贵州省黔东南州2018届高三下学期第二次模拟考试 数学(文)试卷(含答案)

黔东南州2018届高三第二次模拟考试 2018.3.9
文科数学
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，本试卷共150分，考试时间为120分钟．
2. 答卷前，考生务必在答题卡上相应的位置准确填写自己的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定的位置．
3. 选择题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应的题目答案标号按要求涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号．非选择题直接用签字笔答在答题卡中对应的答题区域内．
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{}10|≤≤=x x M ，{}1|||≥=x x N ，则M N =I
A 、{}10|≤≤x x
B 、{}10x x x ≤-≥或
C 、{}101|≤≤-≤x x x 或
D 、{}1
2．若复数11i
z i
-=
+，则z = A 、1 B 、1- C 、i D 、i -
3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为甲x 、乙x ，标准差分别为甲σ、乙σ，则
A 、乙甲乙甲，σσ<<x x
B 、乙甲乙甲，σσ><x x
C 、乙甲乙甲，σσ<>x x
D 、乙甲乙甲，σσ>>x x
4．已知数列}{n a 为等差数列，且55=a ，则9S 的值为
A 、25
B 、45
C 、50
D 、90
5．已知2
133
311,,log 34a b c π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则c b a ,,的大小关系为
A 、c b a >>
B 、b c a >>
C 、b a c >>
D 、a b c >>
6．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为
A 、3π1
B 、34
C 3π
D 、14
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为
A 、5
B 、6
C 、7
D 、22
8．若函数)(x f 的定义域为R ，其导函数为'()f x ．若'()30f x -<恒成立，
0)2(=-f ，则()36f x x -<解集为
A 、(,2)-∞-
B 、)2,2(-
C 、)2,(-∞
D 、),2(+∞-
9．执行如图的程序框图，则输出的S 值为
A 、1
B 、
2
3
C 、1
2
- D 、0
10．已知直线134
+-
=x y 的倾斜角为α，则)sin()4
5cos(2cos απαπα++的值为
A 、
22 B 、42 C 、 82 D 、4
27 11．设函数2
22
)()2cos()(e
x e x x x f +++-=ππ
的最大值为M ,最小值为N ，则2018)1(-+N M 的值为 A 、1 B 、2 C 、20182 D 、2018
3
12． 已知点F 是曲线2
1:4
C y x =
的焦点，点P 为曲线C 上的动点，A 为曲线C 的准线与其对称轴的交点，则
PF
PA 的取值范围是
A 、
202（， B 、22） C 、22
D 、2
2
+∞，）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13．已知实数y x ,满足约束条件2060230x y x y x y -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪--≤⎩
，则23z x y =-的最小值是 ．
14．甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为,,A B C 三个层次），得A 的同学直接进入第二轮考试．从评委处得知，三名同学中只有一人获得A ．三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：
甲说：看丙的状态，他只能得B 或C ； 乙说：我肯定得A ；
丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测．
事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得A 的同学是 ．
15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知()()3a b c a b c ab +-++=，且4=c ，则ABC ∆面积的最大值为 ．
16．在平面上，12OB OB ⊥u u u r u u u u r ，且12OB =u u u r ，21OB =u u u u r ，12OP OB OB =+u u u r u u u r u u u u r ．若12MB MB =u u u u r u u u u r ，则PM
u u u u r 的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）
已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*4
(1),3
n n S a n N =-∈． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）令n n a b 2log =，记数列1(1)(1)n n b b ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭
的前n 项和为n T ，证明：21
<n T ．
18．（本小题满分12分）
据统计，2017年国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客590.23
万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：
（Ⅰ）求,a b 的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?
（Ⅱ）若导游的奖金y （单位：万元），与其一年内旅游总收
入x （单位：百万元）之间的关系为 1 20
2 2040
3 40x y x x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
，求
甲公司导游的年平均奖金；
（Ⅲ）从甲、乙两家公司旅游收入在[)50,60的总人数中，用分层抽样的方法随机抽取6人进行表彰，其中有两名导游代表旅游行业去参加座谈，求参加座谈的导游中有乙公司导游的概率.
19、（本小题满分12分）
在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别为BC 、
AP 中点.
