2019 上海市初中数学竞赛强化训练 平面几何
上海市2019届初三数学一模提升题汇编第23题(几何证明题)(word版含答案)
2019届一模提升题汇编第23题（几何证明题）【2019届一模徐汇】23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，已知菱形ABCD ，点E 是AB 的中点，AF BC ⊥于点F ，联结EF 、ED 、DF ，DE 交AF 于点G ，且2AE EG ED =⋅．(1) 求证：DE EF ⊥；(2) 求证：22BC DF BF =⋅．∴AEG V ∽DEA V …………………………………（1分）∴EAG ADE ∠=∠……………………………………………………………（1分） ∴EAG EFG ∠=∠……………………………………………………………（1分） ∵EAG ADE ∠=∠(已证)，ADE EFG ∠=∠………………………………（1分） ∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC, AF ⊥BC ，∴90DAG AFB ∠=∠=︒. ∴90ADE AGD ∠+∠=︒.B（第23题图）∵,AGD EGF ADE EFG ∠=∠∠=∠，∴90EFG EGF ∠+∠=︒.∴90GEF ∠=︒，∴DE EF ⊥……………………………………………（1分） (2) 延长FE 、DA 相交于点M ，∴ME EF = …………………………………（1分）∵DE EF ⊥，∴DF DM =…………………（1分） ∴MDE FDE ∠=∠∵()()BAF EAG MDE ADE ∠∠=∠∠（已证） ∴BAF FDE ∠=∠ …………………………（1分） ∵90AFB DEF ∠=∠=︒∴AFB V ∽DEF V……………………………………………………………（1分）∴22.BC DF BF =………………………………………………………………（1分） 其他证明方法，酌情给分。
】【2019届一模浦东】23. （本题满分12分，其中每小题各6分）已知：如图8，在平行四边形ABCD 中，M 是边BC 的中点，E 是边BA 延长线上的一点，联结EM ，分别交线段AD 于点F 、AC 于点G .（1）求证：GF EF GM EM=; （2）当22BC BA BE =⋅时，求证：∠EMB =∠ACD .FCBA DB【23、（1）证明略；（2）证明略】【2019届一模杨浦】23．（本题满分12分，每小题各6分）已知：如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上，且∠ACD =∠B =∠BAE. （1）求证：AD DEBC AC=； （2）当点E 为CD 中点时，求证：22AE ABCE AD=.【23．证明：（1）∵∠ACD =∠B ，∠BAC =∠CAD ，∴△ADC ∽△ACB . ·· （2分） ∵∠ACD =∠BAE ，∠ADE =∠CDA ，∴△ADE ∽△CDA . ··· （2分） ∴△ADE ∽△BCA . ··················· （1分）∵点E为CD 中点，∴DE CE =. ················ （1分）（第23题图）BC【2019届一模普陀】23．（本题满分12分）已知：如图9，△ADE 的顶点E 在△ABC 的边BC 上，DE 与AB 相交于点F ，AE AF AB =⋅2，DAF EAC ∠=∠．（1）求证：△ADE ∽△ACB ； （2）求证：DF CEDE CB=．【23．证明：（1）∵AE AF AB =⋅2，又∵FAE EAB ∠=∠，∴△AFE ∽△AEB ． ······················ （2分） ∴AEF B ∠=∠． ························ （1分） ∵DAF EAC ∠=∠，∴DAE CAB ∠=∠． ······················ （1分） ∴△ADE ∽△ACB ． ······················ （1分） （2）∵△ADE ∽△ACB ，F图9ABCDE∵DAF EAC ∠=∠，∴△ADF ∽△ACE ．············ （1分）【2019届一模奉贤】23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）已知：如图9，在△ABC 中，点D 在边AC 上，BD 的垂直平分线交CA 的延长线于点E ， 交BD 于点F ，联结BE ，EC EA ED •=2． （1）求证：∠EBA =∠C ；（2）如果BD =CD ，求证：AC AD AB •=2．22．【证明：（1）∵EF 是BD 的垂直平分线，∴EB ED =． ········ （1分）又∵BEA CEB ∠=∠，∴△BEA ∽△CBE ． ·············· （2分）∴EBA C ∠=∠． ························· （1分） （2）∵EB =ED ，∴EBD EDB ∠=∠． ·················· （1分） 即EBA ABD C DBC ∠+∠=∠+∠．∴ABD DBC ∠=∠． ······· （1分）∵BD CD =，∴DBC C ∠=∠． ················· （1分） ∴ABD C ∠=∠． ························ （1分） 又BAD CAB ∠=∠，∴△ABD ∽△CAB ． ·············· （2分）ABCDEF图9【2019届一模松江】23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）ADEC B（第23题图）AC·CE=AD·BC.（1）求证：∠DCA=∠EBC；（2）延长BE交AD于F，求证：AB2=AF·AD.【23．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA………………………………（1分）∴△ACD∽△CBE………………………………………………………………（1分）∴∠DCA=∠EBC…………………………………………………………………（1分）（2）∵AD∥BC，∴∠AFB=∠EBC……………………………………………（1分）∵∠DCA=∠EBC，∴∠AFB=∠DCA……………………………………………（1分）9∵AD ∥BC ，AB =DCF（第23题图）EDCBA10∴∠BAD =∠ADC ……………………………（2分） ∴△ABF ∽△DAC ………………（1分）∵AB =DC ，∴AD AF AB ⋅=2…………（1分）】【2019届一模嘉定】23．（本题满分12分，每小题6分）如图6，已知点D 在△ABC 的外部，AD //BC ，点E 在边AB 上，AE BC AD AB ⋅=⋅． （1）求证：AED BAC ∠=∠；（2）在边AC 取一点F ，如果D AFE ∠=∠， 求证：ACAFBC AD =．【23.证明（1）∵AD ∥BC∴DAE B ∠=∠ ……1分 ∵AE BC AD AB ⋅=⋅∴△CBA ∽△DAE ……2分∴AED BAC ∠=∠ ……2分图6BCDAE F图6B CDAE F（2）由（1）得△DAE ∽△CBA∵D AFE ∠=∠∴C AFE ∠=∠∴EF ∥BC ……1分 ∵AD ∥BC∴EF ∥AD ……………1分 ∵AED BAC ∠=∠ ∴DE //AC∴四边形ADEF 是平行四边形 ……1分 ∴AF DE= ……1分【2019届一模青浦】23．（本题满分12分，第（1）小题7分，第（2）小题5分）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，点F 在DE 的延长线上，AD=AF ，AE CE DE EF ⋅=⋅． （1）求证：△ADE ∽△ACD ；（2）如果AE BD EF AF ⋅=⋅，求证：AB=AC ．【23．证明：（1）∵AD =AF ，∴∠ADF =∠F ． ················ （1分）又∵∠AEF =∠DEC ，∴△AEF ∽△DEC ． ····················· （2分）ABCDEF（第23题图）∴∠F =∠C ． ························ （1分） ∴∠ADF =∠C ． ······················ （1分） 又∵∠DAE =∠CAD ，∴△ADE ∽△ACD ． ···················· （1分）∵∠AEF =∠EAD +∠ADE ，∠ADB =∠EAD +∠C ，∴∠AEF =∠ADB ． ····················· （1分） ∴△AEF ∽△ADB ． ···················· （1分） ∴∠F =∠B ，∴∠C =∠B ，∴AB =AC ． （1分）】【2019届一模静安】23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图9，在ABC ∆中，点D 、E 分别在边BC 和AB 上，且AD AC =，EB ED =，分别延长ED 、AC 交于点F ． （1）求证：ABD ∆∽FDC ∆； （2）求证：2AE BE EF =⋅．图9AC BDEF【证明：（1）∵AD AC =，∴ADC ACD ∠=∠2019届一模提升题汇编目录 ................................................................................................... 错误！未定义书签。
【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题9平面几何(50题竞赛真题强化训练)原卷版
【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题9 平面几何（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2018·天津·高三竞赛）凸六边形ABCDEF 的6条边长相等，内角A 、B 、C 分别为134°、106°、134°.则内角E 是___________（用度数作答）.2．（2020·江苏·高三竞赛）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与圆C ：()()2227365x y -+-=交于A ，B ，则OA OB ⋅=__________．3．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，ABC ∠所对的旁切圆与边AC 相切于点D ，ACB ∠所对的旁切圆与边AB 相切于点E ．若||1,||2AB AC ==，则ADE 面积的最大值为_______．4．（2021·浙江·高三竞赛）在ABC 中，AB AC BC >>，在M ，N 为AB 上两点，且AN AC =，BM BC =，点P 为ABC 的内心.若75MPN ∠=°，则ACB =∠______. 5．（2021·全国·高三竞赛）设三个不同的正整数a b c 、、成等差数列，且以555a b c 、、为三边长可以构成一个三角形，则a 的最小可能值为________.6．（2019·贵州·高三竞赛）如图，在△ABC 中，AB =30，AC =20，S △ABC =210，D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，△BAC 的平分线分别与DE 、BC 交于点F 、G ，则四边形BGFD 的面积为________.7．（2018·山东·高三竞赛）若直线65280x y --=交椭圆22221x y a b+=（0a b >>，且2a 、b 为整数）于点A 、C ．设()0,B b 为椭圆的上顶点，而ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，则椭圆的方程为______．8．（2018·河北·高三竞赛）在△ABC 中，3AC =，sin sin (k 2)C k A =≥，则△ABC 的面积最大值为_____.9．（2021·全国·高三竞赛）已知直角梯形ABCD 中，//AB CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，90DAB ∠=︒，P 、Q 分别是腰AD 、BC 上的点，且,BPA DPC AQB DQC ∠=∠∠=∠，若23AB CD =，则OP OQ=_________．10．（2019·山东·高三竞赛）△ABC 中，16,9AB BC CA ===.在△ABC 外部，到点B 、C 的距离小于6的点组成的集合，所覆盖平面区域的面积是______ .二、解答题11．（2021·全国·高三竞赛）已知ABC 满足60A ∠=︒，E 、F 分别为AB AC 、延长线上的点，且,BE CF BC ACE ==的外接圆与EF 交于不同于E 的点K ．证明：点K 在BAC ∠的角平分线上．12．（2021·全国·高三竞赛）如图，在平行四边形ABCD 中，1A ､1C 分别是边AB BC 、上的点，线段1AC ､1CA 交于点P ，1AA P 和1CC P △的外接圆的第二个交点Q 位于ACD △的内部.证明：PDA QBA ∠=∠.13．（2021·全国·高三竞赛）如图，设O 、H 分别为ABC 的外心与垂心，M 、N 分别为BH 、CH 的中点．BB '是ABC 的外接圆的一条直径，如果HONM 是一个圆的内接四边形，证明：12B N AC '=． 14．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知锐角ABC 的外接圆为Γ，过B 、C 分别作圆Γ的切线交于点P ，P 在直线BC 、AC 、AB 上的投影分别为D 、E 、F ，DEF 的外接圆与BC 交于点N （不同于点D ），A 在BC 上的投影为M ．求证：BN CM =． 15．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，M 为BC 的中点．D 为线段BM 上一点，E 、F 分别为AC AB 、上的点，且四边形AEDF 为平行四边形.BO 交DE 于点P ，CO 的延长线交DF 的延长线于点Q ，ABC 的外接圆O 交ADM △的外接圆于A 、K 两点．求证：K 、Q 、P 、O 四点共圆．16．（2021·全国·高三竞赛）如图，AE 、AF 为圆的两切线，ABC 为圆的一条割线，EF 为切点连线，D 为过C 、B 关于圆的切线的交点，证明：D 、E 、F 共线． 17．