上海市宝山区2010届高三上学期期末考试(数学)

上海市宝山区2010届高三上学期期终质量管理测试卷
高 三 数 学
本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．编辑：仝艳娜 审核：纪爱萍 一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写
结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若复数2
14+=-+
t
z t i
对应的点在第四象限，则实数t 的取值范围是 ． 2．若圆2
2
260++-+=x y x y m 与直线3x+4y+1=0相切，则实数m= ．
3．已知三元一次方程组x y 2z 6x z 1x 2y 0++=⎧⎪
-+=⎨⎪+=⎩
，则y D 的值是 ．
4．有10件产品分三个等次，其中一等品4件，二等品3件，三等品3件，从10件产品中任取2件，则取出的2件产品同等次的概率为 ．
5．已知等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列｛n a ｝的前10项之和是 ．
6．某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根柱支撑，其中最高支柱的高度是 ． 7．已知向量23⎛⎫
= ⎪⎝⎭B 经过矩阵01⎛⎫
=
⎪⎝⎭
a A
b 变换后得到向量'B ，若向量B 与向量'B 关于直线y=x 对称，则a+b= .
8．已知二项式8
1x a ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭展开式的前三项系数成等差
数列，则a= .
9．已知 3()+∈a i a R 是一元二次方程2
40-+=x x t 的 一个根，则实数t=______．
10．方程sin 4sin 2=x x 在(0,)π上的解集是________ ． 11．按如图1所示的程序框图运算，若输出2k =，则输 入x 的取值范围是 ．
12．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，又是周期为2的周期函数， 当)1,0[∈x 时，12)(-=x x f ，则0.5f (log 6)的值为 ．
13．已知一圆锥的底面半径与一球的半径相等，且全面积也 相等，则圆锥的母线与底面所成角的大小为 ． (结果用反三角函数值表示)
14．对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ⋅⋅⋅（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i >，则称p i 与q i 是该数组的一个“逆序”
，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”． 例如，数组()2,4,3,1中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数”等于4． 若各数互不相等的正数数组()1234,,,a a a a 的“逆序数”是2，则()4321,,,a a a a 的“逆序数”是 ．
二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．
15．以下四个命题中的假命题是……（ ）
（A ）“直线a 、b 是异面直线”的必要不充分条件是“直线a 、b 不相交”； （B ）直线“b a ⊥”的充分不必要条件是“a 垂直于b 所在的平面”； （C ）两直线“a//b ”的充要条件是“直线a 、b 与同一平面α所成角相等”； （D ）“直线a//平面α”的必要不充分条件是“直线a 平行于平面α内的一条直线”． 16．已知 e e 12，为不共线的非零向量，且
e e 12=，则以下四个向量中模最小者为……（ ） （A ）
121212
e e + （B ）132312
e e +
（C ）253512
e e +
（D ）1434
12 e e +
17．已知：圆C 的方程为0),(=y x f ，点),(00y x P 不在圆C 上，也不在圆C 的圆心上，方程0),(),(:'00=-y x f y x f C ，则下面判断正确的是……( )
(A) 方程'C 表示的曲线不存在；
(B) 方程'C 表示与C 同心且半径不同的圆； (C) 方程'C 表示与C 相交的圆；
(D) 当点P 在圆C 外时，方程'C 表示与C 相离的圆。

18．幂函数1
y x -=，及直线y x =，1y =，1x =
将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如图所示），那么， 幂函数3
2
y x
-=的图像在第一象限中经过的“卦
限”是……（ ）
（A ）Ⅳ，Ⅶ （B ）Ⅳ，Ⅷ （C ）Ⅲ，Ⅷ （D ）Ⅲ，Ⅶ
三、解答题（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对
应的题号）内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）
在正四棱柱1111-ABCD A B C D 中，已知底面ABCD 的边长为2，点P 是1CC 的中点，直线AP 与平面11BCC B 成
30角，求异面直线1BC 和AP 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)
20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数2x x x
f (x)sin
cos 333
=． （1）将f(x)写成Asin(x )h ω+ϕ+（A 0>）的形式，并求其图像对称中心的横坐标；
x
1
1
-
P
（2）如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足2
b a
c =，且边b 所对的角为x ，试求x 的取值范
围及此时函数f(x)的值域.
21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数()3=+x
f x k (k 为常数)，(2,2)-A k 是函数1
()-=y f x 图像上的点．
（1）求实数k 的值及函数1
()-=y f x 的解析式；
（2）将1
()-=y f
x 的图像按向量a (3,0)=平移得到函数y=g(x)的图像．
若1
2f (x 3)g(x)1--≥对任意的0>x 恒成立，试求实数m 的取值范围．
22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．
已知点12,F F 是双曲线M ：22
221-=x y a b
的左右焦点，其渐近线为=y ，且右
顶点到左焦点的距离为3． (1)求双曲线M 的方程；
(2) 过2F 的直线l 与M 相交于A 、B 两点，直线l 的法向量为(,1),(0)=->n k k ，且0⋅=OA OB ，求k 的值；
(3)在(2)的条件下，若双曲线M 在第四象限的部分存在一点C 满足2+=OA OB mF C ，求m 的值及△ABC 的面积∆ABC S ．
23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，n 1n 3a 4S 3++=（n 为正整数）.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记 ++++=n a a a S 21，若对任意正整数n ，n kS S <恒成立，求k 的取值范
围?
（3）已知集合{}
0,)1(2>+≤+=a x a a x x A ，若以a 为首项，a 为公比的等比数列前n 项和记为n T ，问是否存在实数a 使得对于任意的n n N ,T A *∈∈均有.若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.
2009学年第一学期期终质量管理测试卷
高 三 数 学 参 考 答 案
2010.1.24
一、填空题
1. (1,2)-
2. 6
3. 4
4.
