辽宁省大连市枫叶国际学校九年级数学上册 24.1.2 垂径定理学案(1)
人教版九年级数学24.1.2：垂径定理(教案)
在今天的教学中，我发现学生们对垂径定理的理解普遍较好，他们能够通过观察和实验操作，发现直径与弦的关系。但在定理的证明部分，有些学生显得有些吃力，需要我通过图示和步骤分解来逐步引导。这让我意识到，在今后的教学中，我应该更加注重培养学生的逻辑推理能力和几何直观。
在讲授垂径定理的应用时，我尽量用生活中的实例来说明，让学生感受到数学知识在实际生活中的重要性。这一点从学生的反馈来看，效果还是不错的，他们能够主动思考定理在生活中的应用。但我也注意到，部分学生在解决综合性较强的题目时，还是显得有些力不从心。这说明在今后的教学中，我需要进一步加强学生对知识综合运用能力的培养。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《垂径定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在画圆或者观察圆的时候，有没有注意过直径与弦的关系？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索垂径定理的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂径定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决与圆相关的几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调垂径定的证明，我会通过图示和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与垂径定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际画圆和测量，学生可以直观地看到直径和弦的关系。
数学人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径(第1课时)教学设计
活动 3：定理的基础应用 1、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD⊥AB 于 E，则下列结论中不成立的是（ ）
3
2、如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10cm,OE=6cm,则 AB=
cm。
3、如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 8cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3cm，求⊙O 的半径
教学内容 分析
理第 1 课的定理，为考察 重点，所以至少需要 2 课时来探究。垂径定理的推论（知二推三）和灵活运 用及更深入的应用和拓展将在第 2 课时进行研究、探讨。
知识能力目标：探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质及证明， 能够利用垂径定理的性质求线段的长、证明线段相等、角相等等问题 过程与方法：在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，
反馈评价
做的不太好，需要老师评讲才会。
评价量规
1、本节课在课堂教学中采取了自主、合作、探究学习的方式，由学生动手操 作、讨论观察得结果从而激发学生学习的兴趣。 2、将问题抛出引导学生进一步思考、小组讨论发现证明垂径定理的方法，从而归纳得 出垂径定理加深对垂径定理的理解，突出了重点。 3、基本应用的 3 题简单且典型，引导学生联系弦、半径、弦心距等条件通过做辅助线构造 直角三角形解决问题，第 4 题主要利用垂径定理、勾股定理、方程的知识进行综合应用，通 过这种有梯度的训练加强了学生对垂径定理，突破了难点。
1
2
图1 图2
在完成上述的操作过程后，观察图形你能发现有相等的线段和相等的弧吗？如有， 能证明吗？(探究垂径定理) 学生活动设计：如图 2 所示，连接 OA、OB，得到等腰△OAB，即 OA＝OB．因 CD ⊥AB，故△OAM 与△OBM 都是直角三角形，又 OM 为公共边，所以两个直角三角形全 等，则 AM＝BM．所以 CD 是 AB 的垂直平分线，就是说圆上的任意一点 A 在圆上都有 关于直线 CD 的对称点 B，因此⊙O 关于直径 CD 对称。由于⊙O 关于直径 CD 对称，所 以 A 点和 B 点关于 CD 对称， 当圆沿着直径 CD 对折时， 点 A 与点 B 重合， AC 与 BC
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第24章24.1.2 垂直于弦的直径
24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标【知识与技能】1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度与价值观】1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.【教学难点】垂径定理及其推论.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程（一）导入新课你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（出示课件2）（二）探索新知探究一圆的轴对称性教师问：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（出示课件4）学生通过自己动手操作，归纳出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．出示课件5：教师问：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？学生答：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.思考：如何来证明圆是轴对称图形呢？出示课件6:已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．教师问：此图是轴对称图形吗？学生答：是轴对称图形．教师问：满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？师生共同解答如下：（出示课件7）证明：连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.