（2021·全国·高三竞赛）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，G 为重心，P 为射线AG 上一点，满足CPA CAB ∠=∠，Q 为射线BG 上一点，满足CQB ABC ∠=∠，证明：AQG 、BPG 的外接圆的另一个交点在AB 上．18．（2021·全国·高三竞赛）如图，设圆内接四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点P ，并且DA 与CB 交于Q ．若PQ AC ⊥，且E 是AB 的中点．求证：PE BC ⊥． 19．（2021·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，BC 最短，D 、E 分别在AB AC 、上满足BD CE BC ==，设I 是ABC 内心，O 是ADE 外心，求证：OI BC ⊥. 20．（2021·全国·高三竞赛）如图，锐角ABC 中，D 为边BC 中点，ABD △内切圆与边AB 切一点,E ACD 的内切圆与边AC 切于点F ，若四边形EDFG 为平行四边形，求证：G 在BAC ∠的平分线上.21．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知圆O 是ABC 的外接圆，切线、BP CP 交于点P ，D 是BC 的中点，K 、L 分别在线段AB AC 、上，且满足KD LD ⊥，连结KP LP 、，求证：2BPC KPL ∠=∠．22．（2021·全国·高三竞赛）点P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点，过P 作椭圆两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，点M 、N 分别为PA 、AB 中点，连结MN 并延长交椭圆于点C ，连结PC 交椭圆于另一点D ，连结ND 并延长交PB 于Q ，证明：Q 为PB 的中点．23．（2021·全国·高三竞赛）如图，在锐角ABC 中，AB AC >，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，ADE 的外接圆与BCE 的外接圆交于点P （异于E ），ADE 的外接圆与BCD △的外接圆交于点Q （异于D ），证明：AP AQ =．24．（2019·江西·高三竞赛）如图所示，BE 、CF 分别是锐角三角形△ABC 的两条高，以AB 为直径的圆与直线CF 相交于点M 、N ，以AC 为直径的圆与直线BE 相交于点P 、Q .证明：M 、N 、P 、Q 四点共圆.25．（2019·山东·高三竞赛）已知：正方形ABCD 的边长为1点M 是边AD 的中点以M 为圆心AD 为直径作圆，点E 在线段AB 上，且直线CE 与圆相切.求△CBE 的面积. 26．（2018·江西·高三竞赛）如图，ABC 的内心为I ，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，证明：直线DI 平分DEF 的周长．27．（2018·福建·高三竞赛）如图，在锐角ABC 中，E 、E 是边BC 上的点，ABC 、ABD △、ADC 的外心分别为O 、P 、Q ．证明：（1）APQ △ABC ；（2）若EO PQ ⊥，则QO PE ⊥．28．（2019·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，设△C=90°，CD AB ⊥，垂足为D ，P 、Q 分别为ADC ∆、BDC ∆的内心，PQ 与CD 交于点K ，记ABC ∆的面积为S.证明：22111CK CD S-=. 29．（2018·全国·高三竞赛）如图，1O 与2O 的半径相等，交于X 、Y 两点. ABC ∆内接于1O ，且其垂心H 在2O 上，点Z 使得四边形CXZY 为平行四边形.证明：AB 、XY 、HZ 三线共点.30．（2021·全国·高三竞赛）如图，以AB 为直径的圆上有C 、D 两点，AC 、BD 两点的中点为E 、F ，直线EF 与直线AD 、BC 分别交于G 、H ，求证：以FG 为直径的圆和以EH 为直径的圆有一交点在CD 上．31．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，在等腰ABC 中，AB AC =，设点D 是边AC 上一点，点E 是线段BD 的中点，延长AE 与底边BC 交于点F ，证明：若BF EF =，求证：2AE AB AD =⋅.32．（2021·全国·高三竞赛）如图，在锐角ABC 中，已知点D ､E ､F 分别是点A ､B ､C在边BC ､CA ､AB 上的投影，AEF ､BDF 的内心分别为1I ､2I ，1ACI ､2BCI 的外心分别为1O ､2O ，证明：1212//I I O O .33．（2021·全国·高三竞赛）如图，AB 是O 的一条弦，AB 的垂直平分线交O 于M N 、两点，交AB 于点D ．P 为O 内一点，DMP 外接圆交PN 于点,E ABE 的外接圆交MP 于点F ，且点M P E F 、、、在直线AB 同侧．证明：EF PN ⊥． 34．（2021·全国·高三竞赛）如图，锐角ABC 的外接圆为Γ，D 是A 在BC 上的射影，假设AD BC =，点M 为DC 中点，ADC ∠的角平分线与AC 交于点N ，Γ上一点P 满足//BP AC ．直线DN 与AM 交于点F ，直线PF 与圆Γ再交于点Q ．直线AC 与PNQ 的外接圆再交于点E ．证明：90DQE ∠=︒．35．（2021·浙江·高三竞赛）如图，O 是ABC 的外接圆，D 是弧BC （不含A ）上一点，S 为弧BAC 的中点.P 为线段SD 上一点，过P 作DB 的平行线交AB 于点E ，过P 作DC 的平行线交AC 于点F ，过O 作SD 的平行线交弧BDC 于点T .已知O 上的点Q 满足QAP ∠被AT 平分.证明：QE QF =.36．（2021·全国·高三竞赛）在锐角ABC 中，D 为边BC 上一定点，P 为AD 边上一动点，直线CP 交AB 于点Q ，DQ 交BP 于点X ．BCX 、CAX 、ABX 的三个外接圆分别交DQ 于X 外的另三点1Y 、2Y 、3Y ，过1Y 、2Y 、3Y 分别作DQ 垂线1l 、2l 、3l ，证明：1l 、2l 、3l 均过定点．37．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，点P 、Q 、R 分别位于边BC 、CA 、AB 上，A ω、B ω、C ω分别是AQR 、BRP △、CPQ 的外接圆，线段AP 与A ω、B ω、C ω分别相交于点X 、Y 、Z .证明：YX BP XZ PC=． 38．（2021·全国·高三竞赛）点O 是ABC 的外接圆圆心，含点A 的BC 的中点为S ，点T 在不包含点A 的BC 上.点M 在圆O 上且//SM OT .点P 在线段SM 上.过点P 作MB 的平行线交AB 于点F ，过点P 作MC 的平行线交AC 于点E .点Q 在圆O 上，使得AT 是PAQ ∠的角平分线.证明：QE QF =.39．（2021·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，A B C ∠≥∠≥∠，且AD 为BC 边上的高，BE 为AC 边上的中线，CF 为C ∠的平分线，AD 与CF BE 、分别交于P R 、两点，BE 与CF 交于Q 点，令PQR ABC Sx S =．求证：16x <，且16是最好的界（即可以无限接近于16）． 40．（2021·全国·高三竞赛）设ABC 的内心为点I ，内切圆分别切BC CA AB 、、于D E F 、、．直线DF 与EI 交于点N ．连结并延长BN ，交AC 于点M ．求证：M 是AC 中点．41．（2021·全国·高三竞赛）已知O 上依次四点A ､B ､C ､D ，射线AB DC 、交于点P .射线AD BC 、交于点Q ，弦AC BD 、交于点R ，点M 为线段PQ 的中点.过点O 作MR 的垂线，分别PQ MR 、于点U ､V .过点U 作O 的切线UK ，与O 切于点K . 证明：（1）P ､Q ､V ､O 四点共圆；（2）K ､M ､R 三点共线.42．（2020·全国·高三竞赛）如图，在等腰ABC 中，AB BC =，I 为内心，M 为BI 的中点，P 为边AC 上一点，满足3AP PC =，PI 延长线上一点H 满足MH PH ⊥，Q 为ABC 的外接圆上劣弧AB 的中点．证明：BH QH ⊥．43．（2020·全国·高三竞赛）如图，在锐角△ABC 中，M 是BC 边的中点点P 在△ABC 内，使得AP 平分△BAC .直线MP 与△ABP 、△ACP 的外接圆分别相交于不同于点P 的两点D 、E .证明：若DE =MP ，则BC =2BP .44．（2019·江苏·高三竞赛）如图所示，D 是△ABC 中，边BC 的中点，K 为AC 与△ABD 的外接圆O 的交点，EK 平行于AB 且与圆O 交于E ，若AD =DE ，求证：AB AK KC +=.45．（2019·广西·高三竞赛）如图所示，AD 、AH 分别是△ABC （其中AB >AC ）的角平分线、高线，点M 是AD 的中点，△MDH 的外接圆交CM 于点E .求证：△AEB =90°. 46．（2019·福建·高三竞赛）如图，O ､H 分别为锐角△ABC 的外心垂心，AD △BC 于D ，G 为AH 的中点点K 在线段GH 上，且满足GK =HD ，连结KO 并延长交AB 于点E .（1） 证明：//EK BC ；（2） 证明：GE GC ⊥.47．（2019·全国·高三竞赛）如图，点A ､B ､C ､D ､E 在一条直线上顺次排列，满足BC =CD P 在该直线外，满足PB =PD .点K ､L 分别在线段PB ､PD 上，满足KC 平分△BKE ，LC 平分△ALD .证明：A ､K ､L ､E 四点共圆.48．（2021·全国·高三竞赛）如图，给定两个相交的圆1O 与2O ，A 、B 为1O 、2O 的交点，一动直线经过B 与1O 交于点C ，与2O 交于点D ，且B 在线段CD 内，过C的1O 的切线与过D 的2O 的切线相交于点M ，连结AM 交CD 于点E ，过点E 作DM 的平行线交AD 于点K ，求点K 的轨迹.（2021·全国·高三竞赛）ABC 的外接圆与内切圆分别为Γ、Ω，ΩA 为A -旁切圆． 49．证明：存在唯一圆1ω，1ω与Ω内切、与ΩA 外切，并且与Γ内切于点A ． 50．设圆1ω与ΩA 、Ω的切点分别为P 、Q ．如果BAQ CAP ∠=∠，求证：AB AC =．。
上海中考数学竞赛试题及答案
上海中考数学竞赛试题及答案试题一：代数基础1. 已知\( a \)，\( b \)是方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)的两个实数根，求\( a^2 + b^2 \)的值。
2. 若\( x \)满足\( |x - 3| + |x - 5| = 4 \)，求\( x \)的取值范围。
试题二：几何问题1. 在直角三角形ABC中，∠C为直角，若AB=13，AC=5，求BC的长度。
2. 圆O的半径为10，点P在圆上，PA=8，PA与圆O的切线垂直，求点P到圆心O的距离。
试题三：函数与方程1. 已知函数\( y = 2x^2 - 3x + 1 \)，求该函数的顶点坐标。
2. 若\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求\( f(x) \)的最小值。
试题四：概率与统计1. 一个袋子中有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求至少有一个红球的概率。
2. 某班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。
随机选择2名学生，求选出的两名学生都是女生的概率。
试题五：组合与逻辑1. 有5本书，其中3本数学书，2本语文书，将它们排成一排，求数学书和语文书不相邻的排列方式有多少种。
2. 一个班级有10名学生，需要选出3名学生参加数学竞赛，求选出的3名学生中至少有1名男生的选法有多少种。
答案：试题一：1. 根据韦达定理，\( a + b = 5 \)，\( ab = 6 \)，因此\( a^2 +b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 25 - 12 = 13 \)。
2. 根据绝对值的性质，\( x \)的取值范围是[3,5]。
试题二：1. 根据勾股定理，\( BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 -5^2} = 12 \)。
2. 由于PA与圆O的切线垂直，根据切线性质，PA是切线，所以点P到圆心O的距离等于半径，即10。
试题三：1. 函数的顶点坐标为\( (-\frac{-3}{2 \times 2}, \frac{4ac -b^2}{4a}) = ( \frac{3}{4}, -\frac{1}{8}) \)。
