5分，主观题分值增加5分，体现出减少计算量、降低解题速度及提高能力的要求。

在试题情境和设问形式方面继续有所创新，除了文理科第（13）题继续进行“组合选择”的尝试之外，还有文理科第（7）题，为几何形体提供新鲜背景；文理科死（10）题，设计一个形状可变，带体积为定值的楔形，使考生体会到图形的“动感”。

第（18）题是一道具有探索性的“开放题”，要求由给定的四个论断组合成一个正确的命题，且答案不唯一，丰富了命题内容，可以说，填空题已是高考题型改革的“试验田”。

（4）试验文理合卷，探索数学作为基础学科的考查功能
今年在执行“3+X”科目设置的广东省，命制文、理合卷的数学试题，从中研究如何平衡文理两类考生对数学知识和能力方面的差异，并进一步探索高中毕业生合理的数学知识结构的问题，取得了一些有益的成果。

在执行“3+2”科目设置的地区，也加大了理科试题和文科试题中相同题目的比例，试卷中相同题目达到18个，分值接近70%，另有“姊妹题”4个，完全不同的试题只有2道，通过这些试题的测试，能为高考数学科实行“文理合卷”的可行性研究提供多样的素材。

II ．试题分析（1999）
1999年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理工农医类）
第I 卷（选择题共60分）
一.选择题：本大题共14小题；第（1）—（10）题每小题4分，第（11）—（14）题每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
（A ）（M P ） S （B ）（M P ） S （C ）（M P ）S （D ）（M P ）S
[分析] 本题主要考查考生对集合文氏图的理解，给出全集I 与3个子集M 、P 、S 的关系图，要求考生判定图中阴影部分所表示的集合之表达式。

作为备选项的4个表达式，含有集合的交、并、补等关系，有点小综合的味道。

不过，只要考生对有关的概念能正确理解，便能作答，无需什么技巧，因袭该题得分率高，通过率达0.91，在选择题中是最高的，属容易题。

解答该题可用直接分析判断法，也可用间接排除法。

解法一：
由图可见阴影部分所表示的集合是M P 的子集，同时又是S 的补S 的子集，故（M P ）S 为所求，取（C ）作答。

解法二：
图中，表示集合S 的区域与阴影部分没有公共面积，即阴影部分表示的集合不含S 的元素，排除（B ）；M 、P 、S 三个区域的公共部分位于阴影外部，排除（A ）；阴影是区域S 的一部分，S 中的元素不全部落在阴影里，排除（D ）；从而得（C ）是所求。

在失分的考生中，有过半的考生误用（D ）作答，说明考生混淆了集合的交与并这两个概念是该题失分的主要原因，至于集合的文氏图的含义，已为考生们所普遍掌握。

[答案] （C ）
（2）已知映射f ：A →B ，其中，集合A={3-，2-，1-，l ，2，3，4}，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是（ ）
（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7
[分析] 本题主要考查映射的概念，在给定的映射对应关系中，用到实数的绝对值。

原象所成的集合是有限集，严格控制了试题的难度，对考生提出的要求是确定象集合所含的元素的个数，为了考查在目标集中对映射概念的理解，试题用陈述式说明映射的对应关系，没有采用)(a f 的符号式。

该题属容易题，通过率为0.86。

解答该题可依题意具体写出象集合B 中所有的元素，再数其个数作答；也可将原象集A 中的元素按负数与非负数分成两类，从整体考虑作答。

解法一：
依题意可将映射：A →B 的原象与象之间的对应列成下表：
因此，象集合B={3，2，1，4}，即得B 中元素的个数为4，取（A ）作答。

解法二：
依题意，对任意a ∈A ，)(a f =a ，因为A 中含3个负数3-，2-，1-和4个正数1，2，3，4，故象集合B 中元素数4≥n ；又因为3-，2-，1-的绝对值都在A 中的正数中，故4=n ，得（A ）为答案。

该题错答的考生中，多数错答为（D ），反映了他们对集合中元素的相异性没有掌握好。

[答案] （A ）
（3）若函数y ＝)(x f 的反函数是)(x g y =，=)(a f b ，ab ≠0，则)(b g 等于( ) （A ）a （B ）1
-a
（C ）b （D ）1
-b
[分析] 本题主要考查反函数的概念，在题型设计上，没有采取常用的反函数符号)(1
x f -，而
写成)(x g ，也没有给出)(x f 的解析式，只给出独立的单个函数值=
)(a f b ，当然也就不能要求
考生讨论)(x f 的反函数)(x g 的一些性态，只是要求考生判定)(b g 的值是什么。

