二次函数全章教案新部编本[新人教版九年级下]

精选讲课讲课方案设计 | Excellent teaching plan
教师学科讲课方案
[ 20–20学年度第__学期]
任讲课科： _____________
任教年级： _____________
任教老师： _____________
xx市实验学校
二次函数
讲课目标：
1、从实质状况中让学生经历研究解析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步
体验如何用数学的方法去描绘变量之间的数目关系。

2、理解二次函数的看法，掌握二次函数的形式。

3、会建立简单的二次函数的模型，并能依据实诘问题确立自变量的取值范围。

4、会用待定系数法求二次函数的解析式。

讲课要点：二次函数的看法和解析式
讲课难点：本节“合作学习”涉及的实诘问题有的较为复杂，要修业生有较强的概括能力。

讲课方案：
一、创办情境，导入新课
问题 1、现有一根12m 长的绳索，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小
明同学以为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？
问题 2、好多同学都喜爱打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？如何计
算篮球达到最高点时的高度？
这些问题都可以经过学习俄二次函数的数学模型来解决，今日我们学习“二次函数” （板书课题）
二、合作学习，研究新知
请用合适的函数解析式表示以下问题中状况中的两个变量y 与 x 之间的关系：
（1）面积 y (cm2)与圆的半径 x ( Cm )
(2)王先生计人银行 2 万元 ,先存一个一年按期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定
期,设一年按期的年存款利率为文x 两年后王先生共得本息y 元;
(3) 拟建中的一个温室的平面图如图,假如温室外面是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图 ,设一条边长为x (cm), 种植面积为y (m2)
1
1
1
x3
（一）教师组织合作学习活动：
1、先个体研究，试一试写
出y 与 x 之间的函数解析式。

2、上述三个问题先易后难，在个体研究的基础上，小组进行合作交流，共同商讨。

（1） y = πx2（ 2） y = 2000(1+x) 2 = 20000x 2+40000x+20000
(3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112
（二）上述三个函数解析式拥有哪些共同特色？
让学生充分宣布建议，提出各自看法。

教师概括总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax2+bx+c (a,b,c 是常数 , a≠ 0)的形式 .
板书：我们把形如y=ax2+bx+c( 此中 a,b,C是常数， a≠ 0)的函数叫做二次函数 (quadratic funcion)
称 a 为二次项系数， b 为一次项系数， c 为常数项，
请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项
（二）做一做
1、以下函数中，哪些是二次函数？
(1) y x2(2) y1(3) y2x 2x 1 （4） y x(1 x)
x 2
（5）y( x1) 2( x 1)( x1)
2、分别说出以下二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）y x21（ 2）y 3x27x 12（ 3）y 2x(1 x)
3、若函数y(m21) x m2m为二次函数，则m 的值为。

三、例题示范，认识规律
例 1、已知二次函数y x 2px q 当x=1时，函数值是4；当 x=2 时，函数值是 -5。

求这个二次函数的解析式。

此题难度较小，但却反响了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书示范，重申书写格式和思虑方法。

练习：已知二次函数y ax 2 bx c ，当x=2时，函数值是3；当 x=-2 时，函数值是2。

求这个二次函数的解析式。

例2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4 个全等的直角三角形（图中暗影部分）。

设 AE=BF=CG=DH=x(cm) , 四边形 EFGH 的面积为 y(cm2),求：
（1）y 关于 x 的函数解析式和自变量x 的取值范围。

（2）当 x 分别为，，， 1.75 时，对应的四边形EFGH 的面积，并列表表示。

D G C
H
F
A
E B
方法：
（1）学生独立解析思虑，试一试写出y 关于 x 的函数解析式，教师巡回指导，合时点拨。

（2）关于第一个问题可以用多种方法解答，比方：
求差法：四边形EFGH 的面积 =正方形 ABCD 的面积 -直角三角形AEH 的面积 DE4 倍。

直接法：先证明四边形EFGH 是正方形，再由勾股定理求出EH2
(3)关于自变量的取值范围，要修业生要依据实诘问题中自变量的实质意义来确立。

（4）关于第（ 2）小题，在求解并列表表示后，要点让学生看清x 与 y 之间数值的对应关
系和内在的规律性：跟着x 的取值的增大，y 的值先减后增；y 的值拥有对称性。