2019年全国初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2019年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若20 10a b b c ==，，则a b b c++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）21011解：D 由题设得12012101111110a ab bc b c b +++===+++． 2．若实数a ，b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是 （ ）． （A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤4 解．C因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -++= 的判别式 21()41(2)2a a ∆--⨯⨯+＝≥0,解得a ≤2-或 a ≥4．3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23BC =422-CD ＝2AD 边的长为（ ）．（A ）26 （B ）64（C ）64+ （D ）622+解：D如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ．由已知可得BE =AE 6，CF ＝2DF ＝6，于是 EF ＝46．过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得 AD 222(46)(6)(224)=++=+226+4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭ （第3题）（第3题）（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于（ ）．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解：B由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得 11x =，22x =，33x =，44x =，51x =，62x =，73x =，84x =，……因为2010=4×502+2，所以2010x =2．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…， 则点P 2010的坐标是（ ）．（A ）（2010，2） （B ）（2010，2-）（C ）（2012，2-） （D ）（0，2）解：B 由已知可以得到，点1P ，2P 的坐标分别为（2，0），（2，2-）．记222 )P a b （，，其中222,2a b ==-． 根据对称关系，依次可以求得： 322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，．令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即10P （2242,a b ⨯+）， 由于2010=4⨯502+2，所以点2010P 的坐标为（2010，2-）．二、填空题6．已知a ＝5－1，则2a 3＋7a 2－2a －12 的值等于 ．解：0由已知得 (a ＋1)2＝5，所以a 2＋2a ＝4，于是2a 3＋7a 2－2a －12＝2a 3＋4a 2＋3a 2－2a －12＝3a 2＋6a －12＝0．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿（第5题）车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t ＝ ．解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a b c ，， （千米/分），并设货车经x 分钟追上客车，由题意得()10a b S -=， ①()152a c S -=， ② ()x b c S -=． ③由①②，得30b c S -=（），所以，x =30． 故 3010515t =--=（分）． 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 ．解：11133y x =-+ 如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接OB ，AF ；连接CE ，DF ，且相交于点N ．由已知得点M （2，3）是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点N （5，2）是矩形CDEF 的中心，所以，过点N （5，2）的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分．于是，直线MN 即为所求的直线l ．设直线l 的函数表达式为y kx b =+，则2352k b k b =⎧⎨+=⎩+，， 解得 1311.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，,故所求直线l 的函数表达式为11133y x =-+． 9．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD ＝CF ，则AE AD= ． （第8题） （第8题解： 215- 见题图，设,FC m AF n ==． 因为Rt △AFB ∽Rt △ABC ，所以 2AB AF AC =⋅．又因为 FC ＝DC ＝AB ，所以 2()m n n m =+，即 2()10n n m m+-=， 解得51n m -=，或51n m --=（舍去）． 又Rt △AFE ∽Rt △CFB ，所以AE AE AF n AD BC FC m ====51-， 即AE AD=51-． 10．对于i =2，3，…，k ，正整数n 除以i 所得的余数为i －1．若n 的最小值0n 满足020003000n <<，则正整数k 的最小值为 ．解：9 因为1n +为2 3 k ，，，的倍数，所以n 的最小值0n 满足[]012 3 n k +=，，，，其中[]2 3 k ，，，表示2 3 k ，，，的最小公倍数． 由于[][]2 3 88402 3 92520 ==，，，，，，，， [][]2 3 1025202 3 1127720==，，，，，，，， 因此满足020003000n <<的正整数k 的最小值为9．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： ．tan EF PAD BC ∠=（第9题） （第11题）证明：如图，连接ED ，FD . 因为BE 和CF 都是直径，所以ED ⊥BC ， FD ⊥BC ，因此D ，E ，F 三点共线. …………（5分）连接AE ，AF ，则AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠，所以，△ABC ∽△AEF . …………（10分）作AH ⊥EF ，垂足为H ，则AH =PD . 由△ABC ∽△AEF 可得 EF AH BC AP=， 从而 EF PD BC AP=， 所以 tan PD EF PAD AP BC∠==. …………（20分） 12．如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线k y x=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a ，b ，k 的值；（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.解：（1）因为点A （1，4）在双曲线k y x=上， 所以k=4. 故双曲线的函数表达式为xy 4=. 设点B （t ，4t ），0t <，AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则有 44m n mt n t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，， 解得4m t =-，4(1)t n t +=. 于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,t t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，故 ()141132AOB t S t t∆+=⨯-=（），整理得22320t t +-=， 解得2t =-，或t ＝21（舍去）．所以点B 的坐标为（2-，2-）． 因为点A ，B 都在抛物线2y ax bx =+（a >0）上， 所以 4422a b a b +=⎧⎨-=-⎩，， 解得13.a b =⎧⎨=⎩， …（10分） （第11题）（第12题）（2）如图，因为AC ∥x 轴，所以C （4-，4），于是CO ＝42. 又BO =22，所以2=BO CO . 设抛物线2y ax bx =+（a >0）与x 轴负半轴相交于点D ，则点D 的坐标为（3-，0）.因为∠COD ＝∠BOD ＝45︒，所以∠COB =90︒.（i ）将△BOA 绕点O 顺时针旋转90︒，得到△1B OA '.这时，点B '(2-1A 的坐标为（4，1-）.延长1OA 到点1E ，使得1OE =12OA ，这时点1E （8，2-）是符合条件的点.（ii ）作△BOA 关于x 轴的对称图形△2B OA '，得到点2A （1，4-）；延长2OA 到点2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２（2，8-）是符合条件的点．所以，点E 的坐标是（8，2-），或（2，8-）. …………（20分）13．求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .解：由题设得(21)(4)(2)p p m m +=-+，所以(4)(2)p m m -+，由于p 是素数，故(4)p m -，或(2)p m +. ……（5分）（1）若(4)p m -，令4m kp -=，k 是正整数，于是2m kp +>， 2223(21)(4)(2)p p p m m k p >+=-+>，故23k <，从而1k =.所以4221m p m p -=⎧⎨+=+⎩，，解得59.p m =⎧⎨=⎩， …………（10分） （2）若(2)p m +，令2m kp +=，k 是正整数.当5p >时，有46(1)m kp kp p p k -=->-=-，223(21)(4)(2)(1)p p p m m k k p >+=-+>-，故(1)3k k -<，从而1k =，或2.由于(21)(4)(2)p p m m +=-+是奇数，所以2k ≠，从而1k =.于是4212m p m p -=+⎧⎨+=⎩，， 这不可能.当5p =时，2263m m -=，9m =；当3p =，2229m m -=，无正整数解；当2p =时，2218m m -=，无正整数解.综上所述，所求素数p =5，正整数m =9. …………（20分）14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解：首先，如下61个数：11，1133+，11233+⨯，…，116033+⨯（即1991）满足题设条件.（5分）另一方面，设12n a a a <<<是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n 个数中的任意4个数i j k m a a a a ，，，，因为33()i k m a a a ++， 33()j k m a a a ++，所以 33()j i a a -.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分）设133i i a a d =+，i =1，2，3，…，n . 由12333()a a a ++，得12333(33333)a d d ++， 所以1333a ，111a ，即1a ≥11. …………（15分）133n n a a d -=≤2010116133-<， 故n d ≤60. 所以，n ≤61. 综上所述，n 的最大值为61. …………（20分）。
2019年上海新知杯初中数学竞赛试题解析 共27页
一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）
考点：三角形边角关系；根与系数的关系． 分析：将原方程整理为一元二次方程的一般形式，设方程两根为x1，x2，再根据两根 平方和为10，列出等式并变形，将两根关系整体代入即可．
④， 把④代入③，得
⑤ 把⑤代入③，得
⑥
把⑤、⑥代入①，得
+
=b
∴
，
∴（a3+c2）（y12+ay22）=b（y12+ay22）2
∴y12+ay22=
．
故答案为： 本题是一道代数式的转化问题，考查了对称式和轮换对称式在代数式求值过程中的运用．
一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）
解：如图，连接 PQ， ∵P 为 BC 中点， ∴S△ ABP=S△ APC= ×S△ ABC= ×1= ， ∴同理由题可知△ BQC 面积为 ，△ ABQ 面积 ， ∴S△ BPQ= S△ BQC= ， ∵△ABQ 与△ BPQ 为共底三角形， ∵面积比等于高的比=4：1， 又∵△ABR 和△ BRP 分别与△ ABQ 和△ BPQ 同高，且共用底边 BR， ∴△ABR 和△ BRP 的面积比为 4：1 ∵S△ ABR+S△ BRP=S△ ABP， ∴S△ ABR= × = ， 故答案为： ．
解：原方程整理为（c﹣a）x2﹣ bx+（c+a）=0， 设 x1，x2 是方程的两个根，则 x12+x22=10，即（x1+x2）2﹣2x1x2=10， 把方程根公式代入，得
详解及答案-2019年上海七宝中学中考数学模拟试卷解析
÷
x2 x2
− 2x − 3 + 2x +1
+
1
，
x −1
x
=
2 +1．
【答案】 2
【解析】
x −3 ÷ x2 − 2x −3 + 1 x2 −1 x2 + 2x +1 x −1 = x − 3 ⋅ x2 + 2x +1 + 1
x2 −1 x2 − 2x −3 x −1 = 1 ⋅ x +1+ 1
x −1 x +1 x −1 =2
4 （3）设 P 是抛物线对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能， 求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由．
7
【答案】（1）
y
=
ax
+
a
（2）
a
=
−
2 5
（3）
P11,−
26 7
7
，
P2
(1,
−
4)
【解析】
（1）令 y = 0 ，则 ax2 − 2ax − 3a = 0 ，解得 x1 = −1, x2 = 3
）
2
x
【A】2 个
【B】3 个
【C】4 个
【D】5 个
【答案】C
【解析】采用单项式的定义，能够快速的确定出单项式的个数
3. 下列方程中，有实数根的方程是（ ）
【A】 x4 + 3 =0
【B】 x + 1 =−x 【C】 x = 1
x2 −1 x2 −1 【D】 x − 2 =−1
【答案】B 【解析】计算出结果，并对最后的结果进行验根 4．如图是某班全体学生外出时乘车、步行、骑车的人数分布直方图和扇形分布图（两图都不完整），则下列结论 中错误的是（ ） 【A】该班总人数为 50 人 【B】骑车人数占总人数的 20% 【C】步行人数为 30 人 【D】乘车人数是骑车人数的 2.5 倍
上海杨浦初级中学数学平面图形的认识(一)单元培优测试卷
