普通高等学校招生全国统一考试(I卷)理科数学

普通高等学校招生全国统一考试（I 卷）理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合}13|{}1|{<=<=x
x B x x A ，，则
A. }0|{<=x x B A
B. R =B A
C. }1|{>=x x B A
D. ∅=B A
2. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图。

正方形内切圆中的黑色部分
和白色部分关于正方形的中心成中心对称。

在正方形内随机取一点，则此点取自黑 色部分的概率是 A.
41B. 8π C.
21D. 4
π 3. 设有下面四个命题
p1：若复数z 满足
R ∈z
1
，则R ∈z ；p2：若复数z 满足R ∈2z ，则R ∈z ； p3：若复数z1、z2满足R ∈21z z ，则21z z =；p4：若复数R ∈z ，则R ∈z 。

其中的真命题为
A. p1，p3
B. p1，p4
C. p2，p3
D. p2，p4
4. 记Sn 为等差数列{an}的前n 项和，若a4 + a5 = 24，S6 = 48，则{an}的公差为
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
5. 函数f (x)在),(+∞-∞单调递减，且为奇函数。

若f (1) = 1，则满足1 ≤f (x 2) ≤ 1的x 的取值范围是
A. [2,2]
B. [1,1]
C. [0,4]
D. [1,3] 6. 62)1)(11(x x
++
展开式中x2的系数为 A. 15B. 20
C. 30
D. 35
7. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，
正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形， 这些梯形的面积之和为 A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
8. 右面程序框图是为了求出满足3n 2n> 1000的最小偶数n ，那么在◇和▭两个空白框中，
可以分别填入 A. A > 1000和n = n + 1 B. A > 1000和n = n + 2 C. A ≤ 1000和n = n + 1 D. A ≤ 1000和n = n + 2
9. 已知曲线C1：x y cos =，C2：)3
22sin(π
+
=x y ，则下面结论正确的是 A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个
6
π
单位长度，得到C2 B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个
12
π
单位长度，得到C2 C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的
21倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个6π
单位长度，得到C2 D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的
21倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个12
π单位长度，得到C2 10. 已知F 为抛物线C ：y2 = 4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l1、l2，直线l1与C 交于A 、B 两点，直线l2与C 交于D 、E 两点，则| AB | + | DE |的最小值为
A. 16
B. 14
C. 12
D. 10
11. 设x 、y 、z 为正数，且2x = 3y = 5z ，则
A. 2x < 3y < 5z
B. 5z < 2x < 3y
C. 3y < 5z < 2x
D. 3y < 2x < 5z
12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动。

这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，以此类推，求满足如下条件的最小整数N ：N > 100且该数列的前N 项和为2的正数幂，那么该款软件的激活码是
A. 440
B. 330
C. 220
D.110
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知向量a 、b 的夹角为60°，| a | = 2，| b | = 3，则| a + 2b | =_______。

14. 设x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥+≤+,0,12,12y x y x y x 则z = 3x 2y 的最小值为________。

15. 已知双曲线C ：)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一
条渐近线交于M 、N 两点，若∠MAN = 60°，则C 的离心率为__________。

16. 如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O 。

D 、
E 、
F 为圆O 上的点，△DBC 、△ECA 、△FAB 分别是以BC 、CA 、AB 为底边的 等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC 、CA 、AB 为折痕折起△DBC 、△ECA 、 △FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥。

当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体 积（单位：cm3）的最大值为__________。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须
作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17. （12分）
△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知△ABC 的面积为A
a sin 32。

（1）求sinBsinC ；
（2）若6cosBcosC = 1，a = 3，求△ABC 的周长。

18. （12分）
如图，在四棱锥PABCD 中，AB//CD ，且∠BAP = ∠CDP = 90°。

（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA = PD = AB = DC ，∠APD = 90°，求二面角APBC 的余弦值。

19. （12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）。

根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布),(2
σμN 。

（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在)3,3(σμσμ+-之外的零件数，求 P(X ≥ 1)及X 的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在)3,3(σμσμ+-之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查。

