和田市二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

和田市二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 将函数x x f ωsin )(=（其中0>ω）的图象向右平移
4
π
个单位长度，所得的图象经过点 )0,43(
π
，则ω的最小值是（ ） A ．31 B ． C ．35
D ．
2． 已知函数f （x ）
=﹣log 2x ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，4） D ．（4，+∞）
3． 设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数
22
z z
+=（ ） A.1i - B.1i + C. 2i + D. 2i -
【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 4． 函数y=a x +2（a ＞0且a ≠1）图象一定过点（ ）
A ．（0，1）
B ．（0，3）
C ．（1，0）
D ．（3，0）
5． 已知正△ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
6． 函数f （x ）
=﹣lnx 的零点个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7． 已知直线l
的参数方程为1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以原点O 为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()3
π
ρθ=+
，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，当||AB 最小时，α的值为（ ）
A ．4
π
α=
B ．3
π
α=
C ．34
πα=
D ．23
π
α=
8． 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽 车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘 坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种. A ．24 B ．18 C ．48 D ．36
【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力．
9． 若函数f （x ）=﹣a （x ﹣x 3）的递减区间为（，），则a 的取值范围是（ ）
A ．a ＞0
B ．﹣1＜a ＜0
C ．a ＞1
D ．0＜a ＜1
10．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A ． 2 B ．4 C ．
34 D ．3
8
【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.
12．执行如图所示的程序框图，若输入的
分别为0，1，则输出的
（ ）
A．4 B．16 C．27 D．36
二、填空题
13．已知数列的前项和是, 则数列的通项__________
14．如图所示，圆C中，弦AB的长度为4，则AB AC
×的值为_______．
【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想．
15．已知函数
5
()sin(0)
2
f x x a x
π
=-≤≤的三个零点成等比数列，则
2
log a=.
16．函数y=a x+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（填点的坐标）
17．函数()2
log
f x x
=在点()
1,2
A处切线的斜率为▲．
18．已知f（x）=，则f（﹣）+f（）等于．
三、解答题
19．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°．
（1）求∠BDA的大小
（2）求BC的长．
20．（本题满分12分）如图1在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D，E分别是AC，BC边上的中点，M为CD的中点，现将△CDE沿DE折起，使点A在平面CDE内的射影恰好为M．
（I）求AM的长；
（Ⅱ）求面DCE与面BCE夹角的余弦值．
21．（1）直线l 的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a ∈R ）．若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； （2）已知A （﹣2，4），B （4，0），且AB 是圆C 的直径，求圆C 的标准方程．
22．【南师附中2017届高三模拟二】如下图扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中AOB ∠为
23
π
，半径OA 为1km ，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由圆弧
AC 、线段CD 及线段BD 组成．其中D 在线段OB 上，且//CD AO ，设AOC θ∠=．
（1）用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围； （2）当θ为何值时，观光道路最长？
23．已知复数z=
． （1）求z 的共轭复数；
（2）若az+b=1﹣i ，求实数a ，b 的值．
24．函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（1）求函数f（x）的递增区间；
（2）当x∈[0，]时，求f（x）的值域．
和田市二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
考
点：由()ϕω+=x A y sin 的部分图象确定其解析式；函数()ϕω+=x A y sin 的图象变换． 2． 【答案】C
【解析】解：∵f （x ）=﹣log 2x ，
∴f （2）=2＞0，f （4）=﹣＜0， 满足f （2）f （4）＜0，
∴f （x ）在区间（2，4）内必有零点， 故选：C
3． 【答案】A 【
解
析
】
4． 【答案】B 【解析】解：由于函数y=a x （a ＞0且a ≠1）图象一定过点（0，1），故函数y=a x
+2（a ＞0且a ≠1）图象一定
过点（0，3）， 故选B ．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
5． 【答案】D
【解析】解：∵正△ABC 的边长为a ，∴正△ABC 的高为
，
画到平面直观图△A ′B ′C ′后，“高”变成原来的一半，且与底面夹角45度，
∴△A ′B ′C ′的高为=，
∴△A ′B ′C ′的面积S==
．
故选D ．
【点评】本题考查平面图形的直观图的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
6． 【答案】B
【解析】解：函数f （x ）=﹣lnx 的零点个数等价于
函数y=与函数y=lnx 图象交点的个数， 在同一坐标系中，作出它们的图象：
由图象可知，函数图象有1个交点，即函数的零点个数为1 故选B
7． 【答案】A
【解析】解析：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系．在直角坐标系中，圆C
的方程为22((1)4x y +-=，直线l 的普通方程为tan (1)y x α=-，直线l 过定点M ，∵
||2MC <，∴点M 在圆C 的内部．当||AB 最小时，直线l ⊥直线MC ，1MC k =-，∴直线l 的斜率为1，∴
4
π
α=，选A ．
8． 【答案】A
【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有121
21223=C C C 种. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有
12121213=C C C 种. 共有24种. 选A.
9． 【答案】A
【解析】解：∵函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，）
∴f′（x）≤0，x∈（，）恒成立
即：﹣a（1﹣3x2）≤0，，x∈（，）恒成立
∵1﹣3x2≥0成立
∴a＞0
故选A
【点评】本题主要考查函数单调性的应用，一般来讲已知单调性，则往往转化为恒成立问题去解决．10．【答案】A
【解析】解：几何体如图所示，则V=，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，正确得出直观图是解答的关键．
11．【答案】B
12．【答案】D
【解析】【知识点】算法和程序框图
【试题解析】A=0，S=1，k=1，A=1，S=1，否；k=3，A=4，S=4，否；k=5，A=9，S=36，是，则输出的36。