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．已知如图，∠COD=90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE与射线AF交于点G.（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA=________；（2）若∠GOA= ∠BOA，∠GAD= ∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA=________；（3）将（2）中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA= ”，其它条件不变，求∠OGA的度数.（用含的代数式表示）（4）若OE将∠BOA分成1︰2两部分，AF平分∠BAD，∠ABO= （30°< α <90°），求∠OGA的度数.（用含的代数式表示）【答案】（1）21°（2）14°（3）解：∵∠BOA=90°，∠OBA=α，∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=90°+α，∵∠BOA=90°，∠GOA= ∠BOA,∠GAD= ∠BAD∴∠GAD=30°+ α，∠EOA=30°，∴∠OGA=∠GAD−∠EOA= α.（4）解：当∠EOD:∠COE=1:2时，∴∠EOD=30°，∵∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°，∵AF平分∠BAD，∴∠FAD= ∠BAD，∵∠FAD=∠EOD+∠OGA，∴2×30°+2∠OGA=α+90°，∴∠OGA= α+15°；当∠EOD:∠COE=2:1时,则∠EOD=60°，同理得到∠OGA= α−15°，即∠OGA的度数为α+15°或α−15°.【解析】解：(1)∵∠BOA=90°,∠OBA=42°，∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°，∵AF平分∠BAD,OE平分∠BOA,∠BOA=90°，∴∠GAD= ∠BAD=66°，∠EOA= ∠BOA=45°，∴∠OGA=∠GAD−∠EOA=66°−45°=21°；故答案为21°；⑵∵∠BOA=90°,∠OBA=42°，∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°，∵∠BOA=90°,∠GOA= ∠BOA,∠GAD= ∠BAD,∴∠GAD=44°，∠EOA=30°，∴∠OGA=∠GAD−∠EOA=44°−30°=14°；故答案为14°；【分析】（1）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质求出即可；（2）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质求出即可；（3）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质求出即可；（4）讨论：当∠EOD：∠COE=1：2时，利用∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°，∠FAD=∠EOD+∠OGA得到2×30°+2∠OGA=α+90°，则∠OGA= α+15°；当∠EOD：∠COE=2：1时，则∠EOD=60°，同理得∠OGA= α-15°.2．已知BM、CN分别是△的两个外角的角平分线，、分别是和的角平分线，如图①；、分别是和的三等分线（即，），如图②；依此画图，、分别是和的n等分线（即，），，且为整数．图①图②（1）若，求的度数；（2）设，请用和n的代数式表示的大小，并写出表示的过程；（3）当时，请直接写出 + 与的数量关系．【答案】（1）解：，∵、分别是和的角平分线，∴∴（2）解：在△中， + ，，（3）解：【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，根据角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出即可；（2）先根据三角形内角和定理求出 + ，根据n等分线求出，再根据三角形内角和定理得出，代入求出即可.（3）本题以三角形为载体，主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质、角平分线的性质、三角形的内角和是的性质，熟记性质然灵活运用有关性质来分析、推理、解答是解题的关键.3．探究题学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题。
2019年上海市初中数学竞赛模拟卷一(含答案)
上海市初中数学竞赛模拟卷一一.填空题（第1-5题每题8分，第6-10题每题10分）1.已知函数)0(1222<+++=b x c bx x y 的值域为]3,1[，则=+c b 0, 将)0(1222<+++=b x c bx x y 代入31≤≤y 得不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥-+-≥-++030122c bx x c bx x ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤--=∆≤--=∆0)3(40)1(42121c b c b 又函数的值域为]3,1[，函数值能取到1和3，即 112,3122222=+++=+++x c bx x x c bx x 有解，故⎪⎩⎪⎨⎧≥--=∆≥--=∆0)3(40)1(42121c b c b 得c ＝2，b ＝2 2.已知,R a ∈并且a x x a +>-222)0(>a ，则a 的取值范围是⎩⎨⎧<+≥-002)1(22a x x a ⎪⎩⎪⎨⎧+>-≥+≥-22222)(2002)2(a x x a a x x a ]22,22[,0,0),0,32(,0a a a a a a -<Φ=->解集为，解集为解集为 3.设在x O y 平面上，20x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为31，则集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M 所表示的图形面积为 N M 在xOy 平面上的图形关于x 轴与y 轴均对称，由此N M 的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。
为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。
由题意可得，N M 的图形在第一象限的面积为A ＝613121=-。
因此N M 的图形面积为32 4.3322)(22+-+-=x x x x x f 的最小值为定义域为),2[]0,(+∞-∞ ,332,222+--x x x x 在]0,(-∞上是减函数，在),2[,+∞上是增函数，故3)}2(),0(min{)(==f f x f nin5. 设p 是给定的奇质数，正整数k也是一个正整数，则k=____________*22,,0,n n N k pk n k =∈--==则224p n +是平方数，设为2*2,,(2)(2)m m N m n m n p ∈-+=则 22212123,,214p m m n p p m n p p n ⎧+=⎪-=⎧⎪≥∴⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩是质数，且解得 222(1)(1),244p m p p p k k ±±++∴===故。
一道上海市初三数学竞赛题的几何解法举例
…
＝
． ‘
…
＝
…
Ｅ
Ｂ ＡＥ
，
３
（ 、
ＣＥ ／ ／ Ｃ １ Ａ ） ＝丁 ｘ ／ ￣百 ａ＋ｂ
所有 Ｐ＝ （ 叶 ６ ） ．
解法６ ：利 用 相 似 三 角 形． 如 图 ４ ， 易 知 ＡＣ ＰＡｏ ． ＡＣ ＢＥ，下 仿 解 法 ５ ，即 得 Ｐ ＝
ａ＋ ｂ
ｓ ｉ ｎ （ Ａ＋３ ０ 。 ） ’
所 以Ｃ 『 Ｐ ＝
Ｃ Ａ ＝
＝ － ５ 兰 觚 Ｐ＝
（ 【 。 ０ ＋６ ＋Ｄ ） ．
ＡＩ Ａ
＝
ｓ ｉ ｎ （ Ａ＋３ ０ 。 １＝ ３ ｓ ｉ ｎ （ Ａ＋３ ０ 。 ）
是 △ １ Ｐ Ａ￣ＡＣＢ Ａ，故 得 Ａ ｌ Ｐ
题及其分析 ． 数学通报， ２ ０ １ ６ （ ６ ） ： ９ － １ １ ．
３ １ 杨一丽 ． 学业考试 中新定义试题 的命制
分析 与反思 ． 数学教学 ， ２ ０ １ ７ （ ６ ） ： ２ ５ － ２ ７ ， ２ ８ ．
２ ０ １ ７ 年第 １ ２ 期
数 学教学
１ ２ 一
则△ １ Ｐ △ｊ Ｅ ｝ Ｐ， 故 Ａ Ａ １ ＝ ＢＣ， 所
ＣＰ＝
＝ （ 。＋６ ） ．
（ ０ ＋６ ） ．
解法７ ： 利 用 相 似 三 角 形． 如 图４ ，易
知 ＡＣＰＢｏ ｏ ＡＣＡＥ，下 仿 解 法 ５ ，即 得 ＣＰ ＝
解法 ３ ： 利 用 相 似 三 角 形． 如 图３ ，作 Ａ ＣＡ Ａ １ ＝３ ０ 。 ， 交 Ｐ于点 １ ， 则
１ ２ — — ４ ２
数 学 教 学
上海市2019年中考数学真题与模拟题分类 专题11 图形的性质之填空题(65道题)(原卷版)
专题11 图形的性质之填空题一．填空题（共65小题）1．（2019•上海）如图，已知直线11∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝度．2．（2019•上海）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是．3．（2019•上海）如图，在正边形ABCDEF中，设，，那么向量用向量、表示为．4．（2018•上海）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是度．5．（2017•上海）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6＝．6．（2019•浦东新区二模）已知一个角的度数为50度，那么这个角的补角等于．7．（2019•青浦区一模）对于封闭的平面图形，如果图形上或图形内的点S到图形上的任意一点P之间的线段都在图形内或图形上，那么这样的点S称为“亮点”．如图，对于封闭图形ABCDE，S1是“亮点”，S2不是“亮点”，如果AB∥DE，AE∥DC，AB＝2，AE＝1，∠B＝∠C＝60°，那么该图形中所有“亮点”组成的图形的面积为．8．（2019•宝山区一模）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E在CB延长线上，∠ABD＝∠CEA，若3AE ＝2BD，BE＝1，那么DC＝．9．（2019•青浦区二模）如图，△ABC的中线AD、BE相交于点G，若，，用、表示．10．（2019•嘉定区二模）各顶点都在方格纸横竖格子线的交错点上的多边形称为格点多边形，奥地利数学家皮克（G．Pick，1859～1942年）证明了格点多边形的面积公式：S＝a b﹣1，其中a表示多边表内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图格点多边形的面积是．11．（2019•长宁区二模）我们规定：一个多边形上任意两点间距离的最大值称为该多边形的“直径”．现有两个全等的三角形，边长分别为4、4、．将这两个三角形相等的边重合拼成对角线互相垂直的凸四边形，那么这个凸四边形的“直径”为．12．（2019•黄浦区二模）如图，点O是△ABC的重心，过点O作DE∥AB，分别交AC、BC于点D、E，如果，那么（结果用表示）．13．（2019•金山区二模）在△ABC中，AB＝AC，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边三角形，这个条件可以是（只要写出一个即可）．14．（2019•奉贤区二模）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，直角三角形中较小的锐角为α，那么tanα的值是．15．（2019•杨浦区二模）如图，△ABC中，过重心G的直线平行于BC，且交边AB于点D，交边AC于点E，如果设，，用，表示，那么．16．（2019•闵行区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D、E分别在边AB上，且AD＝2，∠DCE＝45°，那么DE＝．17．（2019•松江区一模）如图，在直角坐标平面xOy中，点A坐标为（3，2），∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，AB与x轴交于点C，那么AC：BC的值为．18．（2019•宝山区一模）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sin B＝．19．（2019•杨浦区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG ，则BC长为．20．（2019•虹口区一模）如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC 于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为．21．（2019•长宁区一模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点F，若BE＝6，FD＝3，则△ABC的面积等于．22．（2019•静安区一模）在中△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，G是重心，那么G到斜边AB中点的距离是．23．（2019•青浦区一模）在△ABC中，AB＝AC，高AH与中线BD相交于点E，如果BC＝2，BD＝3，那么AE＝．24．（2019•虹口区一模）定义：如果△ABC内有一点P，满足∠P AC＝∠PCB＝∠PBA，那么称点P为△ABC 的布罗卡尔点，如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为△ABC的布罗卡尔点，如果P A＝2，那么PC＝．25．（2019•崇明区一模）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，G为△ABC的重心，那么CG＝．26．（2019•宝山区一模）直角三角形的重心到直角顶点的距离为4cm，那么该直角三角形的斜边长为．27．（2019•杨浦区一模）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，如果点G为重心，那么∠GCB的余切值为．28．（2019•杨浦区模拟）如图，已知等边三角形ABC边长为1，△ABC的三条中位线组成△A1B1C1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，依此进行下去得到△A5B5C5的周长为．