就此问题而论，
ab 的正负是无关紧要的，题设中ab ≠0这个条件的引入，为的只是增加迷惑性，增大选项（B ）1-a 与（D ）1-b 的诱误性，考试的结果约有10%的考生掉进此陷阱，反映其对反函数的概念尚不
理解。

只要对反函数的定义有基本的理解，抓住函数对应关系的法则，便能正确作答，考点集中，又属最基础的知识，因而得分率高，通过率为0.84，是容易题。

解法一：
因为)(x f 与)(x g 是互为反函数，即：对)(x f 定义域中的任意值x ，都有x x f g =))((，所以由=)(a f b 便有)(b g =a a f g =))((。

取（A ）作答。

解法二：
取特殊函数1)(+=x x f ，其反函数1)(-=x x g ；进而取a =2，有=)(a f 3，即b =3，从而
213)(=-=b g ，排除（B ）、（C ）、（D ），得（A ）为答案。

解答本题失误的主要原因是混淆“函数的互反”与“实数的互倒”这两个概念。

[答案] （A ）
（4）函数)(x f ＝M )0)(sin(>+ωϕωx 在区间],[b a 上是增函数，且)(a f =－M ，)(b f =M ，则函数)cos()(ϕω+=x M x g 在],[b a 上（ ）
（A ）是增函数 （B ）是减函数
（C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值－M
[分析] 本题主要考查正弦函数与余弦函数的性质以及灵活运用这些知识经济问题的能力。

在题型设计上较为新颖，颇有特色：已知条件是对正弦函数)(x f 而言，给定的增函数区间],[b a 没有给出具体的b a ,值，而是借助)(a f =－M 与)(b f =M 予以确认。

接着所提出的问题不围绕)(x f 展开，转而针对余弦函数)(x g ，要求考生讨论它的单调性与最值问题，整个过程颇多转折，有较大的综合性，难度明显大于前三题，且比后面的某些题目还难，其通过率为0.76，在14道选择题中，位居第9，有8个题目比本题容易。

解答本题较为快捷的方法可用特殊值排除法。

例如，选取M=ω=1，0=ϕ，使)(x f 与)(x g 尽可能简单，并借助三角函数的图象，便可一目了然获得正确的答案。

此外，针对原问题作推理求解也是可行的。

无论用何种方法，都要求考生应具有较好的逻辑思维能力，较为透彻地理解三角函数的性质，并须进行综合分析与判断。

解法一：
取M=ω=1，0=ϕ，则有x x f sin )(=，x x g cos )(=进而可取2
π-=a ，2π
=b ，关于)(x f 的
题设条件全部满足，这时)(x g 在],[b a （即]2
,2[ππ-
）上，既不是增函数也不是减函数，且取得
最小值为零，因而排除（A ）、（B ）和（D ），得（C ）为答案。

解法二：
因为)(x f ＝M )0)(sin(>+ωϕωx 是一个周期ω
π2=
T 的周期函数，所以满足题意的区间]
,[b a 不是唯一的。

我们只须取其中的一个考虑即可。

例如取⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=ϕπω21a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕπω21a ，即满足)(a f =－M ，)(b f =M ，且)(x f 在区间],[b a 上是增函数，在这个区间上函数)(x g 取得最大值
M g =⎪⎭
⎫
⎝⎛-ωϕ，得答案为（C ）。

此外，也可用作图法求解，这里从略。

该题答错的考生，多少误答为（B ）和（D ），究其原因，主要是没有掌握好正、余弦之间的关系，或者弄错了区间],[b a 。

[答案] （C ）
（5）若x x f sin )(是周期为π的奇函数，则)(x f 可以是（ ）
（A ）x sin （B ）x cos （C ）x 2sin （D ）x 2cos
[分析] 本题主要考查函数的周期性与奇偶性以及基本的三角函数式的计算技能。

试题的陈述颇有特色：题设为x x f sin )(是周期为π的奇函数，其中对)(x f 没有作出进一步的其他限制，因此使题设成立的)(x f 并非唯一，而且不是有限多个，既无法一一列出，也难以用一个统一的解析式表示。

