高二数学二项式定理与性质试题

高二数学二项式定理与性质试题
1. .（）
A．B．C．1D．
【答案】A.
【解析】由，可得
.
【考点】二项式定理.
2.使得的展开式中含有常数项的最小的为（）
A．B．C．D．
【答案】B.
【解析】的展开式的通项为，令，则,所以的最小值为5.
【考点】二项式定理.
3.已知（－）n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求：
（1） n的值；（2）展开式中含x3的项．
【答案】（1）9；（2）－18x3
【解析】（I）写出二项式的展开式的特征项，当x的指数是2时比x的指数是1时的系数要大162，所以．（II）根据上一问写出的特征项以及已经求出的n值即可计算展开式中含x3的项即：．
试题解析：（1）∵T
3＝（）n－2（－）2＝4x，T
2
＝（）n－1·（－）＝－2
x，
依题意得4＋2＝162，∴2＋＝81，∴n2＝81，n＝9.
（2）设第r＋1项含x3项，则T
r
＋1＝（）9－r（－）r＝（－2）r x，
∴＝3，r＝1，
∴第二项为含x3的项：T
2
＝－2x3＝－18x3
【考点】（1）展开式项的系数；（2）二项式系数.
4.（1）已知，记的个位上的数字为，十位上的数字，求的值；
（2）求和（结果不必用具体数字表示）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）首先要掌握排列数计算公式，但也不能死算，应为从开始，它的后两位数字均
为零，因此只需研究前面的和的结果就可以解决问题；（2）反复、灵活运用组合数的两点性质：①，②即能解决问题.
试题解析：（1）的后两位由确定，
而，故个位数字为，十位数字为，所以. 6分
（2）
. 12分
【考点】1.排列数计算公式；2.组合数的性质.
5.若对于任意的实数，都有，则的值是（）
A．3B．6C．9D．12
【答案】B
【解析】先令得：，再令得：，最后令得：
，将①②相加得：，故选Ｂ．
【考点】二项式定理及赋值法．
6.若，则的值为____．
【答案】－1
【解析】令，由原式可得，令，由原式可得，可得．
【考点】特殊值法．
7.对于二项式n(n∈N*)，四位同学作出了四种判断：
①存在n∈N*，展开式中有常数项；
②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；
③对任意n∈N*展开式中没有x的一次项；
④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．
上述判断中正确的是________．
【答案】①④
【解析】二项式n的展开式的通项为
T
r
＋1＝C n r n－r·(x3)r＝C n r x r－n·x3r＝C n r x4r－n.
当展开式中有常数项时，有4r－n＝0，
即存在n、r使方程有解．当展开式中有x的一次项时，有4r－n＝1，
即存在n、r使方程有解．即分别存在n，使展开式有常数项和一次项．
8.7的展开式中倒数第三项为________．
【答案】
【解析】由于n＝7，可知展开式中共有8项，
∴倒数第三项也为正数第六项．
∴T
6＝C
7
5(2x)25＝22·C
7
5·.
9.若n的二项展开式中有且只有第五项的二项式系数最大，则C
n 0－C
n
1＋C
n
2－…＋
(－1)n··C
n
n＝________.【答案】
【解析】由已知第5项的二项式系数最大，则n＝8，
又C
n 0－C
n
1＋C
n
2－…＋(－1)n C
n
n＝n＝8＝.
10.若二项式的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的系数
为．(用数字作答)
【答案】9
【解析】第4项与第7项的二项式系数相等，则，。

二项式的通项为
，令得：，则的系数为
9
【考点】二项式定理
点评：涉及到展开式中的问题，常用到二项式定理得通项：。

11.已知的展开式前三项中的的系数成等差数列.
（1）展开式中所有的的有理项为第几项？
（2）求展开式中系数最大的项.
【答案】（1）的有理项为第1，5，9项。

（2）所求项分别为和.
【解析】（1）展开式前三项的系数分别为
.
由题设可知：，解得：ｎ＝8或ｎ＝1（舍去）.
当ｎ＝8时，＝.
据题意，4－必为整数，从而可知必为4的倍数，
而0≤≤8，∴＝0,4，8.
故的有理项为第1，5，9项。

（2）设第＋1项的系数最大，显然＞0，
故有≥1且≤1.
∵＝，由≥1，得≤3.
∵＝，由≤1，得≥2.
∴＝2或＝3，所求项分别为和.
【考点】二项展开式的通项公式，等差数列的概念，简单不等式解法。