29．（2019•静安区二模）已知△ABC中，G是△ABC的重心，则．30．（2019•杨浦区一模）等边三角形的中位线与高之比为．31．（2019•东台市一模）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为．32．（2019•浦东新区二模）在四边形ABCD中，向量、满足，那么线段AB与CD的位置关系是．33．（2019•浦东新区二模）已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于厘米．34．（2019•静安区二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是AB的三等分点，点G是AD的中点，联结EC、FG交于点M．已知，，那么向量．（用向量，表示）．35．（2019•虹口区二模）如图，AD∥BC，BC＝2AD，AC与BD相交于点O，如果，，那么用、表示向量是．36．（2019•虹口区二模）我们知道，四边形不具有稳定性，容易变形．一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．如图，矩形ABCD的面积为5，如果变形后的平行四边形A1B1C1D1的面积为3，那么这个平行四边形的变形度为．37．（2019•嘉定区二模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点O的线段EF与AD、BC分别交于点E、F，如果AB＝4，BC＝5，OE，那么四边形EFCD的周长为．38．（2019•松江区二模）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点．设，，用、表示为．39．（2019•长宁区二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD的中点，联结AE、BD交于点F，若，，用、表示．40．（2019•宝山区二模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O，过点O的线段EF与AD，BC 分别交于E，F，若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFCD的周长为．41．（2019•崇明区二模）如图，在正六边形ABCDEF的上方作正方形AFGH，联结GC，那么∠GCD的正切值为．42．（2019•闵行区二模）如图，在△ABC中，点D在边AC上，且CD＝2AD．设，，那么．（结果用向量、的式子表示）43．（2019•崇明区二模）如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，BD＝2AD，，，那么用、表示为：．44．（2019•奉贤区二模）已知△ABC，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE．如果设，，那么．（用向量、的式子表示）45．（2019•普陀区二模）如图，AD、BE是△ABC的中线，交于点O，设，，那么向量用向量、表示是．46．（2019•金山区二模）如图，在▱ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，，，，那么（用、表示）．47．（2019•崇明区一模）如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形ABCD中，点M在CD边上，连结AM、BM，∠AMB＝90°，则点M为直角点．若点E、F分别为矩形ABCD边AB、CD上的直角点，且AB＝5，BC，则线段EF的长为．48．（2019•徐汇区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H，若，，则用、表示．49．（2019•普陀区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，tan∠ABD，BC＝5，那么DC的长等于．50．（2019•宝山区一模）若2||＝3，那么3||＝．51．（2019•嘉定区一模）如果向量、、满足关系式2（3）＝4，那么（用向量、表示）．52．（2019•闵行区一模）化简：（）＝．53．（2019•青浦区一模）计算：3（2）﹣2（3）＝．54．（2019•浦东新区一模）已知向量与单位向量的方向相反，||＝4，那么向量用单位向量表示为．55．（2019•虹口区一模）计算：2（3）＝56．（2019•崇明区一模）化简：．57．（2019•黄浦区一模）如果向量与单位向量方向相反，且长度为2，那么向量（用单位向量表示）．58．（2019•黄浦区一模）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC边上的点，BE：EC＝1：2，AE与BD交于点O，如果，，那么（用向量、表示）．59．（2019•金山区一模）如图，已知O为△ABC内一点，点D、E分别在边AB、AC上，且，DE ∥BC，设、，那么（用、表示）．60．（2019•徐汇区一模）计算：（2）﹣4．61．（2019•普陀区一模）化简：3（）﹣2（）＝．。
上海初三数学竞赛 几何变换(含答案)
2019-2020上海初三数学竞赛 几何变换（含答案）1. 如图所示，2AA BB CC '''===且共点于O ，60AOB BOC COA '''∠=∠=∠=︒，求证：AOB BOC COA S S S '''++<△△△Q解析 将A OC '△沿A A '方向平移A A '长的距离，得AQR △，将BOC '△沿BB '方向平移BB '长的距离，得B PR ''△．由于 2OP OQ ==，60POQ ∠=︒， 所以2PQ =．又因'2QR R P OC OC CC ''+=+==，故R 与R '重合，且P 、R 、Q 三点共线．在正三角形POQ 中， AOB BOC COA S S S '''++△△△ AOB B PR AQR S S S ''=++△△△22OPQ S <△ 2. 如图，由平行四边形的顶点B 引它的高BK 和BH ，已知KH a =，BD b =，求点B 到BKH △的垂心的距离． B PCHD KAaH 1解析 令1H 表示BKH △的垂心．考虑到1KH BH ⊥，DH BH ⊥，有1KH DH ∥．同理有1HH DK ∥，因而四边形1KDHH ，为平行四边形，平移1BKH △到PDH △位置，显然P 为BC 上一点，所求线段1BH 即PH ，已与KH 位于同一直角三角形中．由于四边形KDPB 为矩形，有PK BD =，于是1BH PH ===3. 已知ABC △的面积为S ，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 上的点，且1BD CE AF DC EA FB n===，试求以AD 、BE 、CF 为边的三角形的面积S '． GCEDBF A解析 如图，过点A 作AG 平行且等于FC ．连CG 、GD 、GE ，则四边形AFCG 为平行四边形，GCA CAB ∠=∠．又11CG AF AE AE AB AB AB CA n ====+， 所以CGE △≌ABC △，CEG ACB ∠=∠，因此GE CB ∥.又因1=1GE BD BC n BC =+， 所以GE BD =．于是四边形GEBD 也为平行四边形，从而GD BE =，即ADG △为AD 、BE 、CF 所构成的三角形，它的面积为S '． 在梯形GABC 中， 1111GABC S GC AB GC S AB AB n +==+=++梯形， 所以111GABC S S n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭梯形，而11ABD S BD S BC n ==+△， 所以111ABC CG CD nS BA BC n n ⋅==⋅⋅++△， 因此()2111111n S S n n n ⎡⎤⎛⎫'=+--⎢⎥ ⎪++⎝⎭+⎢⎥⎣⎦ ()2211n n S n ++=+．4. 对于边长为1的正ABC △内任一点PPA PB PC ++．ACBPC'P'解析 把ABC △绕点B 旋转60︒到CBC '△．则PBP '△为正三角形，且 PC P C ''=，PB PP '=，因而PA PB PC PA PP P C AC ''''++=++≥．5. 设P 是等边三角形ABC 内一点，3PC =，4PA =，5PB =．试求此等边三角形的边长．BACP'P 543解析 如图，把CBP △绕点C 逆时针旋转60︒，到达CAP '△的位置，显然， 60PCP '∠=︒，3P C PP ''==，5AP '=．在APP '△中，222222345AP P P AP ''+=+==，所以90APP '∠=︒．故 9060150APC APP P PC ''∠=∠+∠=︒+︒=︒. 在APC △中，由余弦定理，得 2222cos150AC AP PC AP PC =+-⋅⋅︒2234243=+⨯⨯+25=+所以，等边三角形ABC6. 设O 是正三角形ABC 内一点，已知115AOB ∠=︒，125BOC ∠=︒，求以线段OA 、OB 、OC 为边构成的三角形的各角．解析 以B 为旋转中心，将AOB △按逆时针方向旋转60︒，旋转至CDB △，如图所示． 连结OD ．由于OB OD =，60OBD ∠=︒，所以OBD △是正三角形，故OD OB =． 又CD OA =，故OCD △是以OA 、OB 、OC 为边构成的一个三角形． 因此COD BOC BOD ∠=∠-∠ 1256065=︒-︒=︒，ODC BDC BDO ∠=∠-∠ AOB BDO =∠-∠1156055=︒-︒=︒，从而180655560OCD ∠=︒-︒-︒=︒．所以，以线段OA 、OB 、OC 为边构成的三角形的各角分别为65︒、55︒和60︒． 7. 如图，两个正方形ABCD 与AKLM （顶点按顺时针方向排列），求证：这两个正方形的中心以及线段BM 、DK 的中点是某正方形的顶点．CDQ K LRM SAPB解析 设P 、R 分别是正方形ABCD 、AKLM 的中心，Q 、S 分别是线段DK 、BM 的中点，先证PSR △是以PR 为斜边的等腰直角三角形．连结BK 、DM ，将ADM △绕A 逆时针旋转90︒，则D 、M 分别到B 、K 位置，所以BK DM =，BK DM ⊥．因为P 、S 分别是BD 、BM 的中点，所以12PS DM ∥．同理12SR BK ∥．所以PS SR ⊥，且PS SR =．即PSR △是以PR 为斜边的等腰直角三角形．同理可证PQR △也是以PR 为斜边的等腰直角三角形．故P 、Q 、R 、S 是正方形的四个顶点．8. 正方形ABCD 内有一点P ，1PA =，3PB =．PD =ABCD 的面积．ADB CPP'解析 将PAB △绕A 点旋转90︒，得P AD '△．连结PP '．易知90PAP '∠=︒，1PA P A '==．于是PP '=在P PD '△中，222279P P PD P D ''+=+==．所以P PD '△是直角三角形，从而135APD ∠=︒． 由余弦定理得222AD PA PD PD =+⋅8=9. 在正方形ABCD 的边AB 和AD 上分别取点M 和K ，使得AM AK =，在线段DM 上取点P ，使得PCD PKA ∠=∠．证明：APM ∠是直角．AM BL K PDC解析 如图所示，在边BC 上取点L ，使BL AK =，连结KL 、AP 、PL ．由于PCD PKA ∠=∠，所以P 、C 、D 、K 四点共圆，作四边形PCDK 的外接圆和矩形 KDCL 的外接圆，因为这两个外接圆均过K 、D 、C 三点，从而这两圆是相同的，所以 90LPD LKD ∠=∠=︒． 易知Rt MAD △≌Rt LBA △.故以正方形ABCD 的中心为旋转中心，将Rt LBA △以逆对针方向旋转90︒，则LBA △旋转至MAD △，从而AL DM ⊥．又LP DM ⊥，故A 、P 、L 三点共线，所以90APM ∠=︒． 10. 已知凸六边形123456A A A A A A 中，1223A A A A =，3445A A A A =，5661A A A A =， 135246A A A A A A ∠+∠+∠=∠+∠+∠．求证：（1）24612345612A A A A A A A A A S S =△；（2）624212A A A A ∠=∠，246412A A A A ∠=∠，264612A A A A ∠=∠．A 1A 2A 3A 4A 5A 6A'4解析 （1）将234A A A △绕点2A 旋转，使23A A 与21A A 重合，得到214A A A '△，如图所示．连结46A A '． 因为135246()()A A A A A A ∠+∠+∠+∠+∠+∠720=︒，所以135A A A ∠+∠+∠ 246360A A A =∠+∠+∠=︒． 因此4161412360A A A A A A A ''∠=︒-∠-∠ 135360A A A =︒-∠-∠=∠.从而146A A A '△≌546A A A △， 246A A A △≌246A A A '△， 所以24624641234561122A A A A A A A A A A A A A S S S '==△．（2）由（1）可知624624126324A A A A A A A A A A A A '∠=∠=∠+∠2624A A A A =∠-∠，所以624212A A A A ∠=∠．同理可证：246412A A A A ∠=∠，264612A A A A ∠=∠．评注 本题通过旋转，把234A A A △、456A A A △、612A A A △拼成一个与246A A A △全等的新三角形246A A A '.也可以采取向246A A A △内部旋转的方法，把234A A A △、456A A A △、612A A A △放在26A A A 4△的内部，使之恰好“拼成”246A A A △．11. 如图所示，P 、Q 是边长为1的正方形ABCD 内两点，使得 45PAQ PCQ ∠=∠=︒，求PAB PCQ QAD S S S ++△△△的值．ADQ PBCADQPQ'BQ''C(a)(b)解析 将AQD △绕点A 顺时针旋转90︒至AQ B '△，CQD △绕点C 逆时针旋转90︒至CQ B ''△，连结PQ '、PQ ''，则APQ '△≌APQ △，CPQ ''△≌CPQ △．又90ABQ CBQ ADQ CDQ '''∠+∠=∠+∠=︒，所以Q '、B 、Q ''三点共线，且 BQ DQ BQ '''==， 故PBQ PBQ S S '''=△△， 所以PAB PCQ QAD S S S ++△△△ PAQ PBC QCD S S S =++△△△1122ABCD S ==正方形． 