提问的指导语必须十分讲究，不好用“则)(x f 是”。

为了控制试题的难度，这里只要求考生从列出的四个函数中取一个作为)(x f ，使提社的条件成立，因而恰如其分地用了“则)(x f 可以是”的指导性语言。

这在近几年来高考数学试题中，还是首次出现。

该题考查的知识属于基础，三角计算又比较简单，得分率高，通过率达0.84。

解法一：
因为x sin 是奇函数，且不恒为零，所以使x x f sin )(成为奇函数的非零函数)(x f 不可能是奇函数，排除（A ）和（C ），进而可取（B ）或（D ）进行检验： 若取（B ）时，由于x x x 2sin 2
1
sin cos =⋅，故)(x f =x cos 时，x x f sin )(为周期等于π的奇函数，合乎题意，可取（B ）作答；
若取（D ）时，由于4
33sin )32cos(-=⨯ππ，43
34sin )342cos(=
⨯ππ，故)(x f =x 2cos 时，x x f sin )(不是周期等于π的奇函数，排除（D ），得答案为（B ）。

解法二：
依题意)(x f 必需满足x x f x x f sin )()sin()(=++ππ且x x f x x f sin )()sin()(-=--，即
)()()(x f x f x f -==+-π，所以)()()(ππ+=-=-x f x f x f ，且)()(x f x f -=，故)(x f 必须是周
期为2π的偶函数，在四个选项中，满足此条件的只有（B ）。

考生解答本题失误的主要原因是没有熟练掌握正、余弦函数的性质，尤其是周期性与奇偶性方面的知识，此外，缺乏基本的计算技能也是一个原因。

[答案] （B ）
（6）在极坐标系中，曲线⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=3sin 4πθρ关于（ ） （A ）直线3πθ=
轴对称 （B ）直线
65πθ=
轴对称 （C ）点（2，3
π）中心对称 （D ）极点中心对称 [分析] 本题主要考查极坐标的基础知识，围绕曲线的极坐标方程与曲线的对称性设计试题，题中给出了曲线的方程，要求讨论曲线的性质，由于没有画出曲线的图形，考生必须展开空间想象或进行作图。

与前面数题比较，综合层次较高，技能上的要求也较高，通过率明显降低，只有0.67。

如果考生对极坐标的基本知识掌握较浅，只知道其基本概念以及直角坐标与极坐标的互化公式，那么解答本题时可先将极坐标方程化为直角坐标方程，然后再行讨论。

对极坐标有较好掌握的考生，则由曲线的方程可直接知道该曲线是一个通过极点的圆，并知道圆心的位置，从而能快速作出回答，不同能力层次的考生，解题速度差别比较大，事物的机会也较悬殊，因此该题有较好的区分度，达0.41。

解法一：
曲线⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 4πθρ可由曲线θρsin 4=饶极点沿逆时针的方向旋转3π的角度得到。

由于曲
线θρsin 4=是经过极点的圆，圆心的极坐标为（2，2π），所以曲线⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=3sin 4πθρ是圆心的极
坐标为（2，
65π），半径为2的圆，关于直线6
5πθ=
轴对称，取（B ）作答。

解法二：
用ρ乘以曲线方程两边，同时应用差角正弦公式将左端展开，可得
3
sin cos 43
cos sin 42π
θρπθρρ-=，应用坐标变换公式θρcos =x ，θρsin =y ，化得曲线的直
角坐标方程为x y y x 32222-=+，即()
()41322
=-++y x ，表示圆心在点)1,3(-，半径为2的圆，其对称中点只有圆心，因此，点（3cos 2π，3
sin 2π
）与原点O 都不是该曲线的对称中心，排除（C ）、（D ）又圆心不在直线3
πxtg
y =上，排除（A ），得答案为（B ）。

显然，解法二的转折较多，计算量也大，失误机会多，至于解法一，失误的主要原因是将曲
线θρsin 4=旋转，得到曲线⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=3sin 4πθρ时，把旋转方向弄反了，误将（A ）或（C ）作为答案。

[答案] （B ）
（7）若干毫升水倒人底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒人轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）
（A ）cm 36 （B ）cm 6 （C ）cm 3182 （D ）cm 3123
[分析] 本题主要考查圆柱与圆锥的体积计算，是一个等体积问题，陈述为器皿间的倒水实验，使试题具有应用背景。