点评：中档题，本题主要考查二项展开式的通项公式，等差数列的概念，简单不等式解法。

解答思路比较明确，对计算能力要求较高。

12.若多项式，则（）
A．1B．60C．D．
【答案】D
【解析】，展开后含有的项是：
，所以。

故选Ｄ。

【考点】二项式定理
点评：本题较灵活，要结合式子右边的形式将左边也变成那样的形式。

13.已知的展开式的二项式系数和比的展开式的系数和大992,求的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项。

【答案】（1）（2）系数的绝对值最大的是第4项
【解析】解：由题意,解得。

（2）
①的展开式中第6项的二项式系数最大,
即. （7）
②设第项的系数的绝对值最大,
则
∴,得,即
∴,∴,故系数的绝对值最大的是第4项. （12）
【考点】二项式定理
点评：主要是考查了二项式系数的性质的应用，以及二项式定理的展开式的应用，属于基础题。

14.在的展开式中，项的系数是（用数字作答）.
【答案】10
【解析】由二项式定理知，的展开式中，项的系数是= =10.
【考点】本题主要考查二项式展开式的通项公式，组合数的性质。

点评：简单题，这类问题解法有二，一是先求和化简，再求系数；二是，直接确定各二项式中
项的系数，求和化简。

15.的展开式中x的系数是 .
【答案】－2
【解析】
故的展开式中含x的项为
,所以x的系数为－2.
【考点】本题主要考查二项式定理的应用。

点评：简单题，本解法将其中一个二项式展开，也可以均不展开，利用通项公式求解。

16.(本小题满分12分)
已知二项式(N*)展开式中，前三项的二项式系数和是，求：
(Ⅰ)的值；
(Ⅱ)展开式中的常数项．
【答案】（1）10 （2）展开式中的常数项是
【解析】解：(Ⅰ) 2分
4分
(舍去)． 5分
(Ⅱ)展开式的第项是，8分
， 10分
故展开式中的常数项是． 12分
【考点】二项式定理
点评：熟练的运用二项式定理的通项公式来分析得到其常数项，同时能根据二项式系数和来得到n的值，属于基础题。

17.在二项式的展开式中，含的项的系数是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为二项展开式,
令,所以含的项的系数是.
18.若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（）A．B．C．－45D．45
【答案】D
【解析】因为展开式的通项公式为,
所以,令
所以常数项为
19.若二项式的展开式的第5项是常数项，则自然数的值为
A．6B．10C．12D．15
【答案】C
【解析】解：的展开式的通项为T
k+1
="C" k n ( x )n-k (- )k=(-2)k C k n x n-3k /2
∴T
5="16C" 4n x(n-12) /2
∵展开式的第5项是常数
∴n-12 =0
∴n=12
故答案为C．
20.展开式中的常数项是（）
A．－36B． 36C．－84D．84
【答案】C
【解析】解：因为展开式为得到常数项为-84.选C
21.若，则的值为．
【答案】1
【解析】解：因为对x令值可知，当x=1，和x=-1的值相乘就可以得到所求的结果为1
22.展开式中二项式系数最大的项为 .(求出具体的项)
【答案】
【解析】解：因为展开式中二项式系数最大的项可以通过通项公式来夹挤法得到结论，找到符合
题意的项数的范围，从而得
23.的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式中含项的系数为（）
A．－150B．150C．－500D．500
【答案】B
【解析】解：(5x- x )n中，令x=1得展开式的各项系数之和M=4n
根据二项式系数和公式得二项式系数之和N=2n
∵M-N=240
∴4n-2n=240解得n=4
∴(5x- x )n="(5x-" x )4的展开式的通项为T
="C" r4 (5X)4-r(- x )r=(-1)r54-r C r4 x4-r 2令4-r 2 =3得
r+1
r=2
故展开式中x3的系数为52 =150
故选项为B
24.除以的余数是_______.
【答案】54
【解析】解：因为原式可表示为，利用展开式可知最后一项没有97，那么可以分析得到余数为54.
25.设，
则的值为
【答案】-2
【解析】令则
.
26.的展开式中的常数项为___ _____ ___
【答案】15
【解析】解：因为，当x的幂指数为零时，即r=2,此时为常数项为15.
27.(10分)已知的展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项，并且的展开式中系数最大的项等于54，求的值．
【答案】
【解析】各项系数和就是令式子当中的变量的值为1的结果.在求展开式常数项时要记住展开式通项公式.系数最大项说明此项系数比前一项的不小，比后一项也不少进行求解.
展开式的常数项为：3分
展开式的系数之和，n = 4 6分
∴展开式的系数最大的项为， 10分
∴ 12分
28. .如果那么= _____.
【答案】-2
【解析】解：赋值法的运用。