练习：
用 20 米的篱笆围一个矩形的花园（如图），设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求：
(1) 写出 y 关于 x 的函数关系式 .
2
4ac b
(2)当 x=3 时 ,矩形的面积为多少 ?4a
四、概括小结，反思提升
本节课你有什么收获？
五、部署作业
课本作业题
x
二次函数的图像（ 1）
讲课目标：
1、经历描点法画函数图像的过程；
2、学会观察、概括、概括函数图像的特色；
3、
掌握型二次函数图像的特色；
4、经历从特别到一般的认识过程，学会合情推理。

讲课要点：
y ax2型二次函数图像的描绘和图像特色的概括
讲课难点：
选择合适的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。

讲课方案：
一、回顾知识
前方我们在学习正比率函数、一次函数和反比率函数不时如何进一步研究这些函数的？先（用描点法画出函数的图像，再联合图像研究性质。

）
引入：我们模拟前方研究函数的方法来研究二次函数，先从最特其余形式即y ax2下手。

所以本 要 二次函数 y ax 2 （ a
0 ）的 像。

板 ：二次函数 y
ax 2 （ a
0 ） 像
二、研究 像
1、 用描点法画出二次函数 y
x 2 和 y
x 2
像
（1）
列表
x
⋯-2
1
1
-1
1 0 1 1
1
1
2
⋯
2
2
2
2
y x
2
⋯4
2
1
1
1
0 2
1
1
2
1
4 ⋯
4
4
4
4
y
x
2
⋯-4
- 2
1
-1
-
1
-
1
-1
- 2
1
-4
⋯
4 4
4
4
引 学生 察上表，思虑一下 ：
①无 x 取何 ， 于 y x 2 来 ，y 的 有什么特色？ 于 y
x 2 来 ，又有什么特色？
②当 x 取
1
, 1
等互 相反数 ， 的
y 的 有什么特色？
（2）
2
.
描点（ 描点， 点的地点特色，与上表中 察的 果 系起来）
（3）
，用圆滑曲 依据 x 由小到大的 序 接起来，
从而分 获得
y
x 2 和 y
x 2
的 像。

2、 ：在同向来角坐 系中画出二次函数
y 2x 2 和 y
2x 2 的 像。

学生画 像，教 巡 并 学困生。

（利用 物投影 行 ）
3、二次函数
y ax 2 （ a
0 ）的 像
由上面的四个函数 像概括出：
（ 1） 二次函数的 y ax 2 像形如物体抛射 所 的路 ，我 把它叫做抛物 ，
（ 2） 条抛物 关于 y 称， y 就是抛物 的 称 。

（3） 称 与抛物 的交点叫做抛物 的 点。

注意： 点不是与
y 的交点。

（4）
当 a o ，抛物 的张口向上， 点是抛物 上的最低点， 像在 x 的上方 (除
点外 )；当 a o ，抛物 的张口向下， 点是抛物 上的最高点 像在 x 的
下方 (除 点外 ) 。

（最好是用几何画板演示， 学生加深理解与 ）
三、 堂
察二次函数
y
x 2 和 y x 2 的 像
(1) 填空：
抛物 y x 2
yx 2
点坐
对称轴
位置
张口方向
(2) 在同一坐标系内，抛物线y x2和抛物线y x 2的地点有什么关系？假如在同一个坐
标系内画二次函数y ax 2和y ax 2的图像如何画更简单？
(抛物线y x2与抛物线 y x 2关于x轴对称，只要画出y ax2与 y ax2中的一条抛物线，另一条可利用关于x 轴对称来画 )
四、例题讲解
例题：已知二次函数y ax 2（a0 ）的图像经过点（-2， -3）。

（1）求 a 的值，并写出这个二次函数的解析式。

（2）说出这个二次函数图像的极点坐标、对称轴、张口方向和图像的地点。

练习：（ 1）课本第 31 页课内练习第 2 题。

(2)已知抛物线 y=ax2 经过点 A （-2， -8）。

（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点 B （-1， - 4）能否在此抛物线上。

（3）求出此抛物线上纵坐标为 -6 的点的坐标。

五、谈收获
1.二次函数y=ax2(a≠ 0)的图像是一条抛物线.
2.图象关于y 轴对称 ,极点是坐标原点
3.当 a>0 时 ,抛物线的张口向上,极点是抛物线上的最低点;当 a<0 时 ,抛物线的张口向下,极点是抛物线的最高点六、作业：见作业本。