试题中，关于圆锥的设置采用轴截面的说法，由于圆锥倒置，轴截面顶角固定，因此倒水时水面高度为锥高，锥底半径随锥高而变，但两者间保持固定的比例关系，
使得求解时较之呆板套用体积公式的要求，提高了一个能力档次，本题虽有多种解法，但通过率不太高，为0.69。

解法一：
依题设，倒入圆锥器皿的水的体积为ππ24622=⨯⨯=V ，
设其水面高度为h ，则水所占的圆锥体的高为h ，底面半径为h hctg r 3
3
60=
︒=，所以ππ
π
249
3
32==
h h r ，得h =6，应取（B ）作答。

解法二：
等体积且等高的圆柱体与圆锥的底面半径R 与r 应满足当圆柱的半径R=2，高H=6时，与它等体积的圆锥，若底半径32=r 时，则高h 应等于6，这时
3=r
h
，几即圆锥的轴截面之底角等于︒60，轴截面是正三角，由于上述推理过程可逆，故本题答案为（B ）。

此外，本题还可逐个选项作逆推验证求解，即利用锥体的体积公式
32329
603
3
h ctg h h r V π
π
π
=
︒=
=
，将选项中的数值代入h ，与体积π24=V 比较求解。

该题失误的原因主要是：没有正确使用体积公式；弄错圆锥的高h 与底半径r 的关系（例如误为h htg r 360=︒=，或将︒60tg 与︒60ctg 的值弄错了，等等）；开立方的计算出错。

[答案] （B ）
（8）若（2x +3）4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则（a 0+a 2+a 4）2－（a 1+a 3）2的值为（ ）
（A ）l （B ）－1 （C ）0 （D ）2
[分析] 本题主要考查二项式定理的灵活应用以及基本计算技能与函数思想的活用，试题以二项展开式为背景，但不要求考生死套系数公式解题，而是要求考生活用函数的思想，对变量x 取某些特殊值，以达到计算要求。

为此，考生必须对题中的各个代数式的结构特点进行考察与分析，并进行恰当的变形，可见试题立意于能力考查，貌似考查二项式定理，实则考查函数思想与代数式计算技能。

事实上，不懂二项式定理，深明函数概念，抓住对应关系，解答本题是不会有什么困难的。

相反，若不懂函数关系的运用，只会套用二项式定理的系数公式，作刻板的计算，则不仅费时费力，还容易算错。

该题虽有一些新意，主要表现在求值的目标式上，但解题的思想方法，以往已有类似的题目，因而该题的通过率不算低，达到0.74。

解法一：
应用平方差公式，原式可化为
（a 0+a 1+a 2+a 3+a 4）（a 0－a 1+a 2－a 3+a 4）
=44]3)1(2[)312(+-⨯⋅+⨯=4)]32)(32[(+-+=4)43(-=1。

应取（A ）作答。

解法二：
应用二项式定理，得r r
r r C a -=44)3(2，r =0，1，2，3，4
所以a 0+a 2+a 4=9+72+16=97，a 1+a 3=356332324=+， 因为1940894095639722=-=⨯-，所以原式=1，答案为（A ）。

注：最后的精确计算可省略，只要注意到297的个位数是9，2563⨯的个位数是8，便可排除（B ）（C ）和（D ），得答案为（A ）。

此外，为得系数r a （r =0，1，2，3，4）的值，也可以不用二项式系数的计算公式，改用连续应用平方公式，即：x x x x x x x x 3242433294816)3344()32(2324224+++++=++=+ =43216332723249x x x x ++++。

显然，相比之下，解法二是不可取的，这里写出来的用意在于借鉴与比较。

该题出错者多数不能正确应用解法一所致，误用公式与数值计算差错是本题失分的主要原因。

[答案] （A ）
（9）直线3x +32-y =0截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角为（ ） （A ）
6π （B ）4π （C ）3
π （D ）2π [分析] 本题主要考查直线与圆的基本知识以及几何分析能力，要求考生能根据曲线的方程
式，讨论曲线的几何性质。

试题中，直线的方程与圆的方程都比较简单，考查的重点是图形的分析能力，不在于代数变换与算式的计算。

由于知识与技能要求贴近基础，问题的北京也为多数考生所熟悉，因此通过率高达0.87。

解法一：
圆的半径为2，圆心在原点，所以圆心到直线3x +32-y =0的距离为31
332=+=d
因此劣弧所对圆心角θ满足232cos
=θ，由220πθ<<得62πθ=，故3
πθ=，取（C ）作答。

