【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第20课 导数的综合应用 文

第20课 导数的综合应用(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(选修2-2P27习题15改编)如图，水波的半径以50 cm/s 的速度向外扩张，当半径为250 cm 时，水波面的圆面积的膨胀率是 cm 2/s .(第1题)【答案】25 000π【解析】设时间t 对应的水波面的圆的半径为r ，面积为S ，则r=50t ，S=πr 2=2 500πt 2，当r=250时，t=5，故有s'=(2 500πt 2)'=5 000π²t=25 000π(cm 2/s).2.(选修1-1P83习题3改编)若做一个容积为256的方底无盖水箱，为使它的用料最省(全面积最小)，则它的高为 . 【答案】4【解析】设高为h ，底边长为x ，则x 2h=256，所以S=4hx+x 2=4x ²2256x +x 2=1024x +x 2，S'=-21024x +2x.令S'=0，解得x=8，此时h=4，S 取最小值.3.(选修2-2P34习题4改编)设函数f (x )=13x-ln x (x>0)，则y=f (x )的最小值为 .【答案】1-ln 3【解析】函数f (x )的定义域为(0，+∞)，由f'(x )=13-1x =0，得x=3，所以f (x )在(0，3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增，所以f (x )min =f (3)=1-ln 3.4.(选修1-1P79例2改编)设计一种体积为v 0的圆柱形饮料罐，为了使它的用料最省，则它的高为 .【解析】设圆柱的高为H ，底面半径为R ，则表面积为S=2πRH+2πR 2，又πR 2H=v 0，H=02v R π，故S=2πR ²02v R π+2πR 2=02v R +2πR 2，由S'=-022v R +4πR=0，解得，此时S 最小，H=02πv R5.(选修2-2P35例1改编)用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为 cm 时，容器的容积最大. 【答案】10【解析】设容器的高为x cm ，即小正方形的边长为x cm ，该容器的容积为V ，则V=(90-2x )(48-2x )x=4(x 3-69x 2+1 080x )，0<x<12，V'=12(x 2-46x+360)=12(x-10)(x-36)，当0<x<10时，V'>0；当10<x<12时，V'<0，所以V 在(0，10]上是增函数，在[10，12)上是减函数，故当x=10时，V 最大.1.最值与不等式各类不等式与函数最值的关系如下表：(续表)2.实际应用题(1)解题的一般步骤：理解题意，建立函数模型，使用导数方法求解函数模型，根据求解结果回答实际问题.(2)注意事项：注意实际问题的定义域；实际问题中的函数多数是单峰函数(即在定义域内只有一个极值点的函数)，这样的极值点也是最值点.【要点导学】要点导学各个击破利用导数研究函数的性质例1设函数f(x)=c ln x+12x2+bx(b，c∈R，c≠0)，且x=1为f(x)的极值点.(1)若x=1为f(x)的极大值点，求f(x)的单调区间(用c表示)；(2)若f(x)=0恰有两解，求实数c的取值范围.【思维引导】(1)条件：x=1为f(x)的极大值点；目标：确定函数f(x)的单调区间；方法：利用f'(1)=0使用c表示b后确定导数大于零和小于零的区间.(2)条件：使用c表达的函数解析式；目标：c的取值范围；方法：讨论函数的单调性和极值点，根据极值点的位置和极值大小确定方程有解的条件.【解答】f'(x)=cx+x+b=2x bx cx++，又因为f'(1)=0，所以b+c+1=0，所以f'(x)=(-1)(-)x x cx且c≠1，b+c+1=0.(1)因为x=1为f(x)的极大值点，所以c>1.当0<x<1时，f'(x)>0；当1<x<c时，f'(x)<0；当x>c时，f'(x)>0，所以f(x)的单调增区间为(0，1)，(c，+∞)；单调减区间为(1，c).(2)①若c<0，则f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，要使f(x)=0恰有两解，如图(1)所示，只需f(1)<0，即12+b<0，所以-12<c<0；图(1)图(2)图(3) (例1)②若0<c<1，则f (x )极大值=f (c )=c ln c+12c 2+bc=c ln c-22c -c ，f (x )极小值=f (1)=12+b=-12-c ，显然f (c )=c ln c-c-22c <0，f (x )极小值=-12-c<0，如图(2)所示，所以f (x )=0只有一解；③若c>1，则f (x )极小值=c ln c-c-22c <0，f (x )极大值=-12-c<0，如图(3)所示，所以f (x )=0只有一解.综上，使f (x )=0恰有两解的c 的取值范围为1-02⎛⎫⎪⎝⎭，.