（i ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ii ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得97.9161161==∑=i i x x ，212.0)16(161)(161161
221612
≈-=-=∑∑==i i i i x x x x s ，其中xi 为抽取的第i 个零件的尺寸，i = 1,2, (16)
用样本平均数x 作为μ的估计值μ
ˆ，用样本标准差s 作为σ的估计值σˆ，利用估计值判断是否需要对当天的生产过程进行检查？剔除)ˆ3ˆ,ˆ3ˆ(σμσμ
+-之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）。

附：若随机变量Z 服从正态分布),(2
σμN ，则9974.0)33(=+<<-σμσμZ P ，
0.95920.997416≈，
0.090.008≈。

20. （12分）
已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x ，四点)23,1()23,1()1,0()1,1(4
321P P P P ，，，-中恰有三点在椭圆C 上。

（1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过P2点且与C 相交于A 、B 两点。

若直线P2A 与直线P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点。

21. （12分）
已知函数x a a x f x x
--+=e )2(e
)(2。

（1）讨论f (x)的单调性；
（2）若f (x)有两个零点，求a 得取值范围。

（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计 分。

22. [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为)(,sin ,
cos 3为参数θθθ⎩⎨⎧==y x ，直线l 的参数方程为
)(,
1,
4为参数t t y t a x ⎩⎨
⎧-=+=。

（1）若a = 1，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a 。

23. [选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f (x) = x2 + ax + 4，g (x) = |x + 1| + |x 1|。