解法二：
将x y 332-=代入圆方程得4)2(322=-+x x ，即0232=+-x x 解得11=x ，22=x ， 对应有31=y ，02=y 。

即直线与圆的两个交点A 和B 的坐标分别为)3,1(与（2，0），因此两交点的距离为
2)03()21(22=-+-=AB ，与圆的半径相等，故弦AB （也即劣弧）所对圆心角为
3
π。

解答本题，计算上的事物是答错的主要原因。

[答案] （C ）
（10）如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，
EF//AB ，EF=
23，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（ ） （A ）29 （B ）5 （C ）6 （D ）2
15 [分析] 本题主要考查几何体的体积计算与估算以及空间想象能力与分析
处理问题的能力。

试题中给出的几何体是一个劈的形状，可视为基本多面体的组合。

计算其体积时，不是套用现成公式便可得到的，还得作割补的处理、灵活运用有关的公式进行计算或估算才能求得正确的答案。

反映了试题考查的重点是分析解决问题的能力，不是简单的基本计算，对逻辑思维能力有较高的要求，不过，在难度上仍有所控制，给出的几何体尚属简单，不算复杂，只涉及棱柱与棱锥的计算，为多数考生所能接受，通过率不算低，为0.78。

解法一：
如图，延长FE 至G ，使FG=AB ，则AGD —BFC 是一个三棱柱，因为EF （也即直线FG ）到面AC 的距离为2，ABCD 是边长为3的正方形，所以这个三棱柱的体积为（注：计算时不妨设面BCF ⊥面AC ）。

92
2
33=⨯⨯
=柱V ，将三棱柱截去三棱锥E —AGD ，即得题设的多面体，由于GE ＜GF=AB ，所以33
1==<--柱V V V GAD F AGD E ，多面体的体积639=->-=-AGD E V V V 柱，从而排除（A ）、（B ）、（C ），得答案为（D ）。

解法二：
在解法一中，利用选项的特点没有具体算出体积的准确值，采用了估算的方法，若在该解法的后半部，准确算出AGD E V -，变可得到V 的准确值，例如：不妨设面GAD ⊥面AC ，得
2
3
3)233(31221)(3131=⨯-⨯=⨯⨯⨯-⨯=⨯⨯=∆-AD EF AB S EG V GAD AGD E ，所以题设多面体ABCDEF
的体积为2
15239=
-=-=-AGD E V V V 柱，应取（D ）作答。

解法三：
上述解法中，将题设多面体补上一个三棱锥，形成一个三棱柱，借助柱、锥体积相减求解，可谓之为补法，先补后割。

这里，介绍的另一类解决问题的方法是切割法。

如图，过E 作一个平面与面FBC 平行，将多面体切割成四棱锥E —AHKD 与三棱柱EHK —FBC 。

因为3)23
3(332)(231=-⨯⨯=
-⨯⨯⨯=-EF AB AD V AHKD E ，
29233221=⨯=⨯⨯⨯=-EF BC V FBC EHK ， 所以2
15293=+=ABCDEF V ，答案为（D ）。

本题给出的多面体，实际上是一族体积相等的多面体，其中面FBC 与面AC 所成的二面角的大小是可变的，EF 也可在与面AC 平行且距离为2的平面上作平行移动。

部分考生被这种形状的可变性所迷惑，把问题复杂化，殊不知，选择都以常数出现已经暗示了其体积的不变性，因此可用特殊形状（如：设想面FBC ⊥面AC ），使问题简化。

事实上，体积不变性的证明也不难（比如，可用割补法），请读者想一想，自己完成这一证明，当然，就该题作为选择题的求解，是无须进行这一证明的。

缺乏良好的空间想象能力与数值计算差错是本题失分的主要原因。

[答案] （D ）
（11）若sin α>tg α>ctg α (2π-
<α<2
π)，则α∈（ ） （A ） (2π-,4π-) （B ）（4π-，0） （C ）（0，4π） （D ）（4π，2
π） [分析] 本题主要考查三角函数的基本性质，同角不同名三角函数值的大小关系以及逻辑推理
能力，试题给出三角函数的不等式，让考生判断式中角的取值范围，紧贴基础知识，难度不大，通过率为0.80。

解法一：
A B
C
D
E G
F C
D E
K F
H
取6πα-
=，则
21sin -=α，33-
=αtg ，3-=αctg ，即有αααctg tg >>sin ，所以6
π-属于α的取值范围，从而排除（A ）、（C ）、（D ），得（B ）为答案。

