人教版数学高二《数系扩充和复数概念》精品课件

(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
高中数学
满足|z|=5(z∈C)
的复数z对应的点在
复平面上将构成怎
样的图形？
–5
设z=x+yi(x,y∈R)
z x y 5 22
y 5
5
O
x
y 0 3 4 5 4 3 0 –5 x -5 -4 -3 0 3 4 5
高中数学
复数的几何意义（一）
一一对应
实数
数轴上的点
(数)
(形)
直线 规定了正方向，原点，单位长度 数轴
问题三：
o1
(几何模型)
x
你能否找到用来表示复数的几何模型呢？
高中数学
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
y
（形）
建立了平面直角
z=a+bi Z(a,b)
坐标系来表示复数的 b 平面 ------复数平面
• 了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念 以及复数相等的充要条件；了解复数的代数 表示法及其几何意义高中。数学
引言：在人和社会的发展过程中，常 常需要立足今天，回顾昨天，展望明天。 符合客观发展规律的要发扬和完善，不符 合的要否定和抛弃。那么，在实数集向复 数集发展的过程中，我们应该如何发扬和 完善，否定和抛弃呢？
(D)不充分不必要条件
高中数学
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 在复平面内所对应的点位于第二象限， 求实数m允许的取值范围。
变式：证明对一切m，此复数所对应的 点不可能位于第四象限。
解题思考：
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在
虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复
数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复
数都是纯虚数。
高中数学
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所
对应的点在虚轴上”C的（ ）。
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
高中数学
y o
Z
Z
2
x
Z
Z
当| z- z1|=r时, 复数z对应的点的轨迹是以 Z1对应的点为圆心,半径为r的圆.
高中数学
y
Z
1Z x
o -1 Z
|z－z1|+|z－z2|=2a
|z1－z2|<2a |z2－z1|=2a |z2－z1|>2a
椭圆
线段 无轨迹
高中数学
y
-4
o -1
2
x
x=-1
当| z- z1|= | z- z2|时, 复数z对应的点的轨迹是 线段Z1Z2的中垂线.
Z1(a,b)
x
|z1-z2|表示什么? 表高示中数复学 平面上两点Z1 ,Z2的距离
已知复数z对应点A,说明下列各 式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)| 点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
高中数学
(3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离 (4)|z+2i|
在复平面上构成怎样的图形？
高中数学
课题：复数的有关概念
课堂小结：
一. 数学知识：(1)复数相等 (2)复平面 (3)复数的模
二. 数学思想：(1)转化思想 (2)数形结合思想 (3)类比思想
三. 数的发展和完善过程给我们的启示：
高中数学
辨析：
1．下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实
–5 –3
设z=x+yi(x,y∈R)
y 5
3
35
O5
x
3 x2 y2 5
9 x2 y2 25
–3
–5
图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
高中数学
练习:已知复数m=2－3i,若复数z 满足不等式|z－m|=1,则z所对应
的点的集合是什么图形?
以点(2, －3)为圆心, 1为半径的圆上
O
x
高中数学
满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形？
–5
设z=x+yi(x,y∈R)
| z | x2 y2 5
x2 y2 25
y 5
5
O
x
–5
图形: 以原点为圆心,5为半径的圆上
高中数学
满足3<|z|<5(z∈C)
的复数z对应的点在
复平面上将构成怎样
的图形？
高中数学
三、复数加减法的几何意义
1、|z1|= |z2| 平行四边形OABC是 菱形
2、| z1+ z2|= | z1- z2|
平行四边形OABC是 矩形 o
C
z2 z2-z1
z1 A
3、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 平行四边形OABC是 正方形
z1+z2
B
高中数学
(简称复平面)
a
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
概念辨析
例题
高中数学
实数绝对值的几何意义: 复数的绝对值
实数a在数轴上所 对应的点A到原点O 的距离。
a
(复数的模) 的几何意义:
复数 z=a+bi在复 平面上对应的点Z(a,b) 到原点的距离。
y
O
A
X
z=a+bi
a (a 0)
|
a|
一一对应
一一对应
平面向量 OZ
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
a
ox
高中数学
复数的绝对值 (复数的模)的几何意义:
对应平面向量 OZ 的模|OZ |，即复数
z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的
距离。
y
z=a+bi
| z | = a2 b2
Z (a,b)
| z || z | a2 b2
例1 设x，y∈R，并且 (2x–1)+xi=y–(3–y)i，求x，y。
解题思考：
复数相等 转化 求方程组的解
的问题
的问题
一种重要的数学思想：转化思想
高中数学
问题二： 任意两个复数可以比较大小吗？
认为可以者，请拿出进行比较的方法； 认为不可以者，请说明理由。
高中数学
实数可以用数轴上的点来表示。
三、复数加减法的几何意义的运用
练习1:
设z1,z2∈C, |z1|= |z2|=1
|z2+z1|= 2 , 求|z2-z1|
2
高中数学
练习2:复数z1,z2分别对应复 平面内的点M1,M2,,且| z2+ z1|= | z2- z1|,线段M1M2,的中点M对应 的复数为4+3i,求|z1|2+ |z2|2
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
z=a+bi Z(a,b)
y
建立了平面直角
坐标系来表示复数的 b 平面 ------复数平面
(简称复平面)
a
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
高中数学
复数的几何意义（二）
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
高中数学
如何探索复数集的性质和特点？ 探索途径： (1) 实数集原有的有关性质和特点能否
推广到复数集？ (2)从复数的特点出发，寻找复数集新
的(实数集所不具有)性质和特点？
高中数学
实数集的一些性质和特点： (1) 实数可以判定相等或不相等； (2) 不相等的实数可以比较大小； (3) 实数可以用数轴上的点表示； (4) 实数可以进行四则运算； (5) 负实数不能进行开偶次方根运算；
高中数学
新课讲解
1.复数加法运算的几何意义?
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
符合 向量 加法 的平 行四 边形 法则.
y
Z2(c,d)
o
高中数学
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
x
2.复数减法运算的几何意义?
符合 向量 减法 的三 角形 法则.
复数yz2－z1
Z2(c,d)
o
向量Z1Z2
点A到点(0, －2)的距离
高中数学
练习:已知复数m=2－3i,若复数z 满足不等式|z－m|=1,则z所对应
的点的集合是什么图形?
以点(2, －3)为圆心, 1为半径的圆上
高中数学
复数减法的几何意义的运用 设复数z=x+yi,(x,y∈R),在下列条
件下求动点Z(x,y)的轨迹.
1.| z- 2|= 1 2. | z- i|+ | z+ i|=4 3. | z- 2|= | z+ 4|
……
高中数学
复数的有关概念
高中数学
问题一：
对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d ∈ R)， 你认为满足什么条件时，可以说这两个 复数相等？
a=c,并且b=d，即实部与虚部分别 相等时，叫这两个复数相等。
记作a+bi=c+di。 复数相等的内涵：
复数a+bi可用有序实数对(a,b)表示。
高中数学
3.1《数系扩充和复数 概念》
高中数学
教学目标
• 在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实 际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、 方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受 人类理性思维的作用以及数与现实世界的联 系。理解复数的基本概念以及复数相等的充 要条件。了解复数的代数表示法及其几何意 义。
• 教学重点：
高中数学
高中数学
=|
OA
|
a
(a 0)
问题四：
Z (a,b)
aO b x 22
| z | =？
高中数学
例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)
思考： (1)复数的模能否比较大小？ (2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (3)满足|z|=5(z∈C)的这z值些有复几个数？对应的点