2014四川省绵阳市2014届高三第二次诊断性考试数学(理)试题 Word版含答案

保密 ★ 启用前 【考试时间：2014年1月16日15:00—17:00】绵阳市高中2011级第二次诊断性考试数 学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名．考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置．2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸．试题卷上答题无效．3．考试结束后，将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x|x+2>0}，集合B={-3，-2，0，2}，那么(R A)∩B=A ．∅B ．{-3，-2}C ．{-3}D ．{-2，0，2} 2．设i 是虚数单位，复数103i-的虚部为 A ．-i B ．-1 C ．i D ．13．执行右图的程序，若输出结果为2，则输入的实数x 的值是A ．3B ．14C ．4D ．24．已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是A ．l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥mB ．l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l ⊥m ，l ⊥n C ．m ⊂α，n ⊂β，m//n ，且l ⊥m D ．l ⊂α，l//m ，且m ⊥β 5．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆 内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为A ．8+3πB ．8+23π C ．8+83πD ．8+163π6．圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线1322=-y x 的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为 A ．x 2+(y-1)2=1 B ．x 2+(y-3)2=3 C ．x 2)2=34D ．x 2+(y-2)2=4俯视图正视图 侧视图7．已知O 是坐标原点，点(11)A -，，若点()M x y ，为平面区域220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，，上的一个动点，则|AM|的最小值是 A5B ．C ．D 8．某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为A ．1860B ．1320C ．1140D ．10209．已知O 是锐角△ABC 的外心，若OC=xOA yOB +(x ，y ∈R)，则A ．x+y ≤-2B ．-2≤x+y<-1C ．x+y<-1D ．-1<x+y<010．设a ，b ，x ∈N*，a ≤b ，已知关于x 的不等式lgb-lga<lgx<lgb+lga 的解集X 的元素个数为50个，当ab = A ．21 B ．6 C ．17 D ．4 51151=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒=-a ab a b ab 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．tan300º=_______．12．已知直线l 1：x+(1+k)y=2-k 与l 2：kx+2y+8=0平行，则k 的值是_______． 13．若6(x 展开式的常数项是60，则常数a 的值为 ．14．已知P 是以F1，F 2为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的任意一点，若∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，且cos α，sin(α+β)=35，则此椭圆的离心率为 ．15．()f x 是定义在D 上的函数，若存在区间[]m n D ⊆，，使函数()f x 在[]m n ，上的值域恰为[]km kn ，，则称函数()f x 是k型函数．给出下列说法：①4()3f x x=-不可能是k 型函数；②若函数22()1(0)a a x y a a x+-=≠是1型函数，则n m- ③若函数212y x x =-+是3型函数，则40m n =-=，；④设函数32()2f x x x x =++(x ≤0)是k 型函数，则k 的最小值为49．其中正确的说法为 ．（填入所有正确说法的序号）三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）已知向量a =(sin 2cos )x x ，，b=(2sin sin )x x ，，设函数()f x =a ⋅b ． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间7[]1212ππ，上的最大值和最小值． 17．（本题满分12分）已知首项为12的等比数列{a n }是递减数列，其前n 项和为S n ，且S 1+a 1，S 2+a 2，S 3+a 3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若2log n n n b a a =⋅，数列{b n }的前n 项和T n ，求满足不等式22n T n ++≥116的最大n 值． 18（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（Ⅱ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望． 19．