【精要点评】本题中讨论方程实数根的个数的基本思想是数形结合思想，在定义域区间端点函数值达到无穷大的、有两个极值点的函数类似三次函数，当其中两个极值都大于零或者都小于零时函数只有一个零点，当其中一个极值点等于零时函数有两个零点，当极大值大于零、极小值小于零时有三个零点.如果函数在定义域区间端点的函数值不是无穷的，还要结合端点值和极值的情况进行综合比较.变式 (2015²哈尔滨三中模拟)已知函数f (x )=x 3+ax 2-a 2x+m+2(a>0). (1)若f (x )在[-1，1]内没有极值点，求实数a 的取值范围；(2)当a=2时，方程f (x )=0有三个互不相同的解，求实数m 的取值范围.【思维引导】(1)若f (x )在[-1，1]内没有极值点，则f'(x )=0的根不在区间[-1，1]上；(2)方程f (x )=0有三个互不相同的解，则函数f (x )的极大值大于零、极小值小于零.【解答】(1)因为f'(x )=3x 2+2ax-a 2=3-3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭(x+a )，令f'(x )=0，得x=3a或-a ，因为f (x )在[-1，1]内没有极值点，而且a>0，所以13--1aa⎧>⎪⎨⎪<⎩，，解得a>3，故实数a的取值范围是(3，+∞).(2)当a=2时，f'(x)=32-3x⎛⎫⎪⎝⎭(x+2)=0的两根为23，-2，要使方程f(x)=0有三个互不相同的解，需使(-2)023ff>⎧⎪⎨⎛⎫<⎪⎪⎝⎭⎩，，解得-10<m<-1427，所以m的取值范围为1410,27⎛⎫--⎪⎝⎭.利用导数解决实际生活中的优化问题例2在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如图所示的一个门(该门为轴对称图形)，其中矩形ABCD的三边AB，BC，CD由长为6 dm的材料弯折而成，BC边的长为2t dm312t⎛⎫≤≤⎪⎝⎭.曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种：曲线C1是一段余弦曲线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为y=cos x-1，此时记门的最高点O到BC边的距离为h1(t)；曲线C2是一段抛物线，其焦点到准线的距离为98，此时记门的最高点O到BC边的距离为h2(t).(1)试分别求出函数h1(t)，h2(t)的表达式；(2)要使得点O到BC边的距离最大，应选用哪一种曲线?此时，最大值是多少?(例2)【思维引导】(1)可以通过求点D的坐标求出点O到BC边的距离；(2)利用导数的方法求出最大值，并进行比较.【解答】(1)对于曲线C1，因为曲线AOD的解析式为y=cos x-1，所以点D的坐标为(t，cos t-1)，所以点O到AD的距离为1-cos t，而AB=DC=3-t，则h1(t)=(3-t)+(1-cos t)=-t-cos t+4，1≤t≤3 2.对于曲线C2，因为抛物线的方程为x2=-94y，即y=-49x2，所以点D的坐标为24-9t t⎛⎫⎪⎝⎭，，所以点O到AD的距离为49t2，而AB=DC=3-t，所以h2(t)=49t2-t+3，1≤t≤32.(2)由(1)知h'1(t)=-1+sin t<0，所以h1(t)在312⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，所以当t=1时，h1(t)取得最大值3-cos 1.又h2(t)=249-98t⎛⎫⎪⎝⎭+3916，而1≤t≤32，所以当t=32时，h2(t)取得最大值52，因为cos 1>cos π3=12，所以3-cos 1<3-12=52.故选用曲线C2，当t=32时，点O到BC边的距离最大，最大值为52 dm.【精要点评】用导数解决实际问题的注意事项：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值舍去.(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使得f'(x )=0的情形，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值，就是问题的最优解.(3)在列函数关系式解决优化问题中，不仅要注意函数关系式表达要恰当，还要注意自变量的实际意义，依此确定定义域.变式 (2014²南京、盐城一模)如图，现要在边长为100 m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.以正方形的四个顶点为圆心，在四个角分别建半径为x m(x ≥9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为15x 2m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m ，绕岛行驶的路宽均不小于10 m .