师生进一步认知：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究二垂径定理及其推论出示课件8：如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?学生独立思考后口答：线段:AE=BE弧:AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒学生简述理由：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A 与点B重合，AE与BE重合，重合．教师总结归纳：（出示课件9）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE, AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师强调：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（出示课件10）学生独立思考后口答：1图是；2图不是，因为没有垂直；3图是；4图不是，因为CD没有过圆心.教师强调：垂径定理的几个基本图形：（出示课件11）出示课件12：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？学生思考后教师总结：深化认知：（出示课件13）如图，①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为E；③AE=BE；④AC⌒=BC⌒;⑤AD⌒=BD⌒.举例证明其中一种组合方法.学生思考后独立解决，并加以交流，教师加以指导，并举例.（出示课件14）如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？⑵AC⌒与BC⌒相等吗？AD⌒与BD⌒相等吗？为什么？证明：⑴连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，OE=OE∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂径定理可得AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师归纳总结：（出示课件15）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如不能，请举出反例.教师强调：圆的两条直径是互相平分的.出示课件16：例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.学生思考后师生共同解答：连接OA，∵OE⊥AB，巩固练习：（出示课件17）如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.学生自主思考后，独立解答如下：解：连接OA，∵CE⊥AB于D，，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，∴22221068AE OA OE=-=-=cm.1184(cm)22AD AB==⨯=解得x=5，即半径OC的长为5cm.出示课件18：例2 已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：学生思考后师生共同解答.证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）教师强调：平行弦夹的弧相等.师生共同归纳总结：（出示课件19）解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.巩固练习：（出示课件20）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证: 四边形ADOE是正方形．学生独立解答，一生板演.证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四边形ADOE为矩形，AE=12AC,AD=12AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.出示课件21：例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.∴AD=12OA2=AD2+OD2，R2=18.52+(R-7.23)2，解得R≈27.3.即主桥拱半径约为27.3m.巩固练习:（出示课件23）如图a、b,一弓形弦长为，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______.学生独立思考后解答：如图，分两种情况，弓形的高为5cm或12cm.教师归纳：1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法（出示课件24）在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.2.弓形中重要数量关系弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：⑴d+h=r；⑵2 222ar d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.3.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .4.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.参考答案：1.C2.5cm3.4.14cm或2cm5.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.6.解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,OE CD ⊥11600300(m)22CF CD ∴==⨯=，根据勾股定理，得222,OC CF OF =+ ()22230090.R R =+- 解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？（五）课前预习预习下节课（24.1.3）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质.2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.。
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第1节的内容，本节课主要介绍圆中的垂径定理。
垂径定理是指：圆中，如果一条直线垂直于直径，那么这条直线平分这条直径，并且平分直径所对的圆周角。