二次函数的图像（ 2）
讲课目标：
1、经历二次函数图像平移的过程；理解函数图像平移的意义。

2、认识 y ax 2 ， y a(x m) 2 ， y a( x
m)2
k 三类二次函数图像之间的关系。

3、会从图像的平移变换的角度认识y a( x m) 2 k 型二次函数的图像特色。

讲课要点：从图像的平移变换的角度认识
y
a x m 2 k
型二次函数的图像特色。

( )
讲课难点：关于平移变换的理解和确立，学生较难理解。

讲课方案： 一、知识回顾
二次函数 y ax 2 的图像和特色：
1、名称
；2、极点坐标
； 3、对称轴
； 4、当 a o 时，抛物线的张口向
，极点是抛物线上的最
点，图像在 x 轴的
(除 极点外 )；当 a o 时，抛物线的张口向
，极点是抛物线上的最
点图像在 x 轴的
(除
极点外 )。

二、合作学习
在同一坐标系中画出函数图像 y
1
x 2
， y
1
( x 2) 2
, y
1
( x 2)2 的图像。

2 2 2
（ 1） 请比较这三个函数图像有什么共同特色？ （ 2） 极点和对称轴有什么关系？
（ 3） 图像之间的地点能否经过合适的变换获得？
（ 4） 由此，你发现了什么？
三、研究二次函数 y
ax 2 和 y a( x m) 2 图像之间的关系
1、 联合学生所画图像， 指引学生观察 y
1 ( x 2)
2 , 与 y
1 x
2 的图像地点关系， 直观得
2
2
出 y
1
x 2
的图像
向左平移两个单位
y
1
(x 2) 2 , 的图像。

2
2
教师可以采纳以下措施：①借助几何画板演示几个对应点的地点关系
，如：
向左平移两个单位
（0， 0）
（ -2， 0）
向左平移两个单位
（2， 2）
（ 0， 2）；
向左平移两个单位
（-2， 2） （ -4， 2）②也可以把这些对应点在图像上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程。

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2、 用相同的方法得出
y
1 x
2 向右平移两个单位
的图像
2
3、请你总结二次函数
y=a(x+ m)2 的图象和性质 .
y
1
( x 2) 2 的图像。

2
当 m 0时
y ax 2
（ a
0 ）的图像
向左平移 m 个单位
1
( x 2) 2
的图像。

y
当
m
时向右平移 m 个单位
2
函数 y a(x m) 2 的图像的极点坐标是（
-m,0） ,对称轴是直线 x=-m
4、做一做 （1）、
抛物线 张口方向
对称轴
极点坐标
y =2(x+3)2 y = -3( x-1)2 y = -4( x-3)2 （2）、填空：
①、由抛物线 y=2x2向 平移
个单位可获得 y= 2( x+1) 2
②、函数 y= -5( x -4)2 的图象。

可以由抛物线
向
平移 4 个单位而获得的。

3、关于二次函数
y
1
( x 4) 2 ，请回答以下问题：
3
①把函数 y
1
x 2
的图像作如何的平移变换，就能获得函数
y
1
( x 4) 2 的图像？
3
3
②说出函数 y
1
( x
4) 2 的图像的极点坐标和对称轴。

3
1 x
2 的
第 3 题的解答作以下启示：这里的
m 是什么数？大于零还是小于零？应该把
y
1
(x
3
图像向左平移还是向右平移？在此同时用平移的方法画出函数
y
4)2 的大体图像
3
（开初画好函数
y
1
x 2 的图像），借助图像有学生回答以下问
题。

3
五、 研究二次函数 y
a( x m) 2
k 和 y ax 2 图像之间的关系
1、在上面的平面直角坐标系中画出二次函数y
1
( x
2
第一指引学生观察比较
y
1
( x 2) 2 , 与 y
1 (x
2
2
2) 2 3 的图像。

2)2 3 的图像关系，直观得出：
y
1
(x
2)2
, 的图像
向上平移 3个单位
y
1
( x
2)2 3 的图像。

（联合多媒体演示）
2
2
再指引学生方才获得的
y
1
x 2
的图像与 y
1
( x 2)2 , 的图像之间的地点关系，由此得
2
2
出：只要把抛物线
y
1
x 2 先向左平移 2 个单位，在向上平移
3 个单位，即可获得函数
2
y
1
(x 2) 2 3 的图像。