（1）求证：//EF 平面PCD ； （2）若2
=1AD AP PB AB ===，求三棱锥P DEF -的体积. 20．（本小题满分12分）
已知点)1,0(-A 、)1,0(B ，P 为椭圆C :12
22
=+y x 上异于点B A ,的任意一点． （Ⅰ）求证：直线PA 、PB 的斜率之积为2
1-
； （Ⅱ）是否存在过点)0,2(-Q 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，使得||||BN BM =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
频数
18 49 24 5
b
21．（本小题满分12分）
已知函数()ln x x f x =,()g x x a =+．
（Ⅰ）设()()()h f x x g x =-，求函数()y h x =的单调区间； （Ⅱ）若10a -<<，函数()
()()
x g x M x f x ⋅=，试判断是否存在0(1,)x ∈+∞，使得0x 为函数()M x 的极小值点．
（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :sin x C y θ
θ=⎧⎨=⎩
(θ为参数) 上任意一点(,)P x y 经过伸缩变换
''2x y y
⎧=⎪⎨
=⎪⎩后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2cos sin )8l ρθθ-=．
（Ⅰ）求曲线2C 和直线l 的普通方程；
（Ⅱ）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．
23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数|3||13|)(k x x x f ++-=,4)(+=x x g ． （Ⅰ）当3-=k 时,求不等式()4f x ≥的解集； （Ⅱ）设1->k ,且当⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡-
∈31,3k x 时，都有()()f x g x ≤,求k 的取值范围．
黔东南州2018届高三第二次模拟考试 2018.3.9
文科数学 参考答案
一、选择题
二、填空题
13．8- 14．甲 15．．)
+∞
三、解答题 17、（12分）
解：（I ）当1=n 时，有1114
(1)3
a S a ==
-，解得41=a . 当2≥n 时，有)1(34
11-=
--n n a S ，则 1144
(1)(1)33
n n n n n a S S a a --=-=---
整理得：
41
=-n n
a a ∴ 数列}{n a 是以4q =为公比，以41=a 为首项的等比数列．
∴ 1*444(n n n a n N -=⨯=∈）
即数列}{n a 的通项公式为：*
4()n n a n N =∈． ………………………6分 （II ）由（I ）有22log log 42n
n n b a n ===，则
11111=(1)(1)(21)(21)22121n n b b n n n n ⎛⎫
=- ⎪+-+--+⎝⎭
∴ n T )
12)(12(1751531311-++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=
n n )]121121()7151()5131()3111[(21+--+⋅⋅⋅+-+-+-=n n 111(1)2212
n =-<+ 故得证. ………………………………………12分
18、（12分）
解：（I ）由直方图知：()0.010.0250.0350.01101a ++++⨯=，有0.02a =， 由频数分布表知：1849245100b ++++=，有4b =．
∴ 甲公司的导游优秀率为：()0.020.0110100%30%+⨯⨯=；
乙公司的导游优秀率为：
245
100%29%100
+⨯=； 由于30%29%>, 所以甲公司的影响度高． ………………………4分 （II ）甲公司年旅游总收入[)10,20的人数为0.011010010⨯⨯=人；
年旅游总收入[)20,40的人数为()0.0250.0351010060+⨯⨯=人； 年旅游总收入[)40,60的人数为()0.020.011010030+⨯⨯=人； 故甲公司导游的年平均奖金110602303
2.2100
y ⨯+⨯+⨯=
=（万元）
． ……8分 （III ）由已知得，年旅游总收入在[)50,60的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．按分层抽样的方法甲公司抽取106415⨯
=人，记为,,,a b c d ；从乙公司抽取5
6215
⨯=人，记为1,2．则6人中随机抽取2人的基本事件有：
()()()()()()()()()()()(),,,,,,,1,,2,,,,,,1,,2,,,,1,,2,a b a c a d a a b c b d b b c d c c
()()(),1,,2,1,2d d 共15个.
参
加
座
谈
的
导
游
中
有
乙
公
司
导
游
的
基
本
事
件
有
：
(),1a ,(),2a ,(),1b ,(),2b ,(),1c ,(),2c ,(),1d ,(),2d ,()1,2共9个．
设事件A 为“参加座谈的导游中有乙公司导游”，则()93
155
p A =
=
∴ 所求概率为3
5
． …………………………………………………12分
19、（12分）
（I ）证明：取PD 中点G ，连接,GF GC . 在△PAD 中，有
,G F 分别为PD 、AP 中点
∴ 1
//
2GF AD 在矩形ABCD 中，E 为BC 中点
∴ 1
//
2
CE AD ∴ //GF EC
∴ 四边形ABCD 是平行四边形 ∴ //GC EF
而GC ⊂平面PCD ，EF ⊄平面PCD
∴ //EF 平面PCD ………………………………………………6分
（II ）解：Q 四边形ABCD 是矩形
∴ AD AB ⊥，//AD BC
Q 平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB I 平面ABCD =AB ，AD ⊂平面PAB ∴ AD ⊥平面PAB
∴ 平面PAD ⊥平面PAB ，//BC 平面PAD Q 2
=
12
AD AP PB AB === ∴ =2AB ，满足222AP PB AB += ∴ AP PB ⊥
∴ BP ⊥平面PAD Q //BC 平面PAD
∴ 点E 到平面PAD 的距离等于点B 到平面PAD 的距离.