教材通过生活中的实例引入垂径定理的概念，然后通过证明和应用来巩固这个定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径、半径等。
同时，学生也掌握了平行线和相交线的性质。
但是，学生对于圆中的垂径定理可能比较难以理解和证明，因此需要通过生活中的实例和图形的直观展示，帮助学生理解和掌握这个定理。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握圆中的垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、证明等过程，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2.教学难点：垂径定理的证明和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入垂径定理，激发学生的学习兴趣。
2.演示法：通过图形的直观展示，帮助学生理解和证明垂径定理。
3.问题驱动法：通过提出问题和解决问题，引导学生主动探索和学习。
4.小组合作学习：鼓励学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体教学设备、圆规、直尺、黑板等。
2.教学素材：教材、课件、练习题等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中的实例，如自行车轮子、时钟等，引导学生观察和思考圆中的垂径定理。
让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示垂径定理的定义和性质，通过图形的直观展示，让学生理解和掌握垂径定理。
同时，引导学生思考如何证明这个定理。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论和合作，尝试证明垂径定理。
九年级上册数学 24.1.2 垂直于弦的直径学案
24.1.2 垂直于弦的直径学案【学习目标】1.使学生理解圆的轴对称性 .2.掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理及其推论解决有关的证明、计算问题.【重点难点】重点：垂径定理、推论及它们的应用.难点：对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明.【课堂探究】一、自主探究问题一用纸剪一个圆，将圆对折、打开，再重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？问题二1、观察、思考并回答：（1）在含有一条直径AB的圆上再增加一条直径CD，两条直径的位置关系怎样？（2）把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？(3)猜想：弦AB在怎样情况下会被直径CD平分？（4）思考：直径CD两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？2、你能给上题中这条特殊的直径命名吗？这条特殊的直径有哪些性质？请用一句话概括出来.例1 看下列图形，是否能使用垂径定理？问题三命题“平分弦的直径一定垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.”这个命题正确吗？画图说明.如果不正确，错在哪里？你认为应该怎样修改？二、尝试运用1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O 的半径.2、已知：如图1，若以O为圆心作一个⊙O的同心圆，交大圆的弦AB于C，D两点.求证：AC＝BD.变式1：隐去（图1）中的大圆，连接OA，OB，设OA=OB，求证：AC＝BD.变式2：再添加一个同心圆，得（图2）则AC BD（写出答案，不证明）.3、请用所学知识解决求赵州桥拱半径的问题.三、补偿提高1、已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上任意一点，求OP的取值范围.2、见教材第90页习题24.1第9题.四、小结与作业学生小结：1、必做题教材第83页练习1，2题2、选做题教材第90页习题24.1第10题。
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》说课稿1
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》说课稿1一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章圆的一部分，它是圆的性质中的重要定理之一。
本节课的主要内容是引导学生探究并证明圆中垂径定理，即圆中垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。
这个定理在解决圆的相关问题时具有重要作用，为学生进一步学习圆的性质和圆的方程打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和证明有一定的理解。
他们对圆的概念和性质有一定的了解，但可能对垂径定理的理解还不够深入。
在学习本节课时，学生需要通过观察、思考、探究、证明等过程，理解和掌握垂径定理。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决相关问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、思考、探究、证明等过程，培养逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生通过对垂径定理的学习，增强对数学的兴趣和自信心，培养坚持不懈、严谨治学的态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并掌握垂径定理的内容。
2.教学难点：学生能够通过证明过程，理解并掌握垂径定理的证明方法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、思考、探究、证明。
2.教学手段：利用多媒体演示和实物模型，帮助学生直观地理解垂径定理。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些与圆相关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考，激发学生的学习兴趣。
2.新课引入：介绍垂径定理的概念，引导学生观察和思考垂径定理的性质。
3.探究与证明：学生分组进行探究，通过观察、实验、推理等方法，引导学生自己发现并证明垂径定理。
4.讲解与解释：教师对学生的探究结果进行讲解和解释，帮助学生理解和掌握垂径定理。