（本题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ADC=90º，AE ⊥平面ABCD ，EF//CD ，BC=CD=AE=EF=12AD =1．（Ⅰ）求证：CE//平面ABF ； （Ⅱ）求证：BE ⊥AF ；（Ⅲ）在直线BC 上是否存在点M ，使二面角E-MD-A的大小为6π？若存在，求出CM 的长；若不存在，请说明理由． 20．（本题满分13分）已知椭圆C 的两个焦点是(0，和(0，并且经过点1)，抛物线的顶点E 在坐标原点，焦点恰好是椭圆C 的右顶点F ．（Ⅰ）求椭圆C 和抛物线E 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作两条斜率都存在且互相垂直的直线l 1、l 2，l 1交抛物线E 于点A 、B ，l 2交抛物线E 于点G 、H ，求HB AG ⋅的最小值． 21．（本题满分14分）已知函数2()2x x af x e x e =-．（Ⅰ）若()f x 是[0)+∞，上是增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）证明：当a ≥1时，证明不等式()f x ≤x +1对x ∈R 恒成立；（Ⅲ）对于在(0，1)中的任一个常数a ，试探究是否存在x 0>0，使得0()f x >x 0+1成立？如果存在，请求出符合条件的一个x 0；如果不存在，请说明理由．绵阳市高2011级第二次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．BDCDA AACCB二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11． 12．113．41415．②③三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）f(x)=a •b=2sin 2x+2sinxcosx =22cos 12x-⨯+sin2xsin(2x-4π)+1， ……………………………… 3分 由-2π+2k π≤2x-4π≤2π+2k π，k ∈Z ，得-8π+k π≤x ≤83π+k π，k ∈Z ，∴ f(x)的递增区间是[-8π+k π，83π+k π]( k ∈Z)． ………………………… 6分（II ）由题意sin[2(x+6π)-4πsin(2x+12π)+1，………… 9分由12π≤x ≤127π得4π≤2x+12π≤45π， ∴ 0≤g(x)，即 g(x)+1，g(x)的最小值为0． … 12分17．解：（I ）设等比数列{a n }的公比为q ，由题知 a 1= 12 ，又∵ S 1+a 1，S 2+a 2，S 3+a 3成等差数列， ∴ 2(S 2+a 2)=S 1+a 1+S 3+a 3，变形得S 2-S 1+2a 2=a 1+S 3-S 2+a 3，即得3a 2=a 1+2a 3， ∴ 32 q=12 +q 2，解得q=1或q=12 ， …………………………………………4分又由{a n }为递减数列，于是q=12 ，∴ a n =a 11-n q =( 12 )n． ……………………………………………………6分（Ⅱ）由于b n =a n log 2a n =-n ∙( 12 )n ，∴ ()211111[1+2++1]2222n nn T n n -=-⋅⋅-⋅+⋅ （）（）（），于是()211111[1++1]2222n n n T n n +=-⋅-⋅+⋅ （）（）（），两式相减得：2111111[()++()]22222n n n T n +=--⋅ +()111[1()]122=1212n n n +⋅--+⋅-()，∴ ()12()22n n T n =+⋅-．∴ 21()22n n T n +=+≥116，解得n ≤4，∴ n 的最大值为4． …………………………………………………………12分18．解：（I ）∵ 抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，∴3600120x+=0.05，解得x=60． ………………………………………………2分 ∴ 持“无所谓”态度的人数共有3600-2100-120-600-60=720． ……… 4分∴ 应在“无所谓”态度抽取720×3603600 =72人． ………………………… 6分 （Ⅱ）由（I ）知持“应该保留”态度的一共有180人， ∴ 在所抽取的6人中，在校学生为6180120⨯=4人，社会人士为618060⨯=2人， 于是第一组在校学生人数ξ=1，2，3， …………………………………… 8分P(ξ=1)=12423615C C C =，P(ξ=2)=21423635C C C =，P(ξ=3)=30423615C C C =，即ξ10分∴ E ξ=1×15+2×35+3×15=2． …………………………………………… 12分 19．（I ）证明：如图，作 FG ∥EA ，AG ∥EF ，连结EG交AF 于H ，连结BH ，BG ， ∵ EF ∥CD 且EF=CD ， ∴ AG ∥CD ，即点G 在平面ABCD 内．由AE ⊥平面ABCD 知AE ⊥AG ， ∴ 四边形AEFG 为正方形， CDAG 为平行四边形， …………………………………………………… 2分∴ H 为EG 的中点，B 为CG 中点， ∴ BH ∥CE ，∴ CE ∥面ABF ．……………………………………………………………… 4分 （Ⅱ）证明：∵ 在平行四边形CDAG 中，∠ADC=90º， ∴ BG ⊥AG ．又由AE ⊥平面ABCD 知AE ⊥BG ， ∴ BG ⊥面AEFG ，∴ BG ⊥AF ．…………………………………………………………………… 6分 又∵ AF ⊥EG ， ∴ AF ⊥平面BGE ，∴ AF ⊥BE ．…………………………………………………………………… 8分（Ⅲ）解：如图，以A 为原点，AG 为x 轴，AE 为y 轴，AD 为z 轴建立空间直角坐标系A-xyz ．