江苏省南京外国语学校仙林分校高一数学上学期期中测试

南京外国语学校仙林分校中学部2012—2013学年第一学期
高一年级期中测试数试题
命题人 审题人 第一部分（满分100分）
一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上) 1． 若[)2,5A =，集合(]3,7B =，A B I 则= ． 2． 函数1
()f x x
=
，{1,2,3}x ∈的值域为 ． 3． 函数()(1)3f x k x =-+在R 上是减函数，则k 的范围是 ． 4． 函数3
()2,f x x x n x R =-+∈为奇函数，则n 的值为 ．
5． 已知)(x f y =在),(+∞-∞上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 则a 的范围是_ 6． 若函数(),(3)5,(5)9f x px q f f =+==，则(1)f 的值为 ．
7． 函数2
3(0)
()5(0)
x x f x x x +<⎧=⎨-≥⎩的最大值为 ． 8． 关于x 的方程26x
m -=有实根，则m 的取值范围是
二、解答题 (本大题共4小题，共计60分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤)
9． 用函数单调性的定义证明函数2
2y x x =+在[0,)x ∈+∞是单调递增函数．
10．求值或估算：
（1）33
321
2log 2log 92
-+； （2）若7782.06lg ≈，求 2.778210．
11．AOB ∆是边长为2的正三角形，这个三角形在直线t x =左侧部分的面积为y,求函数
)(t f y =的解析式.
12．已知函数2()log 3,[1,4]f x x x =+∈ （1）求函数()f x 的值域；
（2）若2
2
()()[()]g x f x f x =-，求()g x 的最小值以及相应的x 的值．
第二部分（满分60分）
三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上) 13．集合{}
2|420A x kx x =++=是只含一个元素的集合，则实数_________k =． 14．已知lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则y
x
2
log
= ． 15．若函数2x b y x -=+在(,4)(2)a b b +>-上的值域为1(3,)2
-，则b
a = ．
16．定义在R 上的偶函数)(x f 满足(2)()f x f x +=，且在[-1，0]上单调递增，设)3(f a =，
)2(f b =，(2.1)c f =，则c b a ,,按从小到大的顺序排列为___________
17．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数图象恰经过n 个格点，
则称函数()x f 为n 阶格点函数.下列函数：①2
x y =；②x y ln =；③12-=x
y ；
④x
x y 1
+=．其中为一阶格点函数的序号为
18．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2
)(x x f =，若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是 ．
四、解答题 (本大题共2小题，共计30分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤)
19．已知函数1
22
2)(+-+⋅=x
x a a x f （1）当a 为何值时，)(x f 为奇函数；（2）求证：)(x f 为R 上的增函数．
20．对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足下列条件：
①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在[b a ,]上的值域为[b a ,]；那么把)(x f y =（D x ∈）叫闭函数． （1）求闭函数3
x y -=符合条件②的区间[b a ,]；
（2）判断函数)0(1
43)(>+=x x
x x f 是否为闭函数？并说明理由； （3）若2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．
中学部2012—2013学年第一学期高一年级期中测试
数学学科答卷纸
第一部分（满分100分）
一、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1. _____
2. __
3. ___
4. ___
5. 6. 7. 8.
二、解答题：本大题共4小题，共60分.
9.（本小题满分14分）
姓名____________________ ————————线————————————————――――
10．（本小题满分16分）11（本小题满分14分）
12（本小题满分16分）
第二部分（满分60分）
三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
13. _______ 14. _____ 15. ___
16. 17. 18.
四、解答题：本大题共2小题，共30分.