5.练习与巩固：学生进行一些相关的练习题，巩固对垂径定理的理解和运用。
6.总结与拓展：学生总结垂径定理的内容和证明方法，并进行一些拓展问题的讨论。
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教案2
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教案2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第一节的一部分，主要介绍了圆中垂径定理的内容。
垂径定理是指：圆中，如果一条直径的两端点分别连接圆上两点，那么这条直径垂直于连接这两点的弦。
这一定理是九年级学生学习圆的基础知识，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径等。
但是，对于垂径定理的理解和运用还需要进一步引导。
此外，学生对于几何图形的观察和分析能力有待提高，因此需要通过实例讲解和动手操作来帮助学生理解和掌握垂径定理。
三. 教学目标1.让学生理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决实际问题。
2.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.提高学生的观察和分析能力，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：理解并掌握垂径定理的内容。
2.难点：如何运用垂径定理解决实际问题。
五. 教学方法1.实例讲解：通过具体的图形和实例，讲解垂径定理的内容和运用。
2.动手操作：让学生亲自动手画图和验证垂径定理，提高学生的实践能力。
3.小组讨论：学生进行小组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。
4.问题解决：引导学生运用垂径定理解决实际问题，培养学生的解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示垂径定理的图形和实例。
2.教学素材：准备一些相关的几何图形和题目，用于讲解和练习。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示垂径定理的图形和实例，引导学生观察和分析，然后讲解垂径定理的内容和证明过程。
3.操练（10分钟）教师给出一些相关的题目，让学生亲自动手画图和验证垂径定理，提高学生的实践能力。
九年级数学上册 24.1.2 垂径定理学案（1）
24.1.2 垂径定理（1）教学目标：1、使学生通过观看实验明白得圆的轴对称性；2、把握垂径定理，明白得垂径定理的推证进程；重点：明白得圆的轴对称性难点：垂径定理的推证进程教学进程一、知识频道（交流与发觉）1创设情境观看赵州桥及所给数据，你能求出赵州桥拱的半径吗？这需要用到一个重要的定理：垂径定理2想一想1）若是一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部份能够相互重合，那么那个图形叫做________；这条直线叫做________．2）等腰三角形是轴对称图形吗？答：3 试一试用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几回，你发觉了什么？答：4 悟一悟：“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？答：例已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．求证：AE=EB，= ，=C O A B M N 证明：连结OA ，OB ，那么OA=OB ．又CD ⊥AB ，∴直线CD 是等腰△OAB 的对称轴，又是 ⊙O 的对称轴．因此沿着直径CD 折叠时，CD 双侧的两个半圆重合，A 点和B 点重合，AE 和BE 重合，、 别离和 、 重合． 因此， 从而取得圆的一条重要性质．5总一总：垂径定理垂直于弦的直径平分这条 ，而且平分弦所对的两条 。
反过来取得推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于 ，而且平分弦所对的 。
二 、 方式频道1、以下命题错误的选项是（ ）A 垂直于弦的直径平分这条弦B 弦的中垂线必通过圆心C 平分弧的直径平分这条弧所对的弦D 平分弦的直径平分这条弦所对的弧二、如图，在⊙O 中（填写你以为正确的结论）①假设MN ⊥AB ，垂足为C ，MN 为直径，那么 , ,②假设AC ＝BC,MN 为直径,A B 不是直经，那么 ， ，．三、利用垂径定明白得决问题 例1：如图7-10，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm.求⊙O 的半径分析：要求⊙O 的半径，连结OA ，只要求出OA 的长就能够够了，因为已知条件点O 到AB 的距离为3cm ，因此作OE ⊥AB 于E ，由 定理解：连结OA ，作OE ⊥AB ，垂足为E∵OE⊥AB，∴（）．∵AB=8cm，∴AE=又∵OE=3cm，在Rt△AOE中,OA=因此⊙O的半径为．。
九年级数学上册24-1-2垂直于弦的直径学案(新版)新人教版
九年级数学上册24-1-2垂直于弦的直径学案（新版）新人教版1．圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论．3．能运用垂径定理及其推论进行计算和证明．重点：垂径定理及其推论．难点：探索并证明垂径定理．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB经过圆心O且与圆交于A，B两点；②AB⊥CD交CD于E，那么可以推出：③CE ＝DE；④＝；⑤＝.3．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．在⊙O中，直径为10 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，则弦AB的长为 __8_cm__．2．在⊙O中，直径为10 cm，弦AB的长为8 cm，则圆心O到AB的距离为__3_cm__．点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．3．⊙O的半径OA＝5 cm，弦AB＝8 cm，点C是AB的中点，则OC的长为__3_cm__．点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．4．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？(8米)点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)1．