初一数学三角形角度的相关计算

[适用年级]：华师七年级
[期 别]：39期
[栏 目]：一点就通
三角形中的角度计算
河南安阳市十六中学 牛书堂 455000
要进行三角形的角度计算，首先要搞清楚三角形角度之间的关系变化。

1、内角和定理
在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°
2、外角定理
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
3、直角三角形的两锐角
直角三角形的两个锐角之和等于90°
4、等腰三角形的三角的关系
已知等腰三角形的顶角为n °，则两底角为2
1(180°－n °);已知等腰三角形的一个底角为 n °，则另一个底角也是n °,顶角为180°－2n °.
三角形中的角度计算主要分以下三种形式：
1、方程法，
2、推理代换法，
3、特殊值法
1、方程法
例1、在△ABC 中，AB=AC ，CD 平分∠C ，∠ADC=150°，求∠B
[分析] (1)所求的∠B 在△DBC 内，已知的∠ADC 是△DBC 的外角，所以有∠ADC=∠B+∠BCD 。

∠B 是等腰△ABC 的顶角，∠BCD 是底角的一半，可以用∠B 表示，所以可利用方程式求∠B 。

(2)因为∠A 是底角，∠ACD 是底角的一半，
∠ADC 是已知角，所以可以先求出∠A 。

解法1、设∠B=x ，则∠ACB=
21(180°－x),∠BCD=41(180°－x),由三角形的内角和定理，可得∠B+∠BCD=∠ADC ，即 x+4
1(180°－x)=150° 所以x=140° 解法2、设∠A=x ，则∠ACB=x,∠ACD=
21x 。

因为∠A+∠ACD+∠ADC=180°， 所以 x+2
1x+150°=180° 解得x=20°,即∠A=20°
∴∠B=180°－2×20°=140°
例2、在△ABC 中，∠A ：∠B=5：7，∠C 比∠A 大10°，求∠C
C B
A
解：设∠C=x,则∠A=x －10°,∠B=
57(x-10°),所以有 x+(x －10°)+5
7(x －10°)=180° 解得x=60°,即∠C=60°
例3、D 是△ABC 的BC 边上一点，AD=BD ，AB=AC=CD ，求∠BAC
[分析]因为AD=BD ，AB=AC=CD ，所以有∠B=∠BAD=∠C ， ∠DAC=∠ADC ，且∠BAC+∠B+∠C=180°，这样我们可以设
∠B=x,列出方程即可求。

解：设∠B=x ，则∠C=∠BAD=∠B=x ，∠ADC 是△ABD 的外角，所以
∠DAC=∠ADC=∠B+∠BAD=2x,∠BAC=∠BAD+∠DAC=3x,
∵∠B+∠BAC+∠C=180°∴x+3x+x=180°
解得x=36°，
即 ∠BAC=3x=108°
例4、等腰三角形两内角的度数之比是1：2，求顶角的度数。

[分析]等腰三角形的角可分为顶角和底角，所以本题可分为两个种情况来解，即顶角与底角之比为1：2，或底角与顶角之比为1:2.
解：（1）若三角形的顶角与底角之比为1：2，设三角形的顶角为x ，则底角为2x,所以有
x+2x+2x=180°,
解之可得x=36°
（2）若三角形的底角与顶角之比为1：2，设三角形的底角为x,则顶角2x ，所以
x+x+2x=180°,
解之可得x=45°
所以顶角为2x=90°
2、推理代换法 例5、如图：在△ABC 中，点D 在BC 边上，且AC=BC ，
AB=AD=DC ，求∠C
解：∵ AD=DC ， ∴ ∠C=∠1，,∠2=∠C+∠1=2∠C 又 ∵ CA=CB ，AB=AD ，
∴∠A=∠B=∠2，且∠A+∠B+∠C=180°
∴2∠C+2∠C+∠C=180° 解得 ∠C=36°
例6、△ABC 的两条高AD ，CE 相交于点M ，已知∠A=30°，∠C=75°，求∠AMC
[分析]要求∠AMC ，可先求出∠MAC 和∠MCA 解：∵AD 和CE 是高，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∠ACE+∠CAE=90°。

∴∠DAC=90°－∠ACD=15°
∠ACE=90°－∠CAE=60°
B
C A
∴∠AMC=180°－(∠DAC+∠ACE)=105°
例、已知等腰三角形两腰上的高（或其延长线）相交所成的锐角是50°，求这个三角形的顶角的度数。

解：如图一，设等腰△ABC的两腰上的高AD、BE相交于P，则
∠APE＝50°，
从而有
∠EAP＝90°－∠APE＝40°。

由于AD⊥BC，所以
∠C＝90°－∠EAP＝50°。

如图二，设等腰△ABC的两腰上的高AD、BE的生长线相交于
点P，则
∠APE＝50°，
从而有
∠EAP＝90°－∠APE＝40°。

由于AD⊥BC，所以
∠ACD＝90°－∠EAP＝50°。

所以
∠ACB＝180°－∠ACD＝130°
例、在△ABC中，AB = AC，AB的中垂线与AC所在直线相交
所得的锐角是50°，求∠B的数。

[分析]，当等腰三角形的顶角为锐角时，AB的中垂线交AC
上。

顶角为钝角时与AC交于CA的延长线上。

解：如图一，AB的中垂线DE与AC交于点E，则
∠AED=50°，
∵DE⊥AB
∴∠A=90°－∠AED=40°。

如图二、AB的中垂线DE与CA的延长线交于点E，则
∠AED=50°，
∵DE⊥AB
∴∠EAD=90°－∠AED=40°
∴∠BAC=180°－∠EAD=140°
3、特殊值法
例：如图：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F六个角
的和。

[分析]这六个角正好在三个不同的三角形里面，所以可以由这三个三角形的内角和求出，而多余的三个角正好组成一个三角形的三个内角，只要减去多余的角就可以了。

解：由内角和定理：
∠A＋∠B＋∠ANB＝180°（1）
∠C＋∠D＋∠CPD＝180°（2）
∠E＋∠F＋∠EMF＝180°（3）
而
∠ANB＝∠MNP，∠CPD＝∠MPN，∠EMF＝∠PMN 且
图一
C
B
A
图二
P
B
A
图一
C
B
A
图二
C B
∠MNP＋∠MPN＋∠PMN＝180°（4）所以（1）＋（2）＋（3）－（4）可得
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°。