19.（本小题满分14分）
20.（本小题满分16分）
——————————封—————————————线————————————————――――――――
南外仙林分校中学部2012—2013学年度第一学期高一年级期中测试 数 学 学 科 试 题
命题人： 审题人： 第一部分（满分100分）
一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上) 1． 若[)2,5A =，集合(]3,7B =，A B I 则= （3，5） ． 2． 函数1()f x x =
，{1,2,3}x ∈的值域为11
{1,,}23
． 3． 函数()(1)3f x k x =-+在R 上是减函数，则k 的范围是1k <． 4． 函数3
()2,f x x x n x R =-+∈为奇函数，则n 的值为 0 ．
5． 已知)(x f y =在),(+∞-∞上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 则a 的范围是_ a<1 6． 若函数(),(3)5,(5)9f x px q f f =+==，则(1)f 的值为 -1 ．
7． 函数2
3(0)
()5(0)
x x f x x x +<⎧=⎨-≥⎩的最大值为 5 ． 8． 关于x 的方程26x
m -=有实根，则m 的取值范围是(6,)-+∞
二、解答题 (本大题共4小题，共计60分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤)
9．用函数单调性的定义证明函数2
2y x x =+在[0,)x ∈+∞是单调递增函数． 证明略
10．求值或估算：
（1）33
321
2log 2log 92
-+； （2）若7782.06lg ≈，求 2.778210． 答案：（1）2； （2）令 2.7782
10m =，则lg 2.7782lg6lg600m =≈+=，故 2.7782
10约为600．
11．AOB ∆是边长为2的正三角形，这个三角形在直线t x =左侧部分的面积为y,求函数
)(t f y =的解析式.
答案：2
2,012t y t ≤≤=⎨⎪+<≤⎪⎩
12．已知函数2()log 3,[1,4]f x x x =+∈
（1）求函数()f x 的值域；
（2）若22
()()[()]g x f x f x =-，求()g x 的最小值以及相应的x 的值． 答案：（1）[3,5]；（2）最小值-19，2x =．
第二部分（满分60分）
三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上) 13．集合{}
2|420A x kx x =++=是只含一个元素的集合，则实数k = 0或2 ． 14．已知lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则y
x
2
log
= -4 ． 15．若函数2x b y x -=
+在(,4)(2)a b b +>-上的值域为1(3,)2
-，则b
a = 1 . 16．定义在R 上的偶函数)(x f 满足(2)()f x f x +=，且在[-1，0]上单调递增，设)3(f a =，
)2(f b =，(2.1)c f =，则c b a ,,按从小到大的顺序排列为___a,b,c___
17．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数图象恰经过n 个格点，
则称函数()x f 为n 阶格点函数.下列函数：①2
x y =；②x y ln =；③12-=x
y ；
④x
x y 1
+
=．其中为一阶格点函数的序号为 ② 18． 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2
)(x x f =，若对任意的]2,[+∈t t x ，
不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是 ．
略解：由题意得22,0
(),0
x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩， 且)2()(2x f x f =，
由)(x f
是单增，())f x t f +≥在]2,[+∈t t x 恒成立，得x t x 2≥+在
]2,[+∈t t x 恒成立，得2≥t ．
四、解答题 (本大题共2小题，共计30分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤)
19．已知函数1
22
2)(+-+⋅=x
x a a x f （1）当a 为何值时，)(x f 为奇函数；（2）求证：)(x f 为R 上的增函数． 略解：（1）法一：由(0)0f =得1a =，再由定义域为R ，()()f x f x -=-证明． 法二：直接令()()f x f x -=-求出1a =，以上各步可逆，故1a =．
（2）化函数为2
()21
x f x a =-+，再由单调性定义证明．
20．对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足下列条件：
①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在[b a ,]上的值域为[b a ,]；那么把)(x f y =（D x ∈）叫闭函数． （1）求闭函数3
x y -=符合条件②的区间[b a ,]；
（2）判断函数)0(1
43)(>+=
x x
x x f 是否为闭函数？并说明理由； （3）若2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．
解：（1）3
x y -=在[b a ,]上递减，则⎪⎩
⎪⎨⎧>-=-=a
b b a a b 33解得⎩⎨⎧=-=11b a ，所求的区间为[-1，1]
（2）取,10,121==x x 则)(10
76
47)(21x f x f =<=，即)(x f 不是),0(+∞上的减函数．
取,1001,10121==x x )(100400
3
10403)(21x f x f =+<+=，即)(x f 不是),0(+∞上的
增函数，所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数． （3）若2++
=x k y 是闭函数，则存在区间[b a ,]，在区间[b a ,]上，函数)(x f 的
值域为[b a ,]，即⎪⎩
⎪⎨
⎧++=++=22
b k b a k a ，b a ,∴为方程2++=x k x 的两个实数根，即方程
22(21)20(2,)x k x k x x k -++-=≥-≥有两个不等的实根．
当2-≤k 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
->+≥->∆221
20)2(0k f ，解得249
-≤<-k ．
当2->k 时，⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
>+≥>∆k k k f 2120)(0，无解．
故k 的范围是：24
9
-≤<-k ．
11。