则A(0，0，0)，G(1，0，0)，E(0，0，1)，D(0，2，0)，设M(1，y 0，0)，∴ (021)ED =- ，，，0(12)DM y =-，，0， 设面EMD 的一个法向量()x y z =，，n ，则020(2)0ED y z DM x y y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，，n n 令y=1，得022z x y ==-，， ∴ 0(212)n y =-，，．………………………………………………………… 10分又∵ AE AMD ⊥面，∴ (001)AE =，，为面AMD 的法向量，∴cos cos 6|<n >|AE π=== ，，解得02y =， 故在BC 上存在点M ，且|CM|=|2(2-．………………………12分 20．解：（I ）设椭圆的标准方程为12222=+x y (a>b>0)，焦距为2c ，则由题意得c=3，24a =，∴ a=2，222b a c =-=1，∴ 椭圆C 的标准方程为2214y x +=． ……………………………………… 4分∴ 右顶点F 的坐标为(1，0)．设抛物线E 的标准方程为22(0)y px p =>， ∴1242pp ==，， ∴ 抛物线E 的标准方程为24y x =． ………………………………………… 6分 （Ⅱ）设l 1的方程：(1)y k x =-，l 2的方程1(1)y x k=--，11()A x y ，，22()B x y ，，33()G x y ，，44()H x y ，， 由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，，消去y 得：2222(24)0k x k x k -++=， ∴ x 1+x 2=2+4k，x 1x 2=1． 由21(1)4y x ky x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，，消去y 得：x 2-(4k 2+2)x+1=0， ∴ x 3+x 4=4k 2+2，x 3x 4=1，……………………………………………………9分 ∴ ()()AG HB AF FG HF FB ⋅=+⋅+=FB FG HF FG FB AF HF AF ⋅+⋅+⋅+⋅ =|AF |·|FB |+|FG |·|HF | =|x 1+1|·|x 2+1|+|x 3+1|·|x 4+1| =(x 1x 2+x 1+x 2+1)+(x 3x 4+x 3+x 4+1)=8+2244k k+ ≥8+22442k k⋅=16．当且仅当2244k k=即k=±1时，HB AG ⋅有最小值16．……………………13分 21．解：（I ）∵[0)x ∈+∞，时，2()(1)2x af x e x =-，∴ 2()(1)2x af x e x ax '=--+．由题意，)(x f '≥0在[0)+∞，上恒成立，当a=0时，()x f x e '=>0恒成立，即满足条件．当a ≠0时，要使)(x f '≥0，而e x >0恒成立， 故只需212ax ax --+≥0在[0)+∞，上恒成立，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+⋅-⋅->-，，01002022a a a解得a<0． 综上，a 的取值范围为a ≤0．……………………………………………… 4分 （Ⅱ）由题知f(x)≤x+1即为x e -22x a x e ≤x+1． ①在x ≥0时，要证明x e -22x ax e ≤x+1成立，只需证x e ≤212x a x e x ++，即证1≤212xa x x e ++， ① 令21()2x a x g x x e+=+，得21(1)()()xx x x e x e x g x ax ax e e ⋅-+'=+=-， 整理得)1()(xe a x x g -='， ∵ x ≥0时，1x e≤1，结合a ≥1，得)(x g '≥0， ∴ ()g x 为在[0)+∞，上是增函数，故g(x)≥g(0)=1，从而①式得证．②在x ≤0时，要使x e -22x ax e ≤x+1成立，只需证x e ≤212x a x e x -++，即证1≤22(1)2x x ax e x e --++， ②令22()(1)2xx ax m x e x e --=++，得2()[(1)]x x m x xe e a x -'=-+-，而()(1)x x e a x ϕ=+-在x ≤0时为增函数， 故()x ϕ≤(0)1a =-ϕ≤0，从而()m x '≤0，∴ m(x)在x ≤0时为减函数，则m(x)≥m(0)=1，从而②式得证．综上所述，原不等式x e -22x ax e ≤x+1即f(x)≤x+1在a ≥1时恒成立．…10分 （Ⅲ）要使f(x 0)>x 0+1成立，即1202000+>-x e x a e x x ，变形为02001102x ax x e++-<， ③要找一个x 0>0使③式成立，只需找到函数21()12x ax x t x e+=+-的最小值，满足min ()0t x <即可．∵ 1()()x t x x a e '=-， 令()0t x '=得1x e a=，则x=-lna ，取x 0=-lna ，在0< x <-lna 时，()0t x '<，在x >-lna 时，()0t x '>，即t(x)在(0，-lna)上是减函数，在(-lna ，+∞)上是增函数， ∴ 当x=-lna 时，()t x 取得最小值20()(ln )(ln 1)12a t x a a a =+-+- 下面只需证明：2(ln )ln 102a a a a a -+-<在01a <<时成立即可． 又令2()(ln )ln 12a p a a a a a =-+-，则21()(ln )2p a a '=≥0，从而()p a 在(0，1)上是增函数，则()(1)0p a p <=，从而2(ln )ln 102a a a a a -+-<，得证．于是()t x 的最小值(ln )0t a -<，因此可找到一个常数0ln (01)x a a =-<<，使得③式成立．………………14分。