高三数学一轮复习 第2章 第8课时 函数与方程课时训练 文 新人教版

【高考领航】2016高三数学一轮复习 第2章 第8课时 函数与方程
课时训练 文 新人教版
A 级 基础演练
1．(2015·郑州质检)函数f (x )＝x 2
－2x
在R 上的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：选D.注意到f (－1)×f (0)＝1
2
×(－1)<0，因此函数f (x )在(－1,0)内必有零点，又
f (2)＝f (4)＝0，因此函数f (x )的零点个数是3，故选D.
2．(2015·宜春4月模拟)函数f (x )＝－|x －5|＋2x －1
的零点所在的区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
解析：选C.依题意得f (0)·f (1)>0，f (1)·f (2)>0，
f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)>0，故f (x )的零点所在的区间是(2,3)，故选C.
3．(2015·白山二模)已知函数f (x )＝2mx 2
－x －1在区间(－2,2)内恰有一个零点，则m 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38，18
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－38，18
C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－38，18 D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤－18，38 解析：选D.当m ＝0时，函数f (x )＝－x －1有一个零点x ＝－1，满足条件．当m ≠0时，函
数f (x )＝2mx 2
－x －1在区间(－2,2)内恰有一个零点，需满足①f (－2)·f (2)<0或②
⎩
⎪⎨⎪⎧
f －2＝0，－2<14m <0或③⎩⎪⎨⎪⎧
f 2＝0，0<1
4m
<2.解①得－18<m <0或0<m <3
8
；解②得m ∈∅，解③
得m ＝38
.
综上可知－18<m ≤3
8
，故选D.
4．(2015·太原模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x x －1
－kx 2，x ≤0
ln x ，x >0
有且只有2个不同的零点，则实
数k 的取值范围是( ) A ．(－4,0) B ．(－∞，0] C ．(－4,0]
D ．(－∞，0)
解析：选B.取k ＝0，可知函数f (x )的2个零点是x ＝0，x ＝1，故可排除A 、D ；取k ＝－4，可知函数f (x )的2个零点是x ＝0，x ＝1，故可排除C ，选B.
5．(2015·洛阳高三统考)已知函数f (x )＝|x 2
－4|－3x ＋m 恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－6,6)∪(25
4，＋∞)
B ．(25
4，＋∞)
C ．(－∞，－25
4
)∪(－6,6)
D ．(－25
4
，＋∞)
解析：选C.函数f (x )＝|x 2
－4|－3x ＋m 的零点⇔方程|x 2
－4|－3x ＋m ＝0的根⇔方程|x 2
－4|＝3x －m 的根，令y 1＝|x 2
－4|，y 2＝3x －m ，则y 1＝|x 2
－4|和y 2＝3x －m 的图象的交点个数即为函数f (x )的零点个数．x ＝－2，x ＝2时是临界位置，此时m ＝－6和m ＝6. 当直线与曲线相切，即y 1＝－x 2
＋4与y 2＝3x －m 相切时，x 2
＋3x －4－m ＝0，Δ＝9＋4(4＋
m )＝0，可得m ＝－254，∴m ∈(－6,6)∪(－∞，－254
)．
6．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)内的近似解，验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋4
2
＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈__________(填区间)．
解析：由f (2)·f (3)<0可知x 0∈(2,3)． 答案：(2,3)
7．(2015·淄博质检)函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是__________．
解析：函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数，即为函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1图象的
交点个数．
在同一坐标系内分别作出函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1的图象，如图，
由图可知函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是2. 答案：2
8．(2014·高考福建卷)函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
－2， x ≤0，
2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是__________．
解析：分段函数分别在每一段上判断零点个数，单调函数的零点至多有一个． 当x ≤0时，令x 2
－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)， 所以在(－∞，0]上有一个零点．
当x >0时，f ′(x )＝2＋1
x
>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2
＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，f (2)·f (3)<0，所以f (x )在(2,3)内有一个零点． 综上，函数f (x )的零点个数为2. 答案：2
9．已知函数f (x )＝x 3－x 2
＋x 2＋14
.
证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. 证明：令g (x )＝f (x )－x .
∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1
2
＝－18，
∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12<0. 又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0. B 级 能力突破
1．(2015·洛阳高三统考)已知方程|x 2
－a |－x ＋2＝0(a >0)有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．0<a <4
B ．a >4
C ．0<a <2
D ．a >2
解析：选B.依题意，方程|x 2
－a |＝x －2有两个不等的实数根．注意到|x 2
－a |≥0，因此方程|x 2
－a |＝x －2的两个不等的实数根均应大于2.由|x 2
－a |＝x －2得x 2
－a ＝x －2，即a ＝
x 2－x ＋2(其中x >2)或x 2－a ＝2－x ，即a ＝x 2＋x －2(其中x >2)．注意到函数y ＝x 2－x ＋2
与函数y ＝x 2
＋x －2在(2，＋∞)上均是增函数，因此要使题中的方程有两个不等的实根，要求直线y ＝a 与函数y ＝x 2
－x ＋2(x >2)及函数y ＝x 2
＋x －2(x >2)的图象均有公共点，因此
a >22－2＋2＝4，选B.
2．已知函数f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ，若在区间[13，3]内，函数g (x )＝f (x )－ax 的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12e
C.⎣⎢
⎡⎭⎪⎫ln 33，1e D.⎣
⎢⎡⎭⎪⎫ln 33，12e
解析：选C.当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，1时，1x ∈[1,3]，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln 1x ＝－ln x ，∴12f (x )＝－ln x ，∴f (x )＝－2ln x ，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1时，f (x )＝－
2ln x .
∵函数g (x )的图象与x 轴有3个不同的交点，
∴函数f (x )的图象与y ＝ax 有3个不同的交点，函数f (x )的图象如图所示，直线y ＝ax 与
y ＝ln x 相切是一个边界情况，直线y ＝ax 过(3，ln 3)时是一个边界情况，符合题意的直
线需要在这2条直线之间，∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x ，∴k ＝1x 0，所以切线方程为y －ln x 0＝1
x 0
(x
－x 0)，与y ＝ax 相同，即a ＝1e ，当y ＝ax 过点(3，ln 3)时，a ＝ln 33.综上可得：ln 33≤a <1e ，
故选C.
3．(2014·高考重庆卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x ＋1
－3，x ∈－1，0]，
x ， x ∈0，1]，
且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12
C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23
D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，23 解析：选A.先画出函数f (x )的图象，将函数g (x )的零点问题转化为函数f (x )的图象与直线y ＝mx ＋m (x ∈(－1,1])的交点问题． 作出函数f (x )的图象如图所示，其中A (1,1)，B (0，－2)．
因为直线y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)恒过定点C (－1,0)，故当直线y ＝m (x ＋1)在AC 位置时，m ＝1
2
，可知当直线y ＝m (x ＋1)在x 轴和AC 之间运动时两
图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与AC 重合但不能与x 轴重合)，此时0<m ≤1
2，g (x )
有两个不同的零点．当直线y ＝m (x ＋1)过点B 时，m ＝－2；当直线y ＝m (x ＋1)与曲线f (x )相切时，联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝1x ＋1
－3，
y ＝m x ＋1，
得mx 2＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，由Δ＝(2m ＋3)2
－4m (m ＋
2)＝0，解得m ＝－9
4，可知当y ＝m (x ＋1)在切线和BC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直
线y ＝m (x ＋1)可与BC 重合但不能与切线重合)，此时－9
4
<m ≤－2，g (x )有两个不同的零点．综
上，m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12，故选A. 4．(2015·福州质检)若函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x
－a ，x ≤0
ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范
围是__________．
解析：当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x
－a 有一个零点，令f (x )＝0得a ＝2x
，因为0<2x
≤20
＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是0<a ≤1. 答案：(0,1]
5．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2，x >0，
－x 2
＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数
g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为__________．
解析：∵f (0)＝1，∴c ＝1.又∵f (0)＋2f (－1)＝0， ∴f (－1)＝－1－b ＋1＝－12，得b ＝1
2
.
∴当x >0时，g (x )＝2x －2＝0有唯一解x ＝1；当x ≤0时，g (x )＝－x 2＋3
2x ＋1，令g (x )＝0，
得x ＝2(舍去)或x ＝－1
2，即g (x )＝0有唯一解．综上可知，g (x )＝f (x )＋x 有2个零点．
答案：2
6．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3
－3x 2
＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2. (1)求a ；
(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． 解析：(1)解：f ′(x )＝3x 2
－6x ＋a ，f ′(0)＝a . 曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2. 由题设得－2
a
＝－2，所以a ＝1.
(2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2
＋x ＋2. 设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3
－3x 2
＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k >0.
当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，
g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]有唯一实根．
当x >0时，令h (x )＝x 3
－3x 2
＋4， 则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )．
h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0.
所以g (x )＝0在(0，＋∞)没有实根．
综上，g (x )＝0在R 有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．。