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AE＝9，BE＝1，求CD的长．解：6.点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．2．⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为__3__．最大值为__5__．点拨精讲：当OM与AB垂直时，OM最小(为什么)，M在A(或B)处时OM最大．3．如图，线段AB与⊙O交于C，D两点，且OA＝OB.求证：AC＝BD.证明：作OE⊥AB于E.则CE＝DE.∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝BE，∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．在直径是20 cm的⊙O中，∠AOB的度数是60°，那么弦AB的弦心距是__5__cm.点拨精讲：这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6 cm，弓形的高为2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为____cm.3．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD.证明：过点O作OE⊥AB于点E.则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.点拨精讲：过圆心作垂径．4．已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB＝40 cm，CD＝48 cm，求弦AB与CD之间的距离．解：过点O作直线OE⊥AB于点E，直线OE与CD交于点F.由AB∥CD，则OF⊥CD.(1)当AB，CD在点O两侧时，如图①.连接AO，CO，则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝15 cm，OF＝7 cm.∴EF＝OE＋OF＝22 (cm)．即AB与CD之间距离为22 cm.(2)当AB，CD在点O同侧时，如图②，连接AO，CO.则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝15 cm，OF＝7 cm.∴EF＝OE－OF＝8 (cm)．即AB与CD之间距离为8 cm.由(1)(2)知AB与CD之间的距离为22 cm或8 cm.点拨精讲：分类讨论，①AB，CD在点O两侧，②AB，CD在点O同侧．(学生总结本堂课的收获与困惑)．(3分钟)1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．2．垂径定理及其推论以及它们的应用．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)。
人教版九年级上册数学学案：24.1.2垂径定理
word 版 初中数学1 / 1 24.1.2 垂直于弦的直径 第1课时主备人 备课组长： 年级主任： 时间：10,20学材分析：本节是这一章重要定理，是圆证明的基础 学习目标：1、理解圆的轴对称性； 2、了解拱高、弦心距等概念； 3、使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。
学习重难点：重点：“垂径定理”及其应用 难点：垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明。
一、自主学习（看书81页-82页） ①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆 _______ ②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每一条_________。
⒈在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？垂直是 一种特殊情况，你能得出哪些等量关系？⒉若把AB 向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，还有与刚才相类似的结论吗？3、垂径定理：4、推论：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且5、知识归纳： 垂径定理及推论实际是：在①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧；这五个条件中，已知两个条件就可以推出其它三个条件。
二、课堂反馈 1．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中,错误的是（ ）． A ．CE=DE B ．弧BC=弧BD C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD 2．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长 是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．如图3，已知⊙O 的半径为5mm ，弦AB=8mm ，则圆心O 到AB 的距离是（ ） A ．1mm B ．2mmm C ．3mm D ．4mm 4．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．5．如图4，OE ⊥AB 、OF ⊥CD ，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论）6、一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（ ）A ．16B ．10C ．8D ．67、问题1：如图1，AB 是两个以O 为圆心的同心圆中大圆的直径，AB 交小圆交于C 、D 两点，求证：AC=BD问题2：把圆中直径AB 向下平移，变成非直径的弦AB ，如图2，是否仍有AC=BD 呢？、问题3：在图2中连结OC ，OD ，将小圆隐去，得图4，设OC=OD ，求证：AC=BD问题4：在图2中，连结OA 、OB ，将大圆隐去，得图5，设AO=BO ，求证：AC=BD三、反思：你收获了什么？还有哪些困惑？BA C E D OB A O M B AC ED OF 图1 图2 图3 图4 A BC D O A B C O A B C O E。
人教版九年级数学上册优秀教学案例：24.1.2垂径定理
2.解决教师提出的实际问题，如计算圆的半径、直径和弦长等。
3.交流各自的学习心得，分享解题技巧。