育人忧如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰
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函数解析式
图像的对称轴 图像的极点坐标
y
1 x
2 2
y
1 ( x 2)
2 ,
2 y
1
( x 2) 2
3
2
3、 总结 y a(x
m)2 k 的图像和 y
ax 2 图像的关系
当 m 0时
y ax 2
（ a
0）的图像
向左平移 m 个单位
y
1
(x 2) 2
的 图 像
当
m
时向右平移
m 个单位
2
当k 0时
向上平移 m 个单位
y a(x
m) 2 k 的图像。

当 k 0时向下平移 m 个单位
y a( x
m) 2 k 的图像的对称轴是直线
x=-m ，极点坐标是（ -m ，k ） 。

口诀：（ m 、 k ）正负左右上下移 （ m 左加右减 k 上加下减）
4、练习：课本第 34 页课内练习地 1、 2 题
六、谈收获：
1、函数 y a( x m) 2 k 的图像和函数 y ax 2 图像之间的关系。

2、函数 y
a( x m) 2 k 的图像在张口方向、极点坐标和对称轴等方面的性质。

七、部署作业
课本第 35 页作业题
预习题：关于函数
y
x 2 2x 1，请回答以下问题：
2
（1）关于函数 y
x
2x 1的图像可以由什么抛物线，经如何平移获得的？
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二次函数的图像（ 3）
讲课目标：
1、认识二次函数图像的特色。

2、掌握一般二次函数y ax 2bx c 的图像与 y ax2的图像之间的关系。

3、会确立图像的张口方向，会利用公式求极点坐标和对称轴。

讲课要点：二次函数的图像特色
讲课难点：例 2 的解题思路与解题技巧。

讲课方案：
一、回顾知识
1、二次函数y a(x m) 2k 的图像和 y ax 2的图像之间的关系。

2、讲评上节课的选作题
关于函数 y x 22x 1，请回答以下问题：
（1）关于函数y x 22x 1的图像可以由什么抛物线，经如何平移获得的？（2）函数图像的对称轴、极点坐标各是什么？
y x2 2 x 1 思路：把 y x22x 1 化为 y a( x m) 2k 的形式。

= ( x2 2 x 1)( x22x 1) 2( x 1)22( x 1) 22
在 y(x 1) 2 2 中，m、k分别是什么？从而可以确立由什么函数的图像经如何的平移
获得的？
二、研究二次函数y ax2bx c 的图像特色
1、问题：关于二次函数y=ax2+bx+c （ a≠ 0）的图象及图象的形状、张口方向、地点又
是如何的？学生有难度时可启示：经过变形能否将y=ax2+bx+c 转变成 y = a(x+m)2 +k的形式？
y ax2bx c
= a(x2b
x c ) a x 2 b x ( b )2( b )2c a( x b )24ac b2 a a a2a2a a2a4a
所以可知函数y ax 2bx c 的图像与函数 y ax2 的图像的形状、张口方向均相同，只
是地点不一样样，可以经过平移获
得。

练习：课本第37 页课内练习第2 题（课本的例 2 删掉不讲）
2、二次函数y ax 2bx c 的图像特色
（1）二次函数y ax 2bx c ( a≠0)的图象是一条抛物线；
（2）对称轴是直线x=b，极点坐标是为（b， 4ac b 2）
2a2a4a
(3)当 a>0 时，抛物线的张口向上，极点是抛物线上的最低点。

当 a<0 时，抛物线的张口向下，极点是抛物线上的最高点。

三、牢固知识
1、例 1、求抛物线y 1 x23x5的对称轴和极点坐标。

22
有由学生自己完成。

师生谈论后指出：求抛物线的对称轴和极点坐标可以采纳配方法也许是
用极点坐标公式。

2、做一做课本第36 页的做一做和第37 页的课内练习第 1 题
3、（增补例题）例 2 已知关于 x 的二次函数的图像的极点坐标为（-1，2），且图像过点（1，-3）。

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数的图像与坐标轴的交点坐标。

(此小题供血有余力的学生解答)
解析与启示：（ 1）在已知抛物线的极点坐标的状况下，将所求的解析式设为何比较简单？
4、练习：（1）课本第 37 页课内练习第 3 题。

（2）研究活动：一座拱桥的表示图如图（图在书上第37 页），当水面宽12m 时，桥洞顶部
离水面 4m。

已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你以为第一要做的工
作是什么 ?假如以水平方向为x 轴，取以下三个不一样样的点为坐标原点：
1、点 A
2、点 B
3、抛物线的极点C
所得的函数解析式相同吗？请试一试。