(1)求x 的取值范围(1.4)；(2)若中间草地的造价为a 元/m 2，四个花坛的造价为433ax 元/m 2，其余区域的造价为1211a元/m 2，问：当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低?(变式)【解答】(1)由题意得29100-2601-22105x x x x ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪⨯≥⨯⎩，，，解得920-2015x x x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩，，，即9≤x ≤15.所以x 的取值范围是[9，15]. (2)记“环岛”的整体造价为y 元，则由题意得y=a³π³2215x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+433ax³πx 2+1211a ³24221105x x ππ⎡⎤⎛⎫-⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=11a 432414*********x x x π⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝+⨯⎭⎣+-⎦-.令f (x )=-125x 4+43x 3-12x 2，则f'(x )=-425x 3+4x 2-24x=-4x21-625x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 由f'(x )=0，解得x=0(舍去)或x=10或x=15.列表如下：所以当x=10答：当x=10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低.导数在研究方程、不等式中的应用例3 已知函数f (x )=2x 2，g (x )=a ln x (a>0). (1)若不等式f (x )≥g (x )恒成立，求a 的取值范围；(2)求证：44ln22+44ln33+…+44ln n n <2e .【思维引导】(1)条件：已知函数f (x )，g (x )的解析式；目标：在不等式f (x )≥g (x )恒成立时求参数a 的取值范围；方法：构造函数F (x )=f (x )-g (x )，只要函数F (x )在(0，+∞)上的最小值大于0即可得参数a 的不等式，解此不等式即得所求.(2)条件：(1)的求解结果；目标：证明(2)中的不等式；方法：根据(1)中结果得到不等式，使用特殊赋值法和放缩法可得.【解答】(1)令F (x )=f (x )-g (x )=2x 2-a ln x ，a>0，x>0，则F'(x )=4x-ax ，令F'(x )=0，得x=2，所以F(x)的单调减区间为⎛⎝⎭，单调增区间为∞⎫+⎪⎪⎝⎭，F(x)min=F(x)极小值=F2⎛⎝⎭=2a-aln ，只要2a-aln ≥0即可，得a≤4e且a>0，即a∈(0，4e].(2)由(1)得2x2≥4eln x，即44ln xx≤22e x，所以44ln22+44ln33+…+44ln nn≤2222111…e23n⎛⎫+++⎪⎝⎭<2e112⎡⎢⨯⎣+123⨯+…+1(-1)n n⎤⎥⎦<2e.【精要点评】含有参数的不等式恒成立问题是高考的一个热点题型，解决这类试题的基本思想是转化思想，即把含参不等式的恒成立问题转化为函数的最值或者值域问题，根据函数的最值或者值域找到参数所满足的不等式，即得到了参数的取值范围.变式(2016²苏州期中)已知函数f(x)=x2-2ax+1.(1)若函数g(x)=log a[f(x)+a](a>0，a≠1)的定义域是R，求实数a的取值范围；(2)当x>0时，不等式()f xx>ln x恒成立，求实数a的取值范围.【解答】(1)由题意知，对任意的x∈R，f(x)+a>0恒成立，即x2-2ax+1+a>0恒成立，即Δ=4a2-4(1+a)<0，即a2-a-1<0，解得<a<.又因为a>0，a≠1，所以实数a的取值范围是(0，1)∪⎛⎝⎭.(2)当x>0时，不等式()f xx>ln x等价于x-2a+1x>ln x，即2a<x+1x-ln x.设g(x)=x+1x-ln x(x>0)，则g'(x )=1-21x -1x =22--1x x x ，令g'(x )=0，得x=，当0<x<时，g'(x )<0，g (x )单调递减；当x>12时，g'(x )>0，g (x )单调递增.故当x=时，g (x )取得极小值，也是最小值，且g (x )min=g12⎛ ⎝⎭ln .因为2a<x+1x -ln x ，所以2ln 12+，所以实数a 的取值范围是11,ln 222⎛-∞- ⎝⎭.1.(2015²全国卷)设函数f'(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (-1)=0，且当x>0时，xf'(x )-f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是 .