令x=1，得到-1=,再令x=0，得到，那么=-2
29.若n展开式中含项的系数与含项的系数之比为－5，则n等于（）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【解析】解：由题意展开式的通项为：T
r+1
=，根据含项的系数与含项的系数之比为－5，可得n为6，选B
30.计算．
【答案】1024
【解析】解：因为
31.已知(－)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有有理项．
【答案】（1）见解析 (2)T
1＝x4，T
5
＝x，T
9
＝x－2.
【解析】(1)本小题利用展开式的通项，只要说明x的系数不可能等于零即可.在具体证明时可采用反证法.
(2)根据展开式的通项公式，让x的系数为整数，看有哪些项即可
依题意，前三项系数的绝对值是1， ()， ()2，
且2·＝1＋ ()2，即n2－9n＋8＝0，∴n＝8(n＝1舍去)，
∴展开式的第k＋1项为 ()8－k(－)k
＝(－)k·x·x－＝(－1)k··x.
(1)证明：若第k＋1项为常数项，
当且仅当＝0，即3k＝16，∵k∈Z，∴这不可能，∴展开式中没有常数项．
(2)若第k＋1项为有理项，当且仅当为整数，∵0≤k≤8，k∈Z，∴k＝0,4,8，
即展开式中的有理项共有三项，它们是：T
1＝x4，T
5
＝x，T
9
＝x－2.
32.设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M—N=240，则展开式中项的系数为（）
A．150B．500C．—150D．—500
【答案】A
【解析】解：由题意可得 4n-2n=240，∴n=4．
通项 T
r+1=C
4
r（5x）4-r (-x1 /2 )r=（-1）r C
4
r 54-r x4-r/ 2，令 4-2r=3，得 r=2，
故展开式中x3的系数为 C
4
2•52=150，
故答案为150,选A
33.的展开式的第4项的二项式系数是．【答案】35.
【解析】第4项的二项式系数为.
34.二项式展开式中常数项是( )
A．第10项B．第9项C．第8项D．第7项
【答案】B
【解析】解：因为
因此为第九项，选B
35.的展开式中，的系数为．（用数字作答）
【答案】10.
【解析】，令,所以的系数为.
36.（1-x）2n-1展开式中，二项式系数最大的项是（）
A．第n-1项B．第n项
C．第n-1项与第n+1项D．第n项与第n+1项
【答案】D
【解析】解：由于指数幂为奇数，因此二项式系数的最大项有两个，即为
，为中间两项，第n项与第n+1项。

37.若的展开式中若第7项的系数最大，则n的取值为（）
A．11，12B．12，13C．11，12，13D．无法确定
【答案】C
【解析】解：因为第7项系数最大，则需满足
解不等式可得。

38.已知展开式的第7项为，则实数x的值是
【答案】
【解析】二项式的展开式中第7项为，则，即，解得
39.．在的展开式中常数项是．(用数字作答)
【答案】7
【解析】本题考查二项式定理
二项展开式的第项为
令解得；
所以常数项为
即的展开式中常数项为
40.若，则的值为
A．6B．9C．12D．-6
【答案】D
【解析】本题考查二项式定理、函数思想的运用。

由于，故，所以，选D。

41.，则＝_____；_______ 【答案】0，－2
【解析】略
42.（本小题满分15分）若展开式中前三项系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）求展开式中第4项的系数和二项式系数；
（3）求展开式中x的一次项.
【答案】（1）n=8；
（2）系数是7，二项式系数是56；
（3）．
【解析】略
43.设，则的值为
A．2B．-2C．1D．-1
【答案】C
【解析】略
44.在的展开式中，所有奇数项的系数之和为1024，则中间项系数是 .
【答案】462
【解析】略
45.从4名男生和3名女生中任选4人参加座谈会，若这4人必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（）种
A．140B．120 C．35D．34
【答案】D
【解析】略
46.
A．10B．5C．3D．2
【答案】B
【解析】略
47.某射手进行射击训练,他将5个泥制球形靶子用细绳串成两串挂在如图所示的横梁上,每次射击都必须遵循以下原则:先挑选一列,然后必须击碎这列中尚未击碎的靶子中下面的一个(即从下往上打),则击碎全部5个靶子共有( )种不同的顺序.
A．120B．20C．60D．10
【答案】D
【解析】略
48. (x-)12展开式中的常数项为( )
A．-1320B．1320C．-220D．220
【答案】C
【解析】略
49.（本小题满分12分）
已知
（I）求；
（II）比较的大小，并说明理由。