故答案为：D
二、填空题
13．【答案】
【解析】
当时，
当时，，
两式相减得：
令得，所以
答案：
14．【答案】8
15．【答案】
1 2
考点：三角函数的图象与性质，等比数列的性质，对数运算．
【名师点睛】本题考查三角函数的图象与性质、等比数列的性质、对数运算法则，属中档题．把等比数列与三角函数的零点有机地结合在一起，命题立意新，同时考查数形结合基本思想以及学生的运算能力、应用新知识解决问题的能力，是一道优质题．
16．【答案】（0，2）
【解析】解：令x=0，得y=a0+1=2
∴函数y=a x+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（0，2）
故答案为：（0，2）．
【点评】本题考查指数函数的单调性与特殊点，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质，确定指数为0时，求函数的图象必过的定点
17．【答案】1
ln 2
【解析】
试题分析：()()111ln 2ln 2
f x k f x ''=
∴== 考点：导数几何意义
【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.
（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 18．【答案】 4 ．
【解析】解：由分段函数可知f （）=2×=．
f （﹣）=f （﹣+1）=f （﹣）=f （﹣）=f （）=2×=，
∴f （）+f （﹣）=+．
故答案为：4．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）在△ABC 中，AD=5，AB=7，BD=8，由余弦定理得…
=
…
∴∠BDA=60°… （2）∵AD ⊥CD ， ∴∠BDC=30°…
在△ABC 中，由正弦定理得
，…
∴．…
20．【答案】解：（I）由已知可得AM⊥CD，又M为CD的中点，
∴；3分
（II）在平面ABED内，过AD的中点O作AD的垂线OF，交BE于F点，
以OA为x轴，OF为y轴，OC为z轴建立坐标系，
可得
，
∴，，5分
设为面BCE的法向量，由可得=（1，2，﹣），
∴cos＜，＞==，∴面DCE与面BCE夹角的余弦值为4分
21．【答案】
【解析】解：（1）当a=﹣1时，直线化为y+3=0，不符合条件，应舍去；
当a≠﹣1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点（0，a﹣2），（，0）．
∵直线l在两坐标轴上的截距相等，
∴a﹣2=，解得a=2或a=0；
（2）∵A （﹣2，4），B （4，0）， ∴线段AB 的中点C 坐标为（1，2）． 又∵
|AB|=
，
∴所求圆的半径
r=
|AB|=
．
因此，以线段AB 为直径的圆C 的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2
=13．
22．【答案】（1
）cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫
=+∈ ⎪⎝⎭
;（2）设∴当6πθ=时，()L θ取得最大值，即当6πθ=
时，观光道路最长.
【解析】试题分析：（1）在OCD ∆中，由正弦定理得：sin sin sin CD OD CO COD DCO CDO ==∠∠∠
2cos 3CD πθθθ⎛⎫
∴=-= ⎪⎝⎭
，OD θ=
1sin 03OD OB π
θθθ<<∴<<<
cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫
∴=∈ ⎪⎝⎭
（2）设观光道路长度为()L θ， 则()L BD CD AC θ=++弧的长
= 1cos θθθθ+++
= cos 1θθθ++，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
∴(
)sin 1L θθθ=-+' 由()0L θ'=
得：sin 6πθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭，又0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
6πθ∴=
∴当6
π
θ=
时，()L θ取得最大值，即当6
π
θ=
时，观光道路最长.
考点：本题考查了三角函数的实际运用
点评：对三角函数的考试问题通常有：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。

多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。

如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。

除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。

另外，还要注意利用三角函数解决一些应用问题 23．【答案】
【解析】解：（1）．
∴=1﹣i ．
（2）a （1+i ）+b=1﹣i ，即a+b+ai=1﹣i ，
∴
，
解得a=﹣1，b=2．
【点评】该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题，熟记相关概念是解题关键．
24．【答案】 【解析】解：（1）…（2分）
令
解得
…
f （x ）的递增区间为…（6分） （2）∵，∴
…（8分）
∴
，∴…（10分）
∴f （x ）的值域是
…（12分）
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的最值，考查计算能力．。