小组合作有助于培养学生的团队精神和协作能力，同时，通过讨论交流，学生可以相互学习，提高自己的几何素养。
（四）反思与评价
在教学活动结束后，教师组织学生进行反思与评价，主要包括以下几个方面：
3.通过几何学习，培养学生严谨、细致的学习态度，增强他们的自信心和自主学习能力。
4.培养学生之间的互助、合作精神，使他们学会倾听、尊重他人意见，形成良好的人际交往能力。
本章节教学目标旨在帮助学生在掌握垂径定理相关知识的基础上，提高几何素养，培养空间想象能力和逻辑思维能力，同时注重培养学生的情感态度与价值观，使他们在轻松愉快的氛围中学习数学，真正体会到数学的魅力。
为了巩固所学知识，教师布置以下作业：
1.完成教材中的练习题，特别是涉及到垂径定理的相关题目。
2.结合生活实例，自己设计一道运用垂径定理解决的问题，并给出解答过程。
3.写一篇学习心得，总结自己在学习垂径定理过程中的收获和困惑。
五、案例亮点
1.生活化情景导入，激发学生兴趣
本案例以校园内的圆形花坛为背景，将生活实际与几何知识紧密结合，让学生在轻松愉快的氛围中自然导入新课。这种生活化的情景导入方式，有助于激发学生的学习兴趣，使他们感受到数学与现实生活的紧密联系。
本案例注重学科知识与现实生活的紧密结合，倡导以学生为主体的教学理念，强调动手实践与思维训练的重要性，力求使学生在轻松愉快的氛围中掌握垂径定理，为后续几何知识的学习打下坚实基础。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握垂径定理的概念及其在几何图形中的应用，能够准确描述定理的内容及其证明过程。
24.1.2-垂径定理(学案1)
永宁中学九年级数学（上）导学案备课组长：教研组长：教科室：课题垂径定理第 1 课时共3 课时设计人唐伟文学习目标：1、探究垂径定理及推论； 2、会用符号语言描述垂径定理。
学习重点：探究垂径定理及推论、学习过程：一、知识点回顾（知识准备）：圆的对称性：二、探究新知：如图：AB是圆形纸片的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。
沿CD对折纸片，发现：①这个图形是对称图形吗②图中有哪些相等的线段和弧请说明理由。
③你能用一句话概括这些结论吗垂直于弦的直径______________________________(垂径定理)④你能用符号语言表达这个结论吗符号语言：∵CD为⊙O的直径，且CD⊥AB于E∴_____________，__________________，________________⑤由对折以上纸片我们还进一步发现：平分弦（不是直径）的直径__________于弦，并_________弦所对的两条弧(垂径定理推论)符号语言：∵CD为⊙O的直径，且AE = BE∴_____________，__________________，_______________三、教师引导：垂径定理的题设和结论关系较复杂，从以上探究我们可进一步将其并归结为：一条直线（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。
垂径定理就是满足条件（1）、（2）而推出其他结论；推论是满足条件（1）、（3）而推出其他结论。
四、归纳小结：梳理本节所学知识点五、检测与反馈：1、判断下列图形，是否能使用垂径定理(a)AB⊥CD于E (b)E是AB中点 (c)OC⊥AB于E (d)OE⊥AB于E2、如图，AB为⊙O的直径，且AB⊥CD于E。
请用符号语言描述垂径定理及其推论。
A OBCDEO BA CEODCBAEODCBAEOBA E1。
人教版九年级数学上册学案：24.1.2垂径定理(1)
课题：24.1.1垂直于弦的直径（1）【学习目标】1.掌握垂径定理及相关结论，2.运用这些结论解决一些有关证明、计算和作图问题。
重点：垂径定理、垂径定理的推论以及它们的应用。
难点：垂径定理及推论的条件和结论的区分，垂径定理的证明。
【学习过程】自主学习阅读课本第80页至 81页的部分，完成以下问题.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？探究合作 展示评价问题1：在⊙O 中，作弦AB ，并作直径CD ⊥AB 于点E 。
你发现图中有哪些相等的线段和弧（不包括半径）？说一说你的理由．相等的线段：相等的弧：由此可得垂径定理：___________________________________________________________请结合图形，写出它的推理形式.∵∴ 精讲拓展例1 已知AB 是⊙O 的一条弦，且AB=8cm ，圆心O 到AB 的距离为OE=3cm,求⊙O的半径.探究合作展示评价问题2：若将问题1中的直径CD⊥AB改为CD平分AB，你又能得到结论:______________________________________________ _O ( 图中弦AB是否可为直径？)请结合图形，写出它的推理形式. ∵∴训练巩固1.下列命题正确的是 (请填上序号)（1）平分弦的直径垂直这条弦. （2）圆有无数条对称轴.（3）直径是圆的对称轴. （4）过圆心的直线必定垂直平分弦（5）垂直于弦的直径必定平分这条弦所对的两条弧2.已知AB是⊙O的一条弦，且AB=8cm，⊙O的半径为5cm，求圆心到弦AB的距离小结提升课后作业A BO。
九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径教案(新版)新人教版
BE 构成的两个三角形全等．因此，只
要连结 OA、•OB 或 AC、BC 即可．
证明：如图，连结 OA、OB，则 OA=OB
在 Rt△OAM 和 Rt△OBM 中
OA=OA
OE=OE
∴Rt△OAE≌Rt△OBE
∴AE=BE
∴点 A 和点 B 关于 CD 对称
∵⊙O 关于直径 CD 对称
∴当圆沿着直线 CD 对折时，点 A
垂直于弦的直径
教学目标 知 识 理解垂径定理并灵活运用垂径定理解决一些实际问题．
与技
能
过 程 利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线
与 方 都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定
法 理，并辅以逻辑证明加予理解．
情 感 从圆基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，培养运动
态 度 几何的观点，增强审美意识．
与价
值观
重点
垂径定理及其运用．
难点
探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．
教法、学法 引导、启发 自主学习、合作交流 课型 新授课
教学准备 小黑板
教学流程 教师活动
学生活动
二次备课
一、自主学 1、知识回顾
回忆
习
圆的定义
2、出示学习目标
明确目标
理解垂径定理并灵活运用垂径定理解