12. 在ABC △中，120A ∠︒≥，点P 不与A 重合．求证PA PB PC AB AC ++>+. 解析 如图，将PAB △绕点A 旋转至P AB ''△的位置，使CA 与AB '共线．于是 AB AC AB AC PC PB ''+=+<+．B'ACPBP'又因为120P AB PAC BAP PAC BAC ''∠+∠=∠+∠=∠︒≥，所以 18060PAP BAC '∠=︒-∠︒≤． 故在等腰PAP '△中， PA P A PP ''=≥．因此PB PP P B PA P B PA PB ''''''++=+≤≤， 从而PA PB PC AB AC ++>+.评注 此题似乎依赖于图形，P 在BAC ∠内，事实上P 在其他位置照样成立，方法完全一样． 13. 凸四边形ABCD 中，点M 、N 分别是BC 、CD 的中点，且AM AN a +=（a 是常数），求证：22ABCDa S <四边形．ED NC FMBA解析 如图所示，将ABM △绕点M 旋转180︒得FCM △，将ADN △绕点N 旋转180︒得ECN △，连EF ，于是360ECF ECN BCD FCM ∠=︒-∠-∠-∠ 360ADC BCD ABC =︒-∠-∠-∠180DAB =∠<︒，所以EF 与凸四边形ABCD 的边不相交．故FCM ECN AEF ABCD AMCN S S S S S =++<△△△四边形四边形122AE AF AM AN ⋅=⋅≤ 22222AM AN a +⎛⎫⋅=⎪⎝⎭≤． 14. 如图，设D 为锐角ABC △内一点，且AC BD AD BC ⋅=⋅，90ADB ACB ∠=∠+︒，求AB CDAC BD⋅⋅的值．A DBC解析 将线段BD 绕点B 顺时针旋转90︒到BE ，连结DE 、CE ． 因为ADB CAD CBD ACB ∠=∠+∠+∠，90ADB ACB ∠=∠+︒，所以 90CAD CBD ∠+∠=︒，又90CBD CBE ∠+∠=︒， 则CAD CBE ∠=∠． 由AC BD AD BC ⋅=⋅，得AC AD ADBC BD BE==，于是ACD BCE △∽△，所以ACD BCE ∠=∠， AC AD CDBC BE EC==．从而ACB ACD BCD ECB BCD ECD ∠=∠+∠=∠+∠=∠．所以，ABC DEC △△∽，则AB ACDE DC=，即AB CD AC DE ⋅=⋅．在Rt BDE △中，BD BE =，DE =，故AB CDAC BD⋅⋅。
上海市2019年中考数学真题与模拟题分类 专题10 图形的性质之选择题(55道题)(原卷版)
专题10 图形的性质之选择题一．选择题（共55小题）1．（2019•上海）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（）A．11B．10C．9D．82．（2019•上海）下列命题中，假命题是（）A．矩形的对角线相等B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等C．矩形的对角线互相平分D．矩形对角线交点到四条边的距离相等3．（2018•上海）如图，已知∠POQ＝30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9B．4＜OB＜9C．3＜OB＜7D．2＜OB＜74．（2018•上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC5．（2019•闵行区一模）如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．北偏东30°B．北偏西30°C．北偏东60°D．北偏西60°6．（2019•普陀区二模）如图，直线l1∥l2，如果∠1＝30°，∠2＝50°，那么∠3＝（）A．20°B．80°C．90°D．100°7．（2019•奉贤区二模）把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边平行（如图所示），那么∠1的度数是（）A．75°B．90°C．100°D．105°8．（2019•杨浦区三模）下列说法中正确的是（）A．三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等B．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等C．三角形三条中线的交点到三个顶点的距离相等D．三角形三条中线的交点到三边的距离相等9．（2019•奉贤区二模）如图，已知△ABC，点D、E分别在边AC、AB上，∠ABD＝∠ACE，下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．AE＝AD B．BD＝CE C．∠ECB＝∠DBC D．∠BEC＝∠CDB．10．（2019•虹口区一模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AD上，如果∠ABE＝∠C，AE＝2ED，那么△ABE与△ADC的周长比为（）A．1：2B．2：3C．1：4D．4：911．（2019•普陀区一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE经过重心G，，正确的个数是（）在下列四个说法中①；②；③；④四边形A．1个B．2个C．3个D．4个12．（2019•杨浦区三模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．∠BCD＝90°C．AB＝CD D．AB∥CD13．（2019•浦东新区二模）已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，AO＝CO，如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是（）A．BO＝DO B．AB＝BC C．AB＝CD D．AB∥CD14．（2019•嘉定区二模）已知，，而且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（）A．B．C．D．15．（2019•宝山区二模）已知，，而且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（）A．B．C．D．16．（2019•普陀区二模）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，顺次连接▱ABCD各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC⊥BD；②C△ABO＝C△CBO；③∠DAO＝∠CBO；④∠DAO＝∠BAO，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个17．（2019•徐汇区二模）下列说法，不正确的是（）A．B．如果||＝||，那么C．D．若非零向量（k≠0），则18．（2019•徐汇区二模）在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，添加下列条件不能推得四边形ABCD为菱形的是（）A．AB＝CD B．AD∥BC C．BC＝CD D．AB＝BC19．（2019•黄浦区二模）下列等式成立的是（）A．B．C．D．20．（2019•松江区一模）已知为单位向量，3，那么下列结论中错误的是（）A．∥B．||＝3C．与方向相同D．与方向相反21．（2019•闵行区一模）已知：点C在线段AB上，且AC＝2BC，那么下列等式正确的是（）A．B．2C．||＝||D．||＝||22．（2019•徐汇区一模）若2，向量和向量方向相反，且||＝2||，则下列结论中不正确的是（）A．||＝2B．||＝4C．4D．23．（2019•青浦区一模）下列判断错误的是（）A．0•B．如果，，其中，那么∥C．设为单位向量，那么D．如果，那么或24．（2019•宝山区一模）设m，n为实数，那么下列结论中错误的是（）A．m（n）＝（mn）B．（m+n）m nC．m（）＝m m D．若m，那么25．（2019•长宁区一模）如果||＝2，，那么下列说法正确的是（）A．||＝2||B．是与方向相同的单位向量C．2D．26．（2019•嘉定区一模）如图，在△ABC中，点D是在边BC上，且BD＝2CD，，，那么等于（）A．B．C．D．27．（2019•静安区一模）下列说法不正确的是（）A．设为单位向量，那么||＝1B．已知、、都是非零向量，如果2，4，那么∥C．四边形ABCD中，如果满足AB∥CD，||＝||，那么这个四边形一定是平行四边形D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解28．（2019•奉贤区一模）对于非零向量、，如果2||＝3||，且它们的方向相同，那么用向量表示向量正确的是（）A．B．C．D．29．（2019•崇明区一模）已知向量和都是单位向量，那么下列等式成立的是（）A．B．C．D．30．（2019•虹口区一模）如果向量与单位向量的方向相反，且长度为3，那么用向量表示向量为（）A．3B．3C．3D．331．（2019•黄浦区一模）已知、、都是非零向量．下列条件中，不能判定∥的是（）A．B．C．∥，∥D．，32．（2019•杨浦区模拟）已知是一个单位向量，、是非零向量，那么下列等式正确的是（）A．||B．||C．D．33．（2019•杨浦区一模）下列关于向量的运算中，正确的是（）A．B．C．D．34．（2019•普陀区一模）已知、、都是非零向量，如果2，2，那么下列说法中，错误的是（）A．∥B．||＝||C．0D．与方向相反35．（2019•青浦区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（）A．4＜OC B．4≤OC C．4＜OC D．4≤OC36．（2019•静安区二模）如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么∠1的大小是（）A．8°B．15°C．18°D．28°37．（2019•虹口区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tan B＝2，以AB的中点D为圆心，r为半径作⊙D，如果点B在⊙D内，点C在⊙D外，那么r可以取（）A．2B．3C．4D．538．（2019•虹口区二模）正六边形的半径与边心距之比为（）A．：B．：C．：D．：39．（2019•松江区二模）在直角坐标平面内，已知点M（4，3），以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r的取值范围为（）A．0＜r＜5B．3＜r＜5C．4＜r＜5D．3＜r＜440．（2019•金山区二模）已知⊙O1与⊙O2内切于点A，⊙O1的半径等于5，O1O2＝3，那么O2A的长等于（）A．2B．3C．8D．2或841．（2019•闵行区二模）在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆一定（）A．与x轴和y轴都相交B．与x轴和y轴都相切C．与x轴相交、与y轴相切D．与x轴相切、与y轴相交42．（2019•张店区二模）半径分别为1和5的两个圆相交，它们的圆心距可以是（）A．3B．4C．5D．643．（2019•嘉定区一模）已知点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，过点B、C的圆记作为圆O2，过点C、A的圆记作为圆O3，则下列说法中正确的是（）A．圆O1可以经过点C B．点C可以在圆O1的内部C．点A可以在圆O2的内部D．点B可以在圆O3的内部44．（2019•崇明区一模）如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径r＞1，那么这两个圆的位置关系不可能是（）A．内含B．内切C．外离D．相交45．（2019•奉贤区一模）已知⊙A的半径AB长是5，点C在AB上，且AC＝3，如果⊙C与⊙A有公共点，那么⊙C的半径长r的取值范围是（）A．r≥2B．r≤8C．2＜r＜8D．2≤r≤846．（2019•金山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∠B＝60°，⊙A的半径为3，那么下列说法正确的是（）A．点B、点C都在⊙A内B．点C在⊙A内，点B在⊙A外C．点B在⊙A内，点C在⊙A外D．点B、点C都在⊙A外47．（2019•宝山区一模）若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P 的位置为（）A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定48．（2019•长宁区一模）在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（）A．5B．4C．3D．249．（2019•普陀区一模）已知⊙O1和⊙O2，其中⊙O1为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于（）A．1B．4C．5D．850．（2019•崇明区二模）在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a＝﹣1时，点B在圆A上B．当a＜1时，点B在圆A内C．当a＜﹣1时，点B在圆A外D．当﹣1＜a＜3时，点B在圆A内51．（2019•嘉定区二模）对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是（）A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补52．（2019•长宁区二模）下列命题中，真命题的是（）A．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等B．如果两个圆没有公共点，那么这两个圆外离C．如果一条直线上有一个点到圆心的距离等于半径，那么这条直线与圆相切D．如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦53．（2019•张店区二模）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是等腰梯形B．两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形D．平行于等腰三角形底边的直线截两腰所得的四边形是等腰梯形54．（2019•浦东新区一模）在△ABC与△DEF中，下列四个命题是真命题的个数共有（）①如果∠A＝∠D，，那么△ABC与△DEF相似；②如果∠A＝∠D，，那么△ABC与△DEF相似；③如果∠A＝∠D＝90°，，那么△ABC与△DEF相似；④如果∠A＝∠D＝90°，，那么△ABC与△DEF相似；A．1个B．2个C．3个D．4个55．（2019•宝山区一模）下列命题中，正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个矩形一定相似C．两个等边三角形一定相似D．两个菱形一定相似。
