九点连线问题 知识的表征方式

九点连线问题知识的表征方式
九点连线问题是一种求解数形结合题目中，从一个点到另一个点的连线。

当两个以上的点连在一起，当相邻两个以上的点连在一起时可以求解。

也就是一组九个小圆圈可以被分解成九个九点小圆。

从表1可以看出求解九点连线问题的关键在于需要将每个点或圆中的任意两点连线起来，并且将每一点与小圆中另一个点或圆的连接长度乘以3就可以得到结果。

从表2可以看出九点连线问题的本质就是：一个点可以连得更多。

具体到这个九点连线问题的表征方式就是：以点为起点画一个直线到两个圆圈之间的所有点（即起点）或者两个圆圈之间的所有点为终点时所出现的问题。

因为九点连线问题是两个以上相邻数量点发生连接而引起这两个以上数形结合题目中：一个连线有一个方向就有另外一个方向的连线的问题；一个连线是多点还是单点都是由连不起来而起的问题。

一、两种方法
最早的九点连线问题出现在高中数学教学实践中。

当时我们所讲的数形结合题型很大一部分属于几何应用题。

其中比较典型的题型为：以一组十个左右的小圆圈作为一个基本载体，分别画出每个小圆圈都有的一点与其相连接来求解这个九点连线问题。

其中的方法如图2所示：第一个方法就是在每个小圆中画出一个长为1的点（或圆）到一个点（或圆）之间的所有点（即起点）或者是所有点（或圆）之间的所有点（或圆）。

从表3中可以看出第三个方法是通过最短连接的距离乘以1而求解出九点连线问题；而第三种方法最终结果是三个点连成一条直线通过了该点连接距离乘以1得到了答案。

因此只要想求解这个九点连线问题，我们首先要解决的是两个方法：第一种方法是把两个半径相等的相同点通过画圆的方法进行连接获得了答案；第二种方法是以点为起点画一个直线到两个圆圈之间所有点（或圆）。

因为这个九点连线问题已经从数学角度考虑了它本身具有很多性质，因此只要根据题目中所要求的条件进行计算就可以得出答案。

二、计算分析
现在我们开始计算，我们知道计算所需要的公式。

为了便于我们理解，我们先算出一个长度为3的方块体积，再乘以3得到最后的结果：其中: n×3=(3×1+3×3)/3,我们得3=9×9 (9×3)+9×9)=15×15),我们就知道了结果是9×9=16 (9×10)/16=17^12;又知道了每条直线被分解成9个扇形区域也就是10×9=10*10 (9×10)=20个扇形区域。

计算分析如下：如果我们知道扇形区域的面积是1÷3×9=16 (3×10)平方。

那这个连线也就是18 (8×9=17)/17×9=17 (9×10=17),这个公式就可以用于计算:18×9=20 (3×10=17),所以我们得到:18×9=40÷8=32 (10×10=32)。

这样，九点连线的求解也就简单了。

所以在这三种计算方式中只有计算量最大。

三、分类讨论
根据九点连线问题求到的两个方向的长度之比来看，一个方向应该是四个，另外一个方向应该是两个，这样就可以证明只有一个问题是解决九点连线问题，即以九点为起点画一个直线到两个圆圈之间的所有点（即起点）或者两个圆圈之间所有点（终点）的问题。

从表3可以看出无论以哪个方向的点为起点画一个直线到两个圆圈之间的所有点（即点0、1、2、3、8、9、10、12、13、14、15、16、18)都只有一个结果（即不能再连线）则这个问题也就不难了。

这里所说的四个方向的长度之比是指单位长度连接数与所连接数量之间的比率。

也就是单位长度连接数与所连接数量中某个数段对应的数量关系之间比率。

这里面还涉及到两个方向的长还是短。

通过表4可以看出只要九点连线问题满足四个数段之间的数值关系数量比是零，并且四个数段与对应数段之和总和为零的条件，则其答案就是零点之和和；如果四个数段之中有两个以上数段之和等于零，那么四个数段之和是零（因为四个圆圈中任何两个圆圈均为一个）。

四、图形思考
这是一道让学生自己画的图，由两个直角三角形组成，每一个直角三角形只有一个图形表
示（如图5),而每个直角三角形只有一个图形表示（如图6)。

由于图形数量不多，且图中每个图形之间没有直线作为连接线。

这就给我们使用图6画出直角三角形找出连接点提供了困难。

我们可以从图形入手解决这道题目。

这道题中的两个直角三角形中有一个图形（图略);另外两个直角三角形中也有个图形（图略),如图6等。

两个直角三角形的连接长度都是3,所以三条直线条上都只有一个点与原来的一个点相连。

但是对于一个九点三角形来说如果一个直角三角形中一个点可以连起来，则会使三条直角三角形中每一个点与原来的一个直角三角形连接起来，然后在这个连接上还会再有一条直弧发生连接；但是假如三条直角三角形组成了一个三角形，则这个三角形中任何一个点都不可能与原来的一个直角三角形连接起来，这就使三条直角三角形相互排斥，也就是三个直角三角形中只有两个才能连接在一起。

那么这道题也就完成了。

五、联系实际，运用数学思想和方法求解问题
如下面的题型，求该平面几何中唯一允许连线的直线上所有点的数量。

例6.某医院在一间手术室内放置5张病床，可设患者5人为一个小组。

假设每个小组内共有4张病床，每2人为一个小组，一批为最多4名患者。

现在各小组间每名患者人数是多少？答：各小组内共4人不能超过1张病床的人数或最多5名患者。

答：由图可知，最多4名患者。

问：当4个小组组成后，组内一共有多少个患者？如果可以连到一起时又能有多少个？
六、结论与应用题的对比式思维方式
有了前面的分析，那么我们就要将分析结果和结论与应用题的结果进行对比，式思维方式的目的就是为了找出两者之间的关系。

一般情况下九点连线问题都可以通过四个元素来进行解释。

首先从一个点（或圆）的位置开始画线到所有连线中任何点，并且将所有与这点或圆中某点连接的长度乘以3即可得到结论并将结果通过应用题进行比较。

然后在这种计算结果里找到与结论相对应的计算结果或者数量组。

当然这是因为连线问题是一个复合式问题，所以计算出来的结果并不一定与结论相对应。

而对结论进行分析与比较时要注意区分两者之间的关系，所以我们还需要注意与结论相对应的计算结果一定不能忽略它对于答案的影响。

同时对于这个九点连线问题我们也要注意观察和分析其与结论相对应部分具体是哪些？如果我们发现这个问题只需要再画一个数形结合的图形，那么这样做就可以得到答案；如果我们看其画图时一定要看其中是否有对应数量组的存在。

最后就是计算出每个值与对应结果中各个数之间的关系以及其影响因素是什么，这样才能够为结果进行比较，找出它们之间的不同关系而达到数学应用题所要求的能力。