【答案】(-∞，-1)∪(0，1)【解析】记函数g (x )=()f x x ，则g'(x )=2'()-()xf x f x x ，因为当x>0时，xf'(x )-f (x )<0，故当x>0时，g'(x )<0，所以g (x )在(0，+∞)上单调递减；又因为函数f (x )(x ∈R )是奇函数，故函数g (x )是偶函数，所以g (x )在(-∞，0)上单调递增，且g (-1)=g (1)=0.当0<x<1时，g (x )>0，则f (x )>0；当x<-1时，g (x )<0，则f (x )>0，综上所述，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(-∞，-1)∪(0，1).2.(2015²启东调研)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高应为 cm .【答案】【解析】设圆锥的高为x cmV=13πx (202-x 2)(0<x<20)，V'=13π(400-3x 2)，令V'=0，解得x 1=，x 2=-(舍去).当0<x<时，V'>0；当3<x<20时，V'<0，所以当x=3时，V 取最大值.3.(2014²苏锡常镇连徐调研(一))已知函数f (x )=22(2-)e 0-430x x x x x x x ⎧≤⎨++>⎩，，，，g (x )=f (x )+2k ，若函数g (x )恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 .【答案】73--22⎛⎫ ⎪⎝⎭，∪0⎧⎪⎨⎪⎩(第3题)【解析】当x ≤0时，f'(x )=(2-x 2)e x，当f (=-1)²e当x<0时，f (x )<0，且f (0)=0，函数f (x )的图象如图所示，函数g (x )恰有两个不同的零点，就是f (x )的图象与直线y=-2k 有两个不同的交点，所以3<-2k<7或-2k=0或-2k=-1)ek ∈73,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭∪⎧⎫⎪⎨⎪⎩.4.(2015²江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l.如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5 km 和40 km ，点N 到l 1，l 2的距离分别为20 km 和2.5 km ，以l 1，l 2所在的直线分别为x轴、y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y=2a xb +(其中a ，b 为常数)的模型.(1)求a ，b 的值.(2)设公路l 与曲线C 相切于点P ，点P 的横坐标为t. ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短?求出最短长度.(第4题)【解答】(1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)，将其分别代入y=2a xb +，得4025 2.5400aba b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，，解得10000.a b =⎧⎨=⎩，(2)①由(1)知，y=21000x (5≤x ≤20)，则点P 的坐标为21000t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.设在点P 处的切线l 交x 轴、y 轴分别于A ，B 两点，y'=-32000x ，则直线l 的方程为y-21000t =-32000t (x-t )，由此得A 302t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B 230000t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 所以f (t )t ∈[5，20].②设g (t )=t 2+64410t ⨯，则g'(t )=2t-651610t ⨯.令g'(t )=0，解得t=当t ∈(5，时，g'(t )<0，g (t )是减函数； 当t ∈20)时，g'(t )>0，g (t )是增函数. 从而，当t=g (t )有极小值，也是最小值， 所以g (t )min =300，此时f (t )min =答：当t=l 的长度最短，最短长度为.【融会贯通】融会贯通 能力提升(2014²南京学情调研)已知函数f (x )=ax 2-ln x (a 为常数).(1)当a=12时，求f (x )的单调减区间；(2)若a<0，且对任意的x ∈[1，e]，f (x )≥(a-2)x 恒成立，求实数a 的取值范围.【思维引导】【规范解答】(1)f (x )的定义域为(0，+∞)，f'(x )=2ax-1x =22-1ax x .当a=12时，f'(x )=2-1x x (2)分由f'(x )<0及x>0，解得0<x<1，所以函数f (x )的单调减区间为(0，1).