2019版沪教版(上海)八年级数学上学期第十九章 几何证明 基础测试卷A卷
2019版沪教版（上海）八年级上学期第十九章几何证明基础测试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图，是的中线，，将沿直线翻折，点落在点的位置上，如果，求的长为（）．A．10B．5C．D．2 . Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（）A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm3 . 如图，∠A=36°，∠C=72°，BD平分∠ABC，则∠ABD的度数是（）.A．108°B．54°C．36°D．72°4 . 在和中，下列四个命题：①若，，，则≌；②若，，，则≌；③若，，则△ABC∽△A1B1C1；④若，，则则△ABC∽△A1B1C1．其中真命题的个数为（）．A．4个B．3个C．2个D．1个5 . 如图，中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=6，BC=8，则CD的长为（）A．4.8B．10C．24D．486 . 下列命题是假命题的是（）A．三角形的角平分线都在三角形内部B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形的三条中线都在三角形内部D．三角形的三条角平分线相交于一点二、填空题7 . 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E为AD上一点，且∠ABE=30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与AD相交于点F，则DF的长为______．8 . 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，得到△MNC，连接BM，当BM⊥AC，则旋转角α的度数为______．9 . “直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是______命题填“真”或“假”．10 . 已知x，y，z均为正数，且|x﹣4|+(y﹣3)2+=0，若以x，y，z的长为边长画三角形，此三角形的形状为___________．11 . 如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为点E，交AB于点D，若CE=5，△ABC的周长为25，则△ADC的周长为_____．12 . 如图，点A在第一象限，作轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过AB的中点C，过点A 作轴，交该函数图象于点是AC的中点，连结OE，将沿直线OE对折到，使恰好经过点D，若，则k的值是______．13 . 如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为________ ．14 . 如图1，在长方形纸片ABCD中，E点在边AD上，F、G分别在边AB、CD上，分别以EF、EG为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点A′和点D′，若ED′平分∠FEG，且在内部，如图2，设∠A′ED'=n°，则∠FE D′的度数为___________(用含n的代数式表示)．15 . 若△ABC中，(b－a)(b＋a)=c2，则∠B=____________；16 . 如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为______．17 . 将命题关于某直线对称的两个三角形全等”，改写成“如果…，那么…”的形式：如果___________________________，那么________________________．18 . 将直线y＝x＋b沿y轴向下平移3个单位长度，点A(－1，2)关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为____．三、解答题19 . 阅读材料：如图1，中，点，在边上，点在上，，，，延长，交于点，，求证：．分析：等腰三角形是一种常见的轴对称图形，几何试题中我们常将一腰所在的三角形沿着等腰三角形的对称轴进行翻折，从而构造轴对称图形．①小明的想法是：将放到中，沿等腰的对称轴进行翻折，即作交于(如图2)②小白的想法是：将放到中，沿等腰的对称轴进行翻折，即作交的延长线于(如图3)经验拓展：等边中，是上一点，连接，为上一点，，过点作交的延长线于点，，若，，求的长(用含，的式子表示)．20 . 一测量员从点A出发，行走100米到点B，然后向右转90°，再走100米到点C，再左转90°，行走100米到点D，那么AB与CD平行吗？请画出示意图，并说明理由．21 . 如图1，点为正方形的边上一点，，且，连接，过点作垂直于的延长线于点．（1）求的度数；（2）如图2，连接交于，交于，试证明：．22 . 如图所示，每个小正方形的边长为1cm（1）求四边形ABCD的面积；（2）四边形ABCD中有直角吗？若有，请说明理由．23 . 如图，以为圆心，以为半径画弧交数轴于点；（1）说出数轴上点所表示的数；（2）比较点所表示的数与-2.5的大小.24 . 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上，（1）求n的值；（2）若AC＝4，求DF的长．25 . 在中，，在的外部作等边三角形，为的中点，连接并延长交于点，连接．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，的平分线交于点，交于点，连接．①补全图2；②若，求证：．参考答案一、单选题1、2、3、4、5、6、二、填空题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、三、解答题1、2、3、4、5、6、7、。
上海市各区2019届中考数学二模试卷精选汇编几何证明专题
几何证明专题宝山区、嘉定区23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图6，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上的一点（不与B 、C 重合），点N 在CD 边的延长线上，且满足︒=∠90MAN ，联结MN 、AC ，MN 与边AD 交于点E .（1）求证；AN AM =；（2）如果NAD CAD ∠=∠2，求证：AE AC AM ⋅=2.23.证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴AD AB =，︒=∠=∠=∠=∠90BCD ADC B BAD ……1分 ∴︒=∠+∠90MAD MAB ∵︒=∠90MAN∴︒=∠+∠90MAD NAD ∴NAD MAB ∠=∠………1分 ∵︒=∠+∠180ADC ADN ∴︒=∠90ADN ……1分 ∴ADN B ∠=∠……………………1分 ∴△ABM ≌△ADN ………………………1分 ∴AN AM = ……………………………1分（2）∵四边形ABCD 是正方形 ∴AC 平分BCD ∠和BAD ∠ ∴︒=∠=∠4521BCD BCA ，︒=∠=∠=∠4521BAD CAD BAC ……1分∵NAD CAD ∠=∠2 ∴︒=∠5.22NAD∵NAD MAB ∠=∠ ∴︒=∠5.22MAB ………1分 ∴︒=∠5.22MAC ∴︒=∠=∠5.22NAE MAC ∵AN AM =,︒=∠90MAN ∴︒=∠45ANE∴ANE ACM ∠=∠…………………1分 ∴△ACM ∽△ANE …………1分 ∴ANACAE AM =……1分图6图6∵AN AM =∴AE AC AM ⋅=2…………1分长宁区23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点G 、F ，且AGGF BEAD =．（1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵BC AD // ∴BG DG BE AD = （2分）∵AG GFBE AD =∴AGGF BG DG = （1分） ∴ CD AB // （2分） （2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分）∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGDBD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分）∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分） 崇明区23．（本题满分12分，第(1)、(2)小题满分各6分）如图，AM 是ABC △的中线，点D 是线段AM 上一点（不与点A 重合）．DE AB ∥交ACDEFGB第23题图EBC 于点K ，CE AM ∥，联结AE ．（1）求证：AB CMEK CK=； （2）求证：BD AE =．23．（本题满分12分，每小题6分） （1）证明：∵DE AB ∥∴ ABC EKC =∠∠ ……………………………………………………1分∵CE AM ∥∴ AMB ECK =∠∠ ……………………………………………………1分∴ABM EKC △∽△ ……………………………………………………1分 ∴AB BMEK CK=………………………………………………………1分 ∵ AM 是△ABC 的中线∴BM CM = ………………………………………………………1分∴AB CMEK CK=………………………………………………………1分 （2）证明：∵CE AM ∥ ∴DE CMEK CK =………………………………………………………2分 又∵AB CMEK CK=∴DE AB = ………………………………………………………2分 又∵DE AB ∥∴四边形ABDE 是平行四边形 …………………………………………1分 ∴BD AE = ………………………………………………………1分奉贤区23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图7，梯形ABCD ，DC ∥AB ，对角线AC 平分∠BCD ， 点E 在边CB 的延长线上，EA ⊥AC ，垂足为点A ．ACD B（1）求证：B是EC的中点；2，（2）分别延长CD、EA相交于点F，若EC=DCAC⋅求证：FC:=．ACAD:AF黄浦区23．（本题满分12分）如图，点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点.（1）求证：BE=BF；（2）当△BEF为等边三角形时，求证：∠D=2∠A.23. 证：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=AD=CD，∠A=∠C，——————————————————（2分）又E、F是边的中点，∴AE=CF，——————————————————————————（1分）∴△ABE≌△CBF———————————————————————（2分）∴BE=BF. ——————————————————————————（1分）（2）联结AC、BD，AC交BE、BD于点G、O. ——————————（1分）∵△BEF是等边三角形,∴EB=EF，又∵E、F是两边中点，∴AO =12AC =EF =BE .——————————————————————（1分） 又△ABD 中，BE 、AO 均为中线，则G 为△ABD 的重心， ∴1133OG AO BE GE ===, ∴AG =BG ，——————————————————————————（1分） 又∠AGE =∠BGO ，∴△AGE ≌△BGO ，———— ——————————————————（1分）∴AE =BO ，则AD =BD ，∴△ABD 是等边三角形，—— —————————————————（1分） 所以∠BAD =60°，则∠ADC =120°，即∠ADC =2∠BAD . ——— ——————————————————（1分）金山区23．（本题满分12分，每小题6分）如图7，已知AD 是△ABC 的中线， M 是AD 的中点， 过A 点作AE ∥BC ，CM 的延 长线与AE 相交于点E ，与AB 相交于点F ． （1）求证：四边形AEBD 是平行四边形； （2）如果AC =3AF ，求证四边形AEBD 是矩形．23．证明：（1）∵AE //BC ，∴∠AEM =∠DCM ，∠EAM =∠CDM ，……………………（1分）又∵AM=DM ，∴△AME ≌△DMC ，∴AE ＝CD ，…………………………（1分） ∵BD=CD ，∴AE =BD ．……………………………………………………（1分） ∵AE ∥BD ，∴四边形AEBD 是平行四边形．……………………………（2分）E AFM BD图7C（2）∵AE //BC ，∴A F A EF B B C=．…………………………………………………（1分） ∵AE=BD=CD ，∴12AF AE FB BC ==，∴AB=3AF ．……………………………（1分）∵AC=3AF ，∴AB=AC ，…………………………………………………………（1分）又∵AD 是△ABC 的中线，∴AD ⊥BC ，即∠ADB =90°．……………………（1分） ∴四边形AEBD 是矩形．……………………………………………………（1分）静安区23.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分） 已知：如图，在平行四边形ABCD 中， AC 、DB 交于点E ， 点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ． （1）求证：DBABBF EF =； （2）如果DF AD BD ⋅=22，求证：平行四边形ABCD 是矩形．