哪一种取法求得的函数解析式最简单？
四、小结
1、函数y ax2bx c 的图像与函数 y ax 2的图像之间的关系。

2、函数y ax2bx c 的图像在对称轴、极点坐标等方面的特色。

3、函数的解析式种类：
一般式： y ax 2bx c
极点式： y a( x m) 2k
五、部署作业
二次函数的性质（ 1）
讲课目标：
1.从详尽函数的图象中认识二次函数的基天性质.
2.认识二次函数与二次方程的互有关系.
3.研究二次函数的变化规律 ,掌握函数的最大值 (或最小值 )及函数的增减性的看法 ,会求二次函数的
最值 ,并能依据性质判断函数在某一范围内的增减性
讲课要点：
二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法.
讲课难点：二次函数的性质的应用.
讲课过程：
复习引入
二次函数 : y=ax2 +bx + c (a0)的图象是一条抛物线,它的张口由什么决定呢?
增补 :当 a 的绝对值相等时 ,其形状完满相同 ,当 a 的绝对值越大 ,则张口越小 ,反之建立 .
二,新课讲课 :
1.研究填空:根据下边已画好抛物线 y=-2x2的顶点坐标是,对称轴是，在侧，即 x_____0时 ,
y随着x的增大而增大；在侧，即 x_____0时 , y随着x的增大而减小 . 当 x=时，函数 y 最大值是 ____.当 x____0 时 ,y<0.
y
y= 2x2
x
y= -2x2
2. 研究填空 : ：据上面已画好的函数图象填空：抛物线 y= 2x 2的极点坐标是,
对称轴是，在侧，即x_____0 时 , y随着x的增大而减少；在侧，即x_____0 时 , y随着x的增大而增大.当 x=时，函数y 最小值是 ____.当 x____0 时 ,y>0
3.概括 :二次函数 y=ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象和性质
(1).极点坐标与对称轴
(2).地点与张口方向
(3).增减性与最值
当 a ﹥ 0 时，在对称轴的左边，y 跟着 x 的增大而减小；在对称轴的右边，y 跟着 x 的增大
而增大；当x
b2
时，函数 y 有最小值
4ac。

当 a ﹤ 0 时，2a b
4a
在对称轴的左边， y跟着 x 的增大而增大；在对称轴2的右边，y 跟着 x的增大而减小。

当时，函数b4ac b
y 有最大值
x
2a4a
4.研究二次函数与一元二次方程
二次函数 y=x 2+2x,y=x2-2x+1,y=x 2-2x+2 的图象以以以下图 .
(1).每个图象与x 轴有几个交点？
(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?考据一下一元二次方程x2-2x+2=0 有根
吗?
(3).二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有
什么关系 ?
概括 :(3).二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点有三种状况:
①有两个交点 ,
②有一个交点 ,
③没有交点 .
当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和 x 轴有交点时 , 交点的横坐标就是当y=0 时自变量x 的值 ,即一元二次方程ax2+bx+c=0 的根 .
当 b2-4ac﹥ 0 时，抛物线与 x 轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0=ax 2+bx+c 的两个根 x1与 x2；当 b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有且只有一个公共点；当b2-4ac﹤ 0 时，抛物线与 x 轴没有交点。

举例 :求二次函数图象y=x 2-3x+2 与 x 轴的交点 A 、 B 的坐标。

结论 1：方程 x2-3x+2=0的解就是抛物线 y=x 2-3x+2 与 x 轴的两个交点的横坐标。

所以，抛
物线与一元二次方程是有亲近联系的。

即：若一元二次方程 ax2+bx+c=0的两个根是 x1、x2，则抛物线 y=ax 2+bx+c 与轴的两个交点坐标分别是 A （ x1， 0）， B（ x2,0）
5.例题讲课 :例 1: 已知函数 1 215
x
⑴写出函数图像的极点、图像与坐标轴的交点，以及图像与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。

此后画出函数图像的草图；
(2) 自变量 x 在什么范围内时， y 跟着 x 的增大而增大？何时 y 跟着 x 的增大而减少；并求出函数
的最大值或最小值。

概括 :二次函数五点法的画法
三.牢固练习 :请完成课本练习：p42.1,2
四.试一试提升 :1
五.学习感想 :1、你能正确地说出二次函数的性质吗？
2、你能用“五点法”快速地画出二次函数的图象吗？你能利用函数图象回答有关性质吗？
六：作业：作业本,课本作业题1、 2、3、 4。