………………………………………………………4分(2)方法一：设F (x )=f (x )-(a-2)x=ax 2-ln x-(a-2)x.因为对任意的x ∈[1，e]，f (x )≥(a-2)x 恒成立， 所以当x ∈[1，e]时，F (x )≥0恒成立.F'(x )=2ax-1x -(a-2)=22-(-2)-1ax a x x =(1)(2-1)ax x x .因为a<0，令F'(x )=0，得x 1=-1a ，x 2=12<1.………………………………………………7分 ①当0<-1a ≤1，即a ≤-1时，因为x ∈(1，e)，所以F'(x )<0，所以F (x )在(1，e)上单调递减.因为对任意的x ∈[1，e]，F (x )≥0恒成立，所以F (x )min =F (e)≥0，即a e 2-1-(a-2)e≥0，解得a ≥21-2e e -e . 因为21-2e e -e >-1，所以此时a 不存在.…………………………………………………………………………10分②当1<-1a <e ，即-1<a<-1e 时，因为x ∈11-a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，F'(x )>0；x ∈1-e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，F'(x )<0， 所以F (x )在11-a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1-e a⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减. 因为对任意的x ∈[1，e]，F (x )≥0恒成立， 所以F (1)=2>0，且F (e)≥0，即a e 2-1-(a-2)e≥0，解得a ≥21-2ee -e . 因为-1<21-2e e -e <-1e ，所以21-2e e -e ≤a<-1e (13)分③当-1a ≥e，即-1e ≤a<0时，因为x ∈(1，e)，所以F'(x )>0，所以F (x )在(1，e)上单调递增，由于F (1)=2>0，符合题意.……………………………15分综上所述，实数a 的取值范围是21-2e 0e -e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.………………………………………………16分 方法二：因为f (x )≥(a-2)x 在x ∈[1，e]上恒成立， 即a (x 2-x )≥ln x-2x 在x ∈[1，e]上恒成立.2 当x=1时，此不等式恒成立，故此时a ∈R .……………………………………………6分②当x ∈(1，e]时，a ≥2ln -2-x x x x 在x ∈(1，e]上恒成立，令g (x )=2ln -2-x x x x ，x ∈(1，e]，则g'(x )=22(2-1)[(1)-ln ](-)x x x x x +， …………………………………………………………………9分令h (x )=x+1-ln x ，x ∈(1，e]，则h'(x )=1-1x =-1x x >0在x ∈(1，e]上恒成立，故h (x )在x ∈(1，e]上单调递增，从而h (x )>h (1)=2>0.……………………………………12分从而知，当x ∈(1，e]时，g'(x )>0恒成立， 故g (x )在(1，e]上单调递增，14分所以g (x )max =g (e)=21-2e e -e ，故a ≥21-2e e -e ，又a<0，故实数a 的取值范围是21-2e 0e -e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭， (16)分【精要点评】求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数a 的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析，验证其不符合题意，即可确定所求.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第39~40页.【检测与评估】第20课 导数的综合应用一、 填空题1.若函数y =ax 3-x 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是 .2.已知函数f (x )=x 3-3a 2x +1的图象与直线y =3只有一个公共点，那么实数a 的取值范围是 .3.(2015²无锡模拟)已知某生产厂家的年利润y (单元：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y =-13x 3+81x -234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万件.4.若函数y =m 与y =3x -x 3的图象有三个不同的交点，则实数m 的取值范围为 .5.