4
15
5. 100
6. 3.84米
7. 1
8. 2或14
9. 13 10. }6
5
,2,6{πππ
11.20072009,42⎛⎤
⎥⎝⎦
. 12. 32- 13. 1arccos 3 14. 4 二、选择题.
15.C 16.A 17.B 18.D
三、解答题
19．解: 连结BP ，设长方体的高为h ， 因为AB ⊥平面11BCC B ，
所以，∠APB 即为直线AP 与平面11BCC B 所成的角…………………………3分
PB =，
由0tan 60=
得h =．……………………………………………5分 又因为11//AD BC ，
所以1∠D AP 是异面直线1BC 和AP 所成的角．………………………………8分 在1D AP ∆中，16=AD ，PA 4=
，1D P =
所以，11636125
cos D AP 2466
+-∠==⋅⋅，即15D AP arccos 6∠=……………12分
20．解：（1）2
3)3
3
2sin()3
2cos 1(2
33
2sin 2
1)(++=++=πx x x x f (3)
分
由)332sin(π+x =0即2x 3k 1
k (k z)x ,k z 332
π-+=π∈=π∈得 即
对
称
中
心
的
横
坐
标
为
3k 1
,k z 2
-π∈……………………………………………………6分
（2）由已知b 2
=ac 知22222a c b a c ac 2ac ac 1
cos x 2ac 2ac 2ac 2
+-+--=
=≥= 12x 5cos x 1,0x ,233339
ππππ
∴≤<<≤<+≤
……………………………………9分
52x |
|||sin sin()1
3292333
ππππππ-
>-∴<+≤ 2x sin()133π<++≤
即)(x f 的值域为]2
3
1,3(+，
综上所述，]3,0(π∈x ， )(x f 的值域为]23
1,3(+ …………………………………
14分
21．解：（1）∵A （－2k ， 2）是函数y=f －1
(x)图像上的点． ∴B （2，－2K ）是函数y=f(x)上的点． ∴-2k=32
+k
∴k=－3， ∴y=f(x)=3x
－3 ……………………………………………………………………3分
∴y=f －1
(x)=log 3(x+3)，(x>－3) ………………………………………………………………6分
P
（2）将y=f －1
(x)的图像按向量a =（3，0）平移，得函数y=g(x)=log 3x(x>0) …………8分
要使2f －1
(x+3-m )－g(x)≥1 恒成立，
即使2log 3
－log 3x ≥1恒成立．
所以有
x+m
x +3在x>0时恒成立， 只须（
x+m
x
+）min ≥3． (11)
分
又x+
m x m 2≥(当且仅当x=m x x m
=即时取等号) ∴（x+m x
m
2+）min =4m ，
只须4m ≥3，即m ≥16
9
．
∴实数m 的取值范围为⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,169 (14)
分
22．解: (1) 由题意得2
2
13
-=y x ．…………………………………………………………4分 (2) 直线
l
的方程为
(2)
=-y k x ，由
2
213(2)⎧-
=⎪⎨
⎪=-⎩
y x y k x 得2222(3)4(43)0-+-+=k x k x k （*）
所以2122
2
12243433⎧+=-⎪⎪-⎨+⎪⋅=-⎪-⎩
k x x k k x x k ………………………………………………………………6分 由0⋅=OA OB 得12120⋅+⋅=x x y y
即222
1212(1)2()40+⋅-++=k x x k x x k
代入化简，并解得=k （舍去负值）……………………………………………9分
(3)把
=
k *）并化简得2
4490+-=x x ， 此时1212194
+=-⎧⎪⎨⋅=-⎪⎩x x x x ，
所以||4=
=AB …………………………………11分
设00(,)C x y ，由2+=OA OB mF C
得0012⎧
=-⎪⎪
⎨⎪=-⎪⎩x m y m 代入双曲线M 的方程解得
32=-m （舍），m=2
，所以3(,22
-C ，……………………………………14分
点C 到直线AB
的距离为=d
所以1
||2
∆=⋅=ABC S d AB 16分
23．(1) 由题意知，当2≥n 时，n 1n n n 13a 4S 33a 4S 3
+-+=⎧⎨
+=⎩ 两式相减变形得:n 1n a 1
(n 2)a 3+=-≥
又1=n 时， 21
a 3
=-
，于是 21a 1a 3=-………………………………………1分
故 }{n a 是以11=a 为首项，公比1
q 3
=-的等比数列 *n n 1
1
a ,(n N )(3)
-∴=∈-………………………………………………………………4分
(2) 由
13S 14
13
=
=
+ 得
n n
41k S 13(3)<=--=)(n f ………………………………5分
当n 是偶数时，)(n f 是n 的增函数， 于是9
8
)2()(min ==f n f ，故98<k (7)
分
当n 是奇数时，)(n f 是n 的减函数， 因为n lim f (n)1→∞
=，故k ≤1． (9)
分
综上所述，k 的取值范围是)9
8
,(-∞…………………………………………………………10分
（3）①当a 1,A {x |1x a}≥=≤≤时，
22T a a =+，若22T A,1a a a.∈≤+≤则
⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤≥-+1,0,0122a a a a 得此不等式组的解集为空集. 即当a 1,≥时不存在满足条件的实数a. ………………………………………………13分 ②当}.1|{,10≤≤=<<x a x A a 时
而2n n n a
T a a a (1a )1a
=++
+=
--是关于n 的增函数. 且n n n a a
lim T ,T [a,).1a 1a
→∞=∈--故…………………………………………………15分 因此对任意的,*
∈N n 要使n 0a 1,
T A,a 1.1a
<<⎧⎪∈⎨≤⎪-⎩只需解得.210≤<a ……………18分。