解法二：
因为2π-<α<2
π，所以由ααααcos sin sin =>tg 与1cos 1>α知应有0sin <α，即2π
-<α<0，
从而应有0<αtg ；进而由α
ααtg ctg tg 1=>知应有
01<<-αtg ，得α∈（4π-，0），应取
（B ）作答。

解法三：
在区间（2π-
，2
π
所示，可见使不等式成立的α的取值范围为（4
π-，0（B ）。

作为排除法还有多种方式可用。

例如：由ααctg tg >（C ）；由3
sin
3
ππ
>tg
可排除（D ），得（B [答案] （B ）
（12）如果圆台的上底面半径为5．下底面半径为R 的侧面积的比为1：2，那么R=（ ）
（A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25
[分析] 本题主要考查圆台的性质以及基本的计算技能，圆台侧面积的计算公式在试卷的开头已作为参考公式列出，没有要求考生强记，考查的重点在于空间想象能力以及对公式的正确理解与恰当运用，解答本题的关键是正确列写R 的方程并求解，多数考生能够通过，通过率为0.76。

解法一：
原圆台的上、下底周长分别为π101=c 和πR c 22=，
故中截面的周长为π)5()(2
1
21R c c c +=+=
， 被中截面截得的上、下圆台的侧面母线长相等，故由侧面积比为1：2得2
1
21=++c c c c ， 所以ππ)35()15(2R R +=+，得R=25，取（D ）作答。

解法二：
记原圆台上、下底与中截面的周长分别为1c 、2c 和c ，则212c c c +=， 所以211122
1
2122c c c c c c ++
=+=，得125c c =，故下底面的半径R 为上底面半径5的5倍，得R=25，取（D ）作答。

n s n
搞错1c 、2c 和c 三者的关系以及计算失误是错答本题的主要原因。

[答案] （D ）
（13）已知两点M （1，
45）、N （4-，4
5-
），给出下列曲线方程：
①4x ＋2y －1=0 ②x 2+y 2=3 ③122
2=+y x ④12
22=-y x
在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ）
（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④
[分析] 本题主要考查直线与圆锥曲线的性质以及运用坐标法讨论几何问题的能力。

试题的题型属“多选型“的选择题，不过经过处理变式为“单选型”。

因此试题的容量较大，内涵较为丰富，解答起来，工作量也较大。

而且解答时，还需将等距要求（|MP|=|NP|）转化为适当的表现形式，以方便演绎，这就是化归思想的运用。

此外，通过作图求解时，若不仔细，容易出现误判，这又考查了画图的技能。

还有，题中涉及的曲线类型较多，有直线、圆、椭圆、双曲线，使试题具有相当的综合性，与前面的试题比较，难度明显提高，通过率只有0.47。

在前头12个题目中，通过率最低的为0.67（第（6）题），这里整整少了20个百分点，可见难度落差很大。

解法一：
曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|，相当于曲线与MN 的垂直平分线有公共点P ，由
M （1，
45）、N （4-，45-
）可得MN 的垂直平分线方程为
0)4
5
45)(0()41)(23(=+-+++y x ，即032=++y x 。

记它所表示的直线为l ，则有：l 与直线①有相同的斜率，都等于2-，但在坐标轴上的截
距不同，故它们是平行直线，没有公共点，即在①上不存在满足|MP|=|NP|的点P ，因此可排除（A ）和（C ）。

将32--=x y 代入③的方程，整理得0)43(2=+x ，从而直线l 与曲线③有公共点，故应排除（B ），得（D ）为答案。

解法二：
曲线①上的点可记为)22
1
,
(x x P -，|MP|=|NP|相当于x 满足2
22
2
4522
1
)4(45221)1(⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x x x ，移项得
0472432)4()1(2
2
2
2
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--x x x x ，即0)14(410)32(5=-+
+-x x ，所以02
5
15=-
-，这是不可能的，故曲线①上不存在满足|MP|=|NP|的点P ，因此可排除（A ）和（C ）。

曲线③上的点可记为⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-21,2x x P 或⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--21,2x x P （2≤
x ），|MP|=|NP|相当
于x 满足
2
22222
4521)4(4521)1(⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+-++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x x x 或2
222
22
4521)4(4521)1(⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛+--++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-x x x x。