【答案】解：（Ⅰ）由于，
取得，……………………2分
取得，
所以。

……………………4分
（Ⅱ）令。

当时，，，∴；……………………5分
当时，，，∴；……………………6分
当时，，，∴；
当时，，，∴。

猜想当时，均有。

下面用数学归纳法证明。

……………………7分
当时，显然，不等式成立；
假设（，）时不等式成立，即，即。

则当时，……………………9分，……………………10分
所以，……………………11分
即当时，不等式成立。

根据、知，对一切，不等式成立。

……………………12分
综上，当时，；当时，；当时，。

【解析】略
50.展开式中按的升幂排列第三项的系数为（）
A．－20B．20C．－26D．26
【答案】C
【解析】略
51.的展开式中，常数项为▲．（用数字作答）
【答案】70
【解析】略
52.（本小题满分14分）
已知二项式（n∈N* , n≥2）．
（１）若该二项式的展开式中前三项的系数成等差数列，求正整数的值；
（２）在（１）的条件下，求展开式中x4项的系数.
【答案】，
【解析】（1）由题知， .o. ………….2分m
故，.o. ………….4分m
从而或.o. ………….6分m
由于，故.o. ………….8分m
（2）由上知其通项公式为，即.o. ………….10分m
令得.o. ………….12分m
故项的系数为 .o. ………….14分m
53.的展开式中的系数是（）
A．-6B．-12C．12D．6
【答案】D
【解析】略
54.已知二项式的展开式的所有项的系数的和为，展开式的所有二项式的系数和为，若，则 .
【答案】5
【解析】略
55. ;
【答案】35
【解析】略
56.(本小题满分12分)
已知各项展开式的二项式系数之和为.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)求展开式的常数项.
【答案】（1）（2）
【解析】略
57.若的展开式中，的系数是-80，则=____________
【答案】-2
【解析】略
58.（本题12分）求在的展开式中，系数的绝对值最大的项、系数最大的项
【答案】系数绝对值最大项为第4项为
系数最大项为第5项为
【解析】略
59.（本题12分）已知展开式各项系数和比它的二项式系数和大992。

（1）求展开式中含有的项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中系数最大的项。

【解析】本题属于二项式定理的综合应用，首先赋值x=1,得各项的系数和，二项式系数和，
解方程n=5,再利用通项公式求特征项令x的指数是4得r=2,第二问利用展开式的
中间一项的二项式的系数最大，此时是展开式的第3项，第三问系数最大的项需满足其系数不必
相邻的系数小就可以了，列出不等式，，．
试题解析：令得展开式各项系数和为，二项式系数为
由题意得：，解得 2分
（1）
当∴ 4分
（2）∵，∴展开式共6项，二项式系数最大项为第三、四项
∴，．．8分
（3）展开式中第项系数最大
∴,
∴∴ = 12分
【考点】二项式定理的特征项，展开式的各项系数和，二项式系数和，二项式系数的性质，系数
最大的性质，赋值法．
60.（本小题满分16分）已知:（,n为常数）．
（1）求；
（2）我们知道二项式的展开式．若该等式两边对x求导得：=,令x=1，可得=．利用此方法解答
以下问题：
①求；
②求．
【答案】（1）；（2）①；②
【解析】（1）利用赋值法，令即可；（2）①由题目给出的条件可知，需要对已知的式子
进行两边求导，再利用赋值法令即可；②因为本题中出现了平方，所以需要两边先同时乘以x,再求导赋值即可．
试题解析：（1）即为的各项系数的绝对值之和且绝对值之和为正数，
令x=-1,则=；
（2）对等式两边求导得：．令x=1得=2n．]
（3）将两边同乘x得
，两边再对x求导：
，令x=1得=
【考点】1．赋值法；2．转化思想；。