二次函数的性质（ 2）
讲课目标：
1、掌握二次函数解析式的三种形式，并会采纳不一样样的形式，用待定系数法求二次函
数的解析式。

2、能依据二次函数的解析式确立抛物线的张口方向，极点坐标，和对称轴、最值和增减性。

3、能依据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上观察出函数的一些性质。

讲课要点：二次函数的解析式和利用函数的图像观察性质
讲课难点：利用图像观察性质
讲课方案：
一、复习
1 、抛物线y2(x 4) 25的极点坐标是，对称轴是，在
侧，即 x_____0时， y 跟着 x 的增大而增大；在侧，即 x_____0
时,
y 跟着 x 的增大而减小；当x=时，函数 y 最值是 ____。

2 、抛物线y2( x 3) 26的极点坐标是，对称轴是，在
侧，即 x_____0时， y 跟着 x 的增大而增大；在侧，即 x_____0
时,
y 跟着 x 的增大而减小；当x=时，函数y 最值是____。

二、例题讲解
例 1、依据以下条件求二次函数的解析式：
（1）函数图像经过点 A （-3， 0）， B（ 1， 0）， C（0， -2）
(2) 函数图像的极点坐标是（ 2， 4）且经过点（ 0， 1）
（3）函数图像的对称轴是直线x=3, 且图像经过点（ 1， 0）和（ 5， 0）
说明：此题给出求抛物线解析式的三种解法，要点是看题目所给条件。

一般来说：任意给定
抛物线上的三个点的坐标，均可设一般式去求；若给定极点坐标（或对称轴或最值）及另一
个点坐标，则可设极点式较为简单；若给出抛物线与x 轴的两个交点坐标，则用分解式较为
快捷。

例 2已知函数 y= x 2 -2x -3 ,
（１）把它写成y a( x m)2k 的形式；并说明它是由如何的抛物线经过如何平移获得
的？
（2）写出函数图象的对称轴、极点坐标、张口方向、最值；
（3）求出图象与坐标轴的交点坐标；
（4）画出函数图象的草图；
(5)设图像交 x 轴于 A、 B 两点，交 y 轴于 P 点，求△ APB 的面积；
（6）依据图象草图，说出x 取哪些值时，①y=0; ② y<0; ③ y>0.
说明：（ 1）关于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形，做到线段和坐标的相互转变；
（2）利用函数图像判断函数值何时为正，何时为负，相同也要充分利用图像，要使y<0; ，
其对应的图像应在x 轴的下方，自变量x 就有相应的取
值范围。

y
例 3、二次函数 y=ax 2+bx+c(a ≠ 0)的图象以以以下图，则：
a0; b0;c0; b24ac0。

o x 说明：二次函数 y=ax 2+bx+c(a ≠0) 的图像与系数a、b、c、
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b24ac 的关系：
系数的符号图像特色
a 的符号a>0.抛物线张口向
a<0抛物线张口向
b 的符号b>0.抛物线对称轴在y 轴的侧
b=0抛物线对称轴是轴
b<0抛物线对称轴在y 轴的侧c 的符号c>0.抛物线与 y 轴交于
C=0抛物线与 y 轴交于
c<0抛物线与 y 轴交于
b24ac 的符号b2
抛物线与 x 轴有个交点4ac >0.
b2
抛物线与 x 轴有个交点4ac =0
b2
抛物线与 x 轴有个交点4ac <0
三、小结本节课你学到了什么？
四、部署作业：课本作业题第5、 6题
增补作业题：已知二次函数的图像以以以下图，以下结
论：
⑴ a+b+c ﹤ 0⑵ a-b+c ﹥ 0⑶ abc﹥ 0⑷b=2a
此中正确的结论的个数是（） A 1 个 B 2个C3个 D 4 个
y
-11
x
二次函数的应用（ 1）
讲课目标：
1、经历数学建模的基本过程。

2、会运用二次函数务实诘问题中的最大值或最小值。

3、意会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感觉数学的应用价值。

讲课要点和难点：
要点：二次函数在最优化问题中的应用。

难点：例 1 是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。

讲课方案：
一、创办情境、提出问题
出示引例（将作业题第 3 题作为引例）
给你长 8m 的铝合金条，设问：
①你能用它制成一矩形窗框吗？
②如何设计，窗框的透光面积最大？
③如何考据？
二、观察解析，研究问题
演示动画，指引学生观察、思虑、发现：当矩形的一边变化时，另一边和面积也随之改变。