23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 证明：（1）∵平行四边形ABCD ，∴AD //BC ，AB //DC∴∠BAD +∠ADC =180°，……………………………………（1分） 又∵∠BEF +∠DEF =180°, ∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ……（1分） ∵∠DEF =∠ADC ∴∠BAD =∠BEF ， …………………………（1分） ∵AB //DC ， ∴∠EBF =∠ADB …………………………（1分） ∴△ADB ∽△EBF ∴DBABBF EF = ………………………（2分） (2) ∵△ADB ∽△EBF ,∴BFBEBD AD =, ………………………（1分） 在平行四边形ABCD 中，BE =ED =BD 21∴221BD BE BD BF AD =⋅=⋅ C第23题图ABDEFCAB第23题图DE F∴BF AD BD ⋅=22, ………………………………………（1分） 又∵DF AD BD ⋅=22∴DF BF =,△DBF 是等腰三角形 …………………………（1分） ∵DE BE =∴FE ⊥BD , 即∠DEF =90° …………………………（1分） ∴∠ADC =∠DEF =90° …………………………（1分） ∴平行四边形ABCD 是矩形 …………………………（1分） 闵行区23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，已知在△ABC 中，∠BAC =2∠C ，∠BAC 的平分线AE 与∠ABC 的平分线BD 相交于点F ，FG ∥AC ，联结DG ． （1）求证：BF BC AB BD ⋅=⋅； （2）求证：四边形ADGF 是菱形．23．证明：（1）∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAC =2∠BAF =2∠EAC ．∵∠BAC =2∠C ，∴∠BAF =∠C =∠EAC ．…………………………（1分） 又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ．……………………………（1分） ∵∠ABF =∠C ，∠ABD =∠DBC ，∴ABF CBD ∆∆∽．…………………………………………………（1分） ∴AB BFBC BD=．………………………………………………………（1分） ∴BF BC AB BD ⋅=⋅．………………………………………………（1分） （2）∵FG ∥AC ，∴∠C =∠FGB ，∴∠FGB =∠FAB ．………………（1分）∵∠BAF =∠BGF ，∠ABD =∠GBD ，BF =BF ，∴ABF GBF ∆∆≌．∴AF =FG ，BA =BG ．…………………………（1分） ∵BA =BG ，∠ABD =∠GBD ，BD =BD ，∴ABD GBD ∆∆≌．∴∠BAD =∠BGD ．……………………………（1分） ∵∠BAD =2∠C ，∴∠BGD =2∠C ，∴∠GDC =∠C ，∴∠GDC =∠EAC ，∴AF ∥DG ．……………………………………（1分） 又∵FG ∥AC ，∴四边形ADGF 是平行四边形．……………………（1分） ∴AF =FG ．……………………………………………………………（1分） ∴四边形ADGF 是菱形．……………………………………………（1分）ABEGCFD（第23题图）普陀区23．（本题满分12分）已知：如图9，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ∥AB ，DE 与对角线AC 交于点F ，FG ∥AD ，且FG EF =.（1）求证：四边形ABED 是菱形； （2）联结AE ，又知AC ⊥ED ，求证：212AE EF ED =.23．证明：（1）∵ AD ∥BC ，DE ∥AB ，∴四边形ABED 是平行四边形． ····· （2分）∵FG ∥AD ，∴FG CFAD CA=． ··················· （1分） 同理 EF CFAB CA= ． ························ （1分） 得FG AD ＝EFAB∵FG EF =，∴AD AB =． ···················· （1分） ∴四边形ABED 是菱形． ····················· （1分） （2）联结BD ，与AE 交于点H ．∵四边形ABED 是菱形，∴12EH AE =，BD ⊥AE ． ········ （2分） 得90DHE ∠= ．同理90AFE ∠=．∴DHE AFE ∠∠＝． ······················· （1分） 又∵AED ∠是公共角，∴△DHE ∽△AFE ． ············ （1分） ∴EH DEEF AE=． ························· （1分） ∴212AE EF ED =． ······················ （1分） 青浦区AB C DEFG图923.（本题满分12分，第（1）、（2）小题，每小题6分）如图7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点M ，点E 在边 BC 上，且 DAE DCB ∠=∠，联结AE ，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：2DM MF MB =⋅； （2）联结DE ，如果3BF FM =，求证：四边形ABED 是平行四边形.23．证明：（1）∵AD //BC ，∴∠=∠DAE AEB ， ·············· （1分）∵∠=∠DCB DAE ，∴∠=∠DCB AEB ， ········· （1分） ∴AE //DC ， ························ （1分） ∴=FM AMMD MC． ····················· （1分） ∵AD //BC ，∴=AM DMMC MB， ················ （1分） ∴=FM DMMD MB， ····················· （1分） 即2=⋅MD MF MB ．（2）设=FM a ，则=3BF a ，=4BM a ． ············· （1分）由2=⋅MD MF MB ，得24=⋅MD a a ，∴2=MD a ， ······················· （1分） ∴3==DF BF a ． ····················· （1分） ∵AD //BC ，∴1==AF DFEF BF， ················ （1分） ∴=AF EF ， ······················· （1分） ∴四边形ABED 是平行四边形. ················ （1分）松江区23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D =90°，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，F 是AB 的中点，联结AE 、EF ，且AE ⊥BE ．求证：（1）四边形BCEF 是菱形；（2）2BE AE AD BC ⋅=⋅.MFE DBA图7(第23题图)ACD EB23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分） 证明：(1) ∵BE 平分∠ABC ,∴∠ABE =∠CBE …………………………………………………1分 ∵AE ⊥BE ∴∠AEB =90° ∵F 是AB 的中点 ∴12EF BF AB ==………………………………………………1分 ∴∠FEB =∠FBE …………………………………………………1分 ∴∠FEB =∠CBE …………………………………………………1分 ∴EF ∥BC …………………………………………………1分 ∵AB ∥CD∴四边形BCEF 是平行四边形…………………………1分 ∵EF BF =∴四边形BCEF 是菱形……………………………………1分 (2) ∵四边形BCEF 是菱形, ∴BC =BF ∵12BF AB =∴AB =2BC ………………………………………………1分 ∵ AB ∥CD ∴ ∠DEA =∠EAB ∵ ∠D =∠AEB∴ △EDA ∽△AEB ………………………………………2分∴AD AEBE AB = …………………………………………1分 ∴ BE ·AE =AD ·AB∴ 2BE AE AD BC ⋅=⋅…………………………………1分 徐汇区23. 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB CD =，BD BC =，点E 在对角线BD 上，且(第23题图)FACD EB∠=∠.DCE DBC=；（1）求证：AD BE⊥，（2）延长CE交AB于点F，如果CF AB⋅=⋅.求证：4EF FC DE BD杨浦区23、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图7，在□ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF分别交边AB、CD于点E、F，过点G的直线MN分别交边AD、BC于点M、N，且∠AGE=∠CGN。
2019上海中考数学各区二模23几何证明专题.
2019各区二模几何证明23题普陀23．（本题满分12分）已知：如图10，在四边形ABCD 中，AD BC <，点E 在AD 的延长线上， ACE BCD ∠=∠，EC ED EA =⋅2． （1）求证：四边形ABCD 为梯形； （2）如果EC ABEA AC=，求证：AB ED BC =⋅2．崇明23．（本题满分12分，每小题满分各6分）如图7，在直角梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AD BC ∥，对角线AC 、BD 相交于点O ． 过点D 作DE BC ⊥，交AC 于点F ．（1）联结OE ，若BE AO EC OF =，求证：OE CD ∥； （2）若AD CD =且BD CD ⊥，求证：AF DFAC OB=．图10A BCD EABCDOE F图7A B CD OE HF 第23题图金山23.已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若DBC CAD ∠=∠.（1）求证：ABCD 是正方形.（2）E 是OB 上一点，CE DH ⊥，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：OF OE =.奉贤23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图8，正方形ABCD ，点E 在边AD 上，AF ⊥BE ，垂足为点F ，点G 在线段BF 上，BG=AF ．（1）求证：CG ⊥BE ；（2）如果点E 是AD 的中点，联结CF ，求证：CF=CB ．长宁23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图5，平行四边形ABCD 的对角线BD AC 、交于点O ，点E 在边CB 的延长线上，且︒=∠90EAC ，EC EB AE ⋅=2． （1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）延长AE DB 、交于点F ，若AC AF =，求证：BF AE =．23.（本题满分12分，每小题各6分）ABCD FG E 图8图5 AB C DEF O松江23.如图，已知□ABCD 中，AB=AC ，CO ⊥AD ，垂足为点O ，延长CO 、BA 交于点E ，联结DE ． （1）求证：四边形ACDE 是菱形；（2）联结OB ，交AC 于点F ，如果OF=OC ， 求证：22AB BF BO =⋅．宝山23．（本题满分12分，第(1)、第(2)小题满分各6分）如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，联结AP 并延长AP 交CD 于F 点， （1）求证：四边形AECF 为平行四边形； （2）如果PA=PC ，联结BP ，求证：△APB ≅△EPC ．（第23题图）O EDCBA闵行23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，已知四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD = 2AC ．过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E ，AE 与BD 相交于点F ．过点C 作CG ⊥AC ，与AE 的延长线相交于点G ． 求证：（1）△ACG ≌△DOA ；（2）2DF BD DE AG ⋅=⋅．青浦23.（本题满分12分，第（1）、（2）小题，每小题6分）已知：如图9，在菱形ABCD 中，AB =AC ，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE =BF ，CE 与AF 相交于点G ．（1）求证：∠FGC =∠B ；（2）延长CE 与DA 的延长线交于点H ，求证：．徐汇BE CH AF AC ⋅=⋅ABCDOE GF （第23题图）GF EDA BC图9。
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1.求证有一个30度角的菱形，边长是两条对角线的比例中项已知：菱形ABCD中，∠DAC＝30
求证：AB2＝AC×BD
2.求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值
3.已知：△ABC 中，
31===CA CF BC BE AB AD 求：ABC
DEF S △△S 的值
4.Rt△ABC被斜边上的高CD和直角平分线CE分成3个三角形，已知其中两个面积的值标在图中，求第三个三角形的面积x。
5.设一直线截△ABC 三边AB ，BC ，CA 或延长线于D ，E ，F 那么
1=⋅⋅FA
CF EC BE DB AD （梅涅劳斯Menelaus 定理）
6.已知MN 是△ABC 的中位线，P 在MN 上，BP ，CP 交对边于D ，E 求证1=+DC
AD BE AE
7.已知：△ABC中，∠ABC＝Rt∠，AC＝2AB，△ACM和△BCN都是等边三角形求证：MN被AC平分。