(2015²海门中学)若对任意的x ∈[1，e ]，都有a ln x ≥-x 2+(a +2)x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .6.已知a ∈R ，且函数y =e x+ax ，x ∈R 有大于零的极值点，那么实数a 的取值范围是 .7.(2014²河北质检)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，那么当正六棱柱的体积最大时，其高为 .8.(2015²汇龙中学)现有一张长为80 cm ，宽为60 cm 的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一个无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处的损失.如图，若长方形ABCD 的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，则该铁皮盒体积V 的最大值为 cm 3.(第8题)二、解答题9.(2014²南京一中)甲方是一农场，乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(单位：元)与年产量t(单位：t)满足函数关系x.若乙方每生产1 t产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).(1)将乙方的年利润ω(单位：元)表示为年产量t的函数，并求出乙方获得最大利润时的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(单位：元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少?10.(2015²曲塘中学)设函数f(x)=x3-92x2+6x-a.(1)若对于任意实数x，f'(x)≥m恒成立，求实数m的最大值；(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根，求实数a的取值范围.11.(2015²全国卷)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求实数a的取值范围.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015²福建卷)已知函数f(x)=ln x-2 (-1)2x.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)求证：当x>1时，f(x)<x-1；(3)确定实数k的所有可能取值，使得存在x0>1，当x∈(1，x0)时，恒有f(x)>k(x-1).【检测与评估答案】第20课 导数的综合应用1.(-∞，0] 【解析】y'=3ax 2-1，因为函数y=ax 3-x 在R 上是减函数，所以3ax 2-1≤0在R 上恒成立，所以a ≤0.2.(-1，1) 【解析】f'(x )=3x 2-3a 2，令f'(x )=0，则x=±a.由题意知当a<0时，f (a )=a 3-3a 3+1<3，即a 3>-1，所以-1<a<0；当a=0时，成立；当a>0时，f (-a )=-a 3+3a 3+1<3，即a 3<1，所以0<a<1.故实数a 的取值范围为(-1，1).3.9 【解析】因为y'=-x 2+81，所以当x>9时，y'<0；当x ∈(0，9)时，y'>0，所以函数y=-13x 3+81x-234在(9，+∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x=9是函数的极大值点.又因为函数在(0，+∞)上只有一个极大值点，所以函数在x=9处取得最大值.4.(-2，2) 【解析】y'=3(1-x )(1+x )，令y'=0，得x=±1，所以y 极大值=2，y 极小值=-2，作出函数y=3x-x 3和y=m 的大致图象如图所示，根据图象知-2<m<2.(第4题)5.(-∞，-1] 【解析】由a ln x ≥-x 2+(a+2)x ，得(x-ln x )a ≤x 2-2x.由于x ∈[1，e]，lnx ≤1≤x ，且等号不能同时取得，所以ln x<x ，x-ln x>0.从而a ≤2-2-ln x xx x 恒成立，即a ≤2min -2-ln x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.设t (x )=2-2-ln x x x x ，x ∈[1，e].求导，得t'(x )=2(-1)(2-2ln )(-ln )x x x x x +，x ∈[1，e]，x-1≥0，ln x≤1，x+2-2ln x>0，从而t'(x)≥0，t(x)在[1，e]上为增函数，所以t(x)min=t(1)=-1，所以a≤-1.6. (-∞，-1)【解析】y'=e x+a，由y'=0，得x=ln(-a).因为x>0，所以-a>1，所以a<-1，即实数a的取值范围是(-∞，-1).7.