（1）当a = 1时，求不等式f (x) ≥g (x)的解集；
（2）若不等式f (x) ≥g (x)的解集包含[1,1]，求a的取值范围。

高考数学（文）一轮：一课双测A +B 精练(四十六) 两直线的位置关系
1．(·海淀区期末)已知直线l1：k1x ＋y ＋1＝0与直线l2：k2x ＋y －1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．当0＜k ＜1
2时，直线l1：kx －y ＝k －1与直线l2：ky －x ＝2k 的交点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．(·长沙检测)已知直线l1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l1与l2的距离为( )
A.85
B.32 C ．4D ．8
4．若直线l1：y ＝k(x －4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)
5．已知直线l1：y ＝2x ＋3，若直线l2与l1关于直线x ＋y ＝0对称，又直线l3⊥l2，则l3的斜率为( )
A ．－2
B ．－1
2
C.1
2
D ．2 6．(·岳阳模拟)直线l 经过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且过点(5,1)．则l 的方程是( )
A ．3x ＋y ＋4＝0
B ．3x －y ＋4＝0
C ．x ＋3y －8＝0
D ．x －3y －4＝0
7．(·郑州模拟)若直线l1：ax ＋2y ＝0和直线l2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．
8．已知平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________．
9．(·临沂模拟)已知点P(4，a)到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．
10．(·舟山模拟)
已知1a ＋1
b ＝1(a ＞0，b ＞0)，求点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离
的最小值．
11．(·荆州二检)过点P(1,2)的直线l 被两平行线l1：4x ＋3y ＋1＝0与l2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB|＝2，求直线l 的方程．
12．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P(4,5)关于l 的对称点；
(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．
1．点P 到点A(1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线y ＝x 的距离为2
2
，这样的点P 的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．(·福建模拟)若点(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，则m2＋n2的最小值是( ) A ．2B ．22 C ．4D ．23
3．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A(4,1)和B(0，4)的距离之差最大． [答 题 栏]
A 级
1._________
2._________
3._________
4.________
_5.__________6._________
B 级
1.______
2.______
7.__________8.__________9.__________ 答 案
高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十六)
A 级
1．C2.B3.B4.B
5．选A 依题意得，直线l2的方程是－x ＝2(－y)＋3， 即y ＝12x ＋32，其斜率是12，
由l3⊥l2，得l3的斜率等于－2.
6．选C 设l 的方程为7x ＋5y －24＋λ(x －y)＝0，即(7＋λ)x ＋(5－λ)y －24＝0，则(7
＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4.l 的方程为x ＋3y －8＝0.
7．解析：由2a ＋2(a ＋1)＝0得a ＝－1
2.
答案：－1
2
8．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k ＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k ＝1，故实数k 的所有取值为0,1,2.
答案：0,1,2
9．解析：由题意得，点到直线的距离为
|4×4－3×a －1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|
5
≤3，即
|15－3a|≤15，解得，0≤a ≤10，所以a ∈[0,10]．
答案：[0,10]
10．解：点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝
a ＋2
b 5＝1
5(a ＋2b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝
1
5
⎝
⎛⎭⎪⎫3＋2b a ＋a b ≥15(3＋22)＝35＋2105，当且仅当a2＝2b2，a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b ＝
2＋22时取等号．所以点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为35＋210
5
. 11．解：设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)，
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，
解得A ⎝
⎛⎭
⎪
⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4；
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，
解得B ⎝
⎛⎭
⎪
⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4.
∵|AB|＝2， ∴
⎝ ⎛⎭⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫5k 3k ＋42＝2， 整理，得7k2－48k －7＝0， 解得k1＝7或k2＝－17
.
因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0.
12．解：设P(x ，y)关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．
∵kPP ′·kl ＝－1，即y ′－y
x ′－x ×3＝－1.①
又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②
由①②得⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝－4x ＋3y －9
5
，③ y ′＝3x ＋4y ＋3
5
.④
(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2， y ′＝7，
∴P(4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．
(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为
－4x ＋3y －9
5－
3x ＋4y ＋3
5－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.
B 级
1．选C ∵点P 到点A 和定直线距离相等， ∴P 点轨迹为抛物线，方程为y2＝4x. 设P(t2,2t)，则22＝|t2－2t|2
，解得t1＝1，t2＝1＋2，t3＝1－2，故P 点有三个．
2．选C 设原点到点(m ，n)的距离为d ，所以d2＝m2＋n2，又因为(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y －10＝0的距离为d 的最小值，此时d ＝|－10|42＋32
＝2，所以m2＋n2的最小值为4.
3．解：如图所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，连接AB ′并延长交l 于P ，此时的P 满足|PA|－|PB|的值最大．设B ′的坐标为(a ，b)，
则kBB ′·kl ＝－1， 即3·b －4a ＝－1.
则a ＋3b －12＝0.①
又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2，
b ＋42，且在直线l 上，
则3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②
解①②，得a ＝3，b ＝3，即B ′(3,3)． 于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4
，即2x ＋y －9＝0.
解⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝5，
即l 与AB ′的交点坐标为P(2,5)．
高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图
1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )
A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④
2．有下列四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．
其中真命题的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )
4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )
5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )
A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋3
7．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1
，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2
①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆
8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．
10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．
11．(·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？
12．(·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．
(1)画出该三棱锥的直观图；
(2)求出侧视图的面积．
1．(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )
A．23B．3C.3D．4
2．(·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面
ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平
面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为
2
2
.若M，N分别是线段DE，CE
上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．
3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．
(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；
(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；
(3)求该多面体的表面积．
[答题栏]
A级1._________2._________3._________4._________5
._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________
答案
高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)
A级
1．A2.A3.C4.B
5．选B由斜二测画法知B正确．
6．选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋1
2
×2×3＝4＋ 3.
7．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△A BE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.
答案：①②③
8．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝53
3
.
答案：53
3
9.解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而PA ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.
答案：2＋22
10．解：图1几何体的三视图为：
图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中， 高OS ＝3，
侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7， 在Rt △SOA 中，
OA ＝SA2－OS2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点． 连接SE ，则SE 即为斜高， 在Rt △SOE 中，
∵OE ＝1
2BC ＝2，SO ＝3，
∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.
12．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝
42－⎝ ⎛⎭
⎪⎫23×32×232
＝12＝23，
∴S △VBC ＝1
2
×23×23＝6.
B 级
1．选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.
2．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于
3
2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫222＝2，因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2＝2
2，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝3
3，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此
时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE ·BEcos120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.
答案：3
3．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：
(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE. ∵E 为AA1的中点，O 为AC 的中点， ∴在△AA1C 中，OE 为△AA1C 的中位线． ∴OE ∥A1C.
∵OE ⊄平面A1C1C ，A1C ⊂平面A1C1C ， ∴OE ∥平面A1C1C.
(3)多面体表面共包括10个面，SABCD ＝a2， SA1B1C1D1＝a2
2
，
S △ABA1＝S △B1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD1＝a2
2，
S △AA1D1＝S △B1A1B ＝S △C1B1C ＝S △DC1D1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a28， ∴该多面体的表面积
S ＝a2＋a22＋4×a22＋4×3a2
8＝5a2.。