决一些实际问题．
出示自学提纲
阅读提纲，
⑴1．圆是轴对称图形吗？如果是，它 （1）~（7）
的对称轴是什么？•你能找到多少条
对称轴？ ⑵你是用什么方法解决上述问题的？ ⑶如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 CD⊥AB，垂足为 E．
你能发现图中有哪些等量关系？说一
数学人教版九年级上册24.1.2垂径定理 导学案
新人教版义务教育教科书九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》导学案一、学习目标:1、理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论。
2、学会运用垂径定理及其推论解决计算，证明和作图问题。
二、预习内容（自学课本81页至83页）复习：1、什么叫做轴对称图形？把一个平面图形沿一条直线______，直线两旁的部分能够互相_________，这个图形就叫做轴对称图形。
圆是轴对称图形吗？对称轴是什么？2、什么叫等弧？在同圆或等圆中，能够互相______的弧叫做等弧。
三、探究学习活动一：自主探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？结论：圆是___________图形，_________________________是它的对称轴．活动二：小组合作交流（要求：小组每个成员积极发言，记录员填写，每组派一名同学汇报）1、做一做：在⊙O上作的一条弦AB，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？答：_______________________________________________________（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？答：相等的线段：______=_____相等的弧：______=______________=________证明：（方法1）如图，连接OA、OB ，则OA=OB在Rt△OAE和Rt△OBE中，（方法2）：连接OA、OB ，则OA=___∴△OAB是______三角形∴Rt△OAE≌Rt△OBE（）又AB CD∴AE= ∴AE =____(等腰三角形“三线合一”) ∴点和点关于CD对称∵⊙O关于CD对称∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合,弧AC与BC重合，AD与CD重合．∴，，2、进一步，我们还可以得到垂径定理推论：四、巩固测评1、2、3题（看课件直接说出答案）4、如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径．5、如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE=1，AB=10，求半径的长6、赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m ，你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗？五、学习心得 _ _____________________________________________________________________________． · OAB EC DO。
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24.1.2垂径定理（1）
【学习目标】通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能初步应用它解
决一些简单的计算、证明和作图问题。
【学习重点】垂直于弦的直径的性质、推论及其应用。
【学习难点】垂直于弦的直径的性质、推论及其应用。
【学习内容】教材第80～81页
【活动一】 （独立思考，认真完成，2分钟）
1．圆是轴对称图形，对称轴是____________________________________
【活动二】 （合作交流，8分钟）
2．如图1，AB 是⊙O 的一条弦，作直径C D ，使CD ⊥AB 于E.
可以得出：相等的线段有：_____________________________
相等的弧有： _______________________________ 请说明理由：
C
图1
归纳垂直定理： 垂直于弦的直径______________，并且平分__________
_________. 符号语言叙述：∵直径CD ⊥弦AB
∴_________________________________________
4．如图3，在⊙O 中，直径为10cm ，弦CD=6，AB ⊥CD 于点，求BE 的长.
B
A 图3
5．如图4，在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E 。
求
证：四边形ADOE 是正方形。
图4
【活动四】（交流探究，10分钟）
6.已知CD 是直径，且平分弦AB ，如图5，能否得到使CD ⊥AB 于点M ，且平分弧ACB 及弧AB?
图5
归纳垂径定理推论：
平分弦（不是直径）的直径____________，并且平分________________．
符号语言叙述：∵CD 是直径，且平分弦AB ，AB 不是直径________
∴________________________________________
附加：7．⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，P 是弦AB 上的一个动点，则OP 长的取值范围为__________________
【课后反思】____________ ____________________________
垂直于弦的直径（1） 课堂检测
完成时间：8分钟
1．圆既是____________对称图形，又是___________对称图形；
它的对称中心是
____________，对称轴是________________________，圆有_______条对称轴。
2．下列判断中不正确的是：（）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．垂直于弦的直径也必平分弦
C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
D．平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦
3．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点P，若AB=8cm，OP=3cm，求⊙O的半径。
C。