【解析】设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则可得a2+24h=9，即a2=9-24h，那么正六棱柱的体积V=6³a2³h=³29-4h⎛⎫⎪⎝⎭h=³3-94hh⎛⎫+⎪⎝⎭.设y=-34h+9h(0<h<6)，则y'=-234h+9，令y'=0，得h=易知当h=y取得最大值，此时正六棱柱的体积最大.8.32000【解析】设长方体的底面边长为x cm，高为y cm，则x2+4xy=4 800，即y=24800-4xx，0<x<60.铁皮盒体积V(x)=x2y=x2²24800-4xx=-14x3+1 200x，令V'(x)=0，得x=40，因为当x∈(0，40)时，V'(x)>0，V(x)是增函数；当x∈(40，60)时，V'(x)<0，V(x)是减函数，所以V(x)=-14x3+1 200x在x=40时取得极大值，也是最大值，其值为32 000 cm3.9. (1)因为赔付价格为s元/t，所以乙方的实际年利润为ω=因为ω=-s)2=-s2310s⎫⎪⎭+610s，所以当t=6210s时，ω取得最大值.所以乙方取得最大年利润时的年产量是6210s t.(2)设甲方净收入为v元，则v=st-0.002t2，当t=6210s 时，v=610s -94210s ⨯. v'=-6210s +95810s ⨯=63510(8?000-)s s ⨯，令v'=0，得s=20.当s<20时，v'>0；当s>20时，v'<0，所以当s=20时，v 取得最大值.因此甲方向乙方要求赔付价格为20元/t 时，获得最大净收入.10.(1) f'(x )=3x 2-9x+6=3(x-1)(x-2)，因为x ∈(-∞，+∞)，f'(x )≥m ， 即3x 2-9x+(6-m )≥0恒成立，所以Δ=81-12(6-m )≤0，解得m ≤-34，即m 的最大值为-34.(2) 因为当x<1时，f'(x )>0；当1<x<2时，f'(x )<0；当x>2时，f'(x )>0，所以当x=1时，f (x )取得极大值f (1)=52-a ；当x=2时，f (x )取得极小值f (2)=2-a.故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )=0仅有一个实根， 解得a<2或a>52，即实数a 的取值范围为(-∞，2)∪52∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，.11.(1) f (x )的定义域为(0，+∞)，f'(x )=1x -a.若a ≤0，则f'(x )>0，f (x )在(0，+∞)上单调递增；若a>0，则当x ∈10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，f'(x )>0，当x ∈1a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，时，f'(x )<0，所以f (x )在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上单调递减.(2) 由(1)知当a ≤0时，f (x )在(0，+∞)上无最大值；当a>0时，f (x )在x=1a 处取得最大值，最大值为f 1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=ln 1a +a 11-a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-ln a+a-1.因此f 1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭>2a-2⇔ln a+a-1<0.令g (a )=ln a+a-1，g'(a)=1a+1，当a>0时，g'(a)>0，所以g(a)在(0，+∞)上是增函数，g(1)=0，于是当0<a<1时，g(a)<0；当a>1时，g(a)>0，因此实数a的取值范围为(0，1).12.(1) f'(x)=1x-x+1=2-1x xx++，x∈(0，+∞)，令f'(x)>0，得2-10xx x>⎧⎨++>⎩，，解得<x<.故f(x)的单调增区间是⎛⎝⎭.(2) 令F(x)=f(x)-(x-1)，x∈(0，+∞)，则有F'(x)=21-x x.当x∈(1，+∞)时，F'(x)<0，所以F(x)在(1，+∞)上单调递减，故当x>1时，F(x)<F(1)=0，即当x>1时，f(x)<x-1.(3) 由(2)知，当k=1时，不存在x0>1满足题意.当k>1时，对于x>1，有f(x)<x-1<k(x-1)，则f(x)<k(x-1)，从而不存在x0>1满足题意.当k<1时，令G(x)=f(x)-k(x-1)，x∈(0，+∞)，则有G'(x)=1x-x+1-k=2-(1-)1x k xx++.由G'(x)=0，得-x2+(1-k)x+1=0，解得x1=<0，x2=>1，x∈(0，+∞).当x∈(1，x2)时，G'(x)>0，故G(x)在[1，x2)内单调递增. 从而当x∈(1，x2)时，G(x)>G(1)=0，即f(x)>k(x-1)，综上，实数k的取值范围是(-∞，1).。