2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第二章 第六节 指数与

一、填空题
1．不等式()x 2－8>3－2x 的解集是________．
13解析：原不等式为()x 2－8>()2x ，
1313∴x 2－8<2x ，解之得－2<x <4.
答案：{x |－2<x
<4}
答案：64715
3．设a ＝40.9，b ＝80.48，c ＝()－1.5，则a 、b 、c 从大到小排列的顺序为12________．
解析：∵a ＝40.9＝21.8，b ＝80.48＝21.44，c ＝()－1.5＝21.5，
12∴21.8>21.5>21.44，即a >c >b .
答案：a >c >b
4．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于________．
解析：由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，
∴(2a ＋2－a )2＝9，即22a ＋2－2a ＋2＝9.
所以22a ＋2－2a ＝7，故f (2a )＝22a ＋2－2a ＝7.
答案：7
5．若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝2，则a b －a －b 的值等于________．2解析：∵a >1，b <0，
∴0<a b <1，a －b >1.
又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，
∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b －a －b ＝－2.
答案：－2
6．若f (x )＝a －x 与g (x )＝a x －a (a >0且a ≠1)的图象关于直线x ＝1对称，则a ＝________.
解析：函数f (x )＝a －x 上任意一点(x 0，y 0)关于直线x ＝1对称的点为(2－x 0，y 0)，即有g (2－x 0)＝a 2－x 0－a ＝f (x 0)＝a －x 0，故a ＝2.
答案：2
7．若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒
过同一个定点，则当＋取最小值时，函数f (x )的解析式是________．
1a 1b 解析：函数f (x )＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过点(－1,2)，故a ＋b ＝1，＋121a ＝(a ＋b )(＋)＝＋＋≥＋，当且仅当b ＝a 时等号成立，将1b 121a 1b 32b a a 2b 32222b ＝a 代入a ＋b ＝1，得a ＝2－2，故f (x )＝(2－2)x ＋1＋ 1.
221
222答案：(2－2)x ＋1＋1
28．给出下列结论：
①当a <0时，＝a 3；
＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；n an ③函数f (x )＝(x －2)－(3x －7)0的定义域是{x |x ≥2且x ≠}；
1
273④若2x ＝16,3y ＝，则x ＋y ＝7.
1
27其中正确结论的序号有________．
解析：∵a <0时，
>0，a 3<0，∴①错；②显然正确；
解Error!，得x ≥2且x ≠，∴③正确；7
3
∵2x ＝16，∴x ＝4，∵3y ＝＝3－3，∴y ＝－3，
127∴x ＋y ＝4＋(－3)＝1，∴④错．故②③正确．
答案：②③
9．已知函数f (x )＝2x (x ∈R)，且f (x )＝g (x )＋h (x )，其中g (x )为奇函数，h (x )为偶函数．若不等式2ag (x )＋h (2x )≥0对任意x ∈[1,2]恒成立，则实数a 的取值范围是________．
解析：由题意得
Error!
所以Error!
解得Error!
所以2a ·g (x )＋h (2x )≥0，
即(2x －2－x )a ＋≥0对任意x ∈[1,2]恒成立．
22x ＋2－2x 2又x ∈[1,2]时，令t ＝2x －2－x ，则t 在x ∈[1,2]上单调递增，
所以t ＝2x －2－x ∈[，]，
32154所以a ≥－＝－22x ＋2－2x
2(2x －2－x )(2x －2－x )2＋22(2x －2－x )＝－(t ＋)，122t t ＋在t ∈[，＋∞)上单调递增，2t 32所以当t ＝时，－(t ＋)有最大值－，所以a ≥－.
32122t 17121712答案：[－，＋∞)
1712二、解答题
10．函数f (x )＝ 的定义域为集合A ，关于x 的不等式22ax <2a ＋x (a ∈R)的解2－x
x －1
集为B ，求使A ∩B ＝A 的实数a 的取值范围．
解析：由≥0，得1<x ≤2, 即A ＝{x |1<x ≤2}．
2－x
x －1∵y ＝2x 是R 上的增函数，
∴由22ax <2a ＋x ，得2ax <a ＋x ，
∴(2a －1)x <a .
(1)当2a －1>0，即a >时，x <.12a 2a －1又A ⊆B ，∴>2，得<a <.
a
2a －11223(2)当2a －1＝0，即a ＝时，x ∈R ，满足A ∩B ＝A .
12(3)当2a －1<0，则a <时，x >.
12a
2a －1∵A ⊆B ，
∴≤1，得a <或a ≥1，故a <.a 2a －11212由(1)，(2)，(3)得a ∈(－∞，)．
2311．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]．
(1)求a 的值；
(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．解析：(1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.
(2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，
设0≤x 1<x 2≤1，
因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，
所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0 恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，
所以实数λ的取值范围是λ≤2.
12．已知函数f (x )＝()x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值为13
h (a )．
(1)求h (a )；
(2)是否存在实数m 、n 同时满足下列条件：①m >n >3；
②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由．
解析：(1)∵x ∈[－1,1]，
∴()x ∈[，3]．
1313设t ＝()x ，t ∈[，3]，
1313则φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2.
当a <时，y min ＝h (a )＝φ()＝－；13132892a 3当≤a ≤3时，y min ＝h (a )＝φ(a )＝3－a 2；13当a >3时，y min ＝h (a )＝φ(3)＝12－6a .∴h (a )＝Error!
(2)假设满足题意的m 、n 存在，
∵m >n >3，
∴h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数．∵h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，∴Error!
②－①得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，∵m >n >3，
∴m ＋n ＝6，但这与“m >n >3”矛盾，∴满足题意的m 、n 不存在．。