而 111112224PDF S PF AD =⨯⨯=⨯⨯=V ∴ 1111
133412
P DEF PDF V S BP -==⨯⨯=V g
∴ 三棱锥P DEF -的体积为1
12
. …………………………………12分
20、（12分）
解：（I ）设点),(y x P ，)0(≠x ，则
1222=+y x ，即22
12
x y =- ∴ 11PA PB
y y k k x x -+⋅=g 2
21y x -=22
112x x
⎛⎫
-- ⎪⎝⎭=1
2=- 故得证． ………………………………5分
（II ）假设存在直线l 满足题意．
显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆C 不相交． ①当直线l 的斜率0≠k 时，设直线l 为：)2(+=x k y
联立⎪⎩
⎪⎨⎧+==+)2(1222
x k y y x ，化简得：0288)21(2
222=-+++k x k x k
由0)28)(21(4)8(2
2
2
2>-+-=∆k k k
，解得022
k k -<<≠（） 设点),(11y x M ，),(22y x N ，则
2
1222
1228128212k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
∴ 2
22212121442184)(k k
k k k k k x x k y y +=++-=++=+
取MN 的中点H ，则1212,22x x y y H ++⎛⎫ ⎪⎝
⎭，则
12
12212
1-=⋅+-+k x x y y 即 2
2
2
21121412k
k k k k -+=--+g ，化简得01222=++k k ，无实数解，故舍去． ②当0=k 时，,M N 为椭圆C 的左右顶点，显然满足||||BN BM =，此时直线l 的方程为0y =． 综上可知，存在直线l 满足题意，此时直线l 的方程为0y =． ……………12分 21、（12分）
解：（I ）由题意可知：()ln h x x x x a =--，其定义域为()0,+∞，则
x x x h ln 11ln )(=-+='．
令0)(>'x h ，得1x >，令()0h x '<，得01x <<．故函数()y h x =的单调递增区间为
()1,+∞，单调递减区间为()0,1． …………………………………5分
（II ）由已知有()ln x a
M x x
+=
，对于(1)x ∈+∞，，有2)
(ln 1ln )(x x a x x M --
='． 令()ln 1((1,))a q x x x x =-
-∈+∞，则221()a x a q x x x x
+'=+=． 令0)(>'x q ，有a x ->．
而10a -<<，所以01a <-<，故当1x >时，0)(>'x q ．
∴ 函数()q x 在区间(1)+∞，上单调递增．
注意到(1)10q a =--<，()0a
q e e
=-
>． 故存在∈0x ()1,e ，使得0'()=0M x ，且当0(1,)x x ∈时，'()0M x <，当0(,)x x e ∈时，
'()0M x >，即函数()M x 在区间0(1,)x 上单调递减，在区间0()x +∞，
上单调递增． ∴ 0x 为函数)(x M 的极小值点．
故存在01x ∈+∞（，），使得0x 为函数)(x M 的极小值点．…………………12分
22、（10分）
解：（I
）由已知有''2sin x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），消去θ得22''134x y +=． 将sin cos x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
代入直线l 的方程得82:=-y x l ∴ 曲线2C 的方程为22
''134
x y +=，直线l 的普通方程为82:=-y x l . ………5分 （II ）由（I ）可设点P 为)sin 2,cos 3(θθ，[0,2)θπ∈．则点P 到直线l 的距离为：
5
|8)3sin(4|5|8sin 2cos 32|+-=--=πθθθd 故当sin()13π
θ-=，即5=6
πθ时d 取最大值5512． 此时点P 的坐标为)1,2
3(-
． ……………………………………10分 23、（10分） 解：（I ）当3k =-时，⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤<+-=1 46131 231 46)(x x x x x x f ，，，， 故不等式4)(≥x f 可化为：
1644x x >⎧⎨-≥⎩或11324x ⎧≤≤⎪⎨⎪≥⎩或13644
x x ⎧<⎪⎨⎪-+≥⎩ 解得：403
x x ≤≥或
∴ 所求解集为：403x x x ⎧
⎫≤≥⎨⎬⎩⎭
或. ……………………………………5分 （II ）当⎪⎭
⎫⎢⎣⎡-∈31,3k x 时，由1k >-有：310,30x x k -<+≥ ∴ k x f +=1)(
不等式)()(x g x f ≤可变形为：41+≤+x k 故3k x ≤+对1,33k x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭恒成立，即33k k ≤-+，解得94k ≤ 而1k >-，故914k -<≤
. ∴ k 的取值范围是：91,4⎛⎤- ⎥⎝
⎦ ………………………………………………10分。