深入研究如设矩形的一边长为x 米，则另一边长为(4-x) 米，再设面积为ym2,则它们的函数关系式为 y x24x
x 0
4 x o
0 x4
并当 x =2 时（属于0x 4 范围）即当设计为正方形时，面积最大=4(m 2)
指引学生总结，确立问题的解决方法：在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，
可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决。

步骤：
第一步设自变量；
第二步建立函数的解析式；
第三步确立自变量的取值范围；
第四步依据极点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）。

三、例练应用，解决问题
在上面的矩形中加上一条与宽平行的线段，出示图形
设问：用长为8m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，
问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
指引学生解析，板书解题过程。

变式（即课本例 1）：此刻用长为 8 米的铝合金条制成以以以下图的窗框（把矩形的窗框改为
上部分是由 4 个全等扇形构成的半圆，下部分是矩形），那么如何设计使窗框的透光面积最
大？（结果精确到 0.01 米）
练习：课本作业题第 4 题
四、知识整理，形成系统
这节课学习了用什么知识解决哪一种问题？
解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？
学到了哪些思虑问题的方法？
五、部署作业：作业本
二次函数的应用 (2)
讲课目标：
1、连续经历利用二次函数解决实质最值问题的过程。

2、会综合运用二次函数和其余数学知识解决如有关距离等函数最值问题。

3、发展应用数学解决问题的能力，意会数学与生活的亲近联系和数学的应用价值。

讲课要点和难点：
要点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地解析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。

难点：例 2 将现实问题数学化，状况比较复杂。

讲课过程：
一、复习：
1、利用二次函数的性质解决好多生活和生产实质中的最大和最小值的问题，它的一般方
法是：
(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要依据自变量的实质意义，确立自变量的取
值范围。

(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。

2、上节课我们谈论了用二次函数的性质求面积的最值问题。

出示上节课的引例的动
向图形（在周长为 8 米的矩形中）（多媒体动向显示）
设问：（ 1）对角线（ L ）与边长（ x）有什何关系？
l 2 x 2 (4 x) 2 l
2x 2 6x 9(0
x
4)
（ 2）对角线（ L ）能否也有最值？假如有如何求？
L 与 x 其实不是二次函数关系，而被开方数却可看作是关于
x 的二次函数，而且有最小
值。

指引学生回忆算术平方根的性质：被开方数越大（小）则它的算术平方根也越大（小） 。

指出：当被开方数 2x 2 6 x 9 取最小值时，对角线也为最小值。

二、例题讲解
例题 2： B 船位于 A 船正东 26km 处，此刻 A 、 B 两船同时出发， A 船发每小时 12km 的速度朝正北方向行驶， B 船发每小时 5km 的速度向正西方向行驶，何时两船相距近来？ 近来距离是多少？
多媒体动向演示，提出思虑问题： （ 1）两船的距离跟着什么的变化而变化？
(2) 经过 t 小时后，两船的行程是多少？
两船的距离如何用 t 来表示？
设 经 过 t 小 时 后 AB 两 船 分 别 到 达 A ’， B ’， 两 船 之 间 距 离 为 A ’B ’= AB' 2+AA' 2
= (26-5t) 2+(12t) 2 = 169t 2-260t+676 。

（这里预计学生会联想方才解决近似的问题）
所以只要求出被开方式 169t 2
-260t+676 的最小值，就可以求出两船之间的距离
s 的最小值。

解 :设经过 t 时后， A ， B AB 两船分别到达 A ’， B ’，两船之间距离为
S=A ’B ’= AB' 2+AA' 2 = (26-5t) 2+(12t) 2
= 169t 2-260t+676 =
10 2+576 （ t>0 ）
169（ t-13 ） 10 10 当 t=13 时，被开方式 169（ t-13 ） 2+576 有最小值 576。

所以当 t=
10
时， S 最小值 = 576 =24 （ km ）
13 10
答：经过 13 时，两船之间的距离近来，近来距离为24km
练习：直角三角形的两条直角边的和为 2，求斜边的最小值。

三、课堂小结
应用二次函数解决实诘问题的一般步骤 四、部署作业 见作业本。