一级倒立摆的模糊控制系统设计毕业论文
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第
2.1
图2-1倒立摆结构
在考虑空气流动、小车与导轨之间的摩擦力对倒立摆的影响之后，可将倒立摆抽象成小车和匀质杆，如图2–2所示。图2–2是系统中小车和摆竿的受力分析图，其中N 和P分别为小车和摆竿相互作用力的水平和垂直方向的分量。要求摆角的摆动不超过0.35rad。
表2-1 一级倒立摆系统参数
符号
1.4本论文的主要工作
本论文简单介绍倒立摆系统控制发展过程和国外发展现状；研究了一级倒立摆数学模型的建立；并用牛顿定律推导了倒立摆的数学模型。运用模糊控制的控制方法对倒立摆系统进行研究，并借助MATLAB语言以及SIMULINK进行仿真，在做了大量仿真研究工作的基础上，进行了硬件的调试，软件的编写和调试，对倒立摆控制中遇到的问题进行分析和讨论[8]。
意 义
实际数值
M
小车质量
1.096 kg
m
摆竿质量
0.109 kg
b
小车的摩擦系数
50N/S
l
摆杆转动轴心到杆质心的长度
0.25 m
I
摆杆惯量
0.0034 kg*m*m
F
加在小车上的力
X
小车位置
小车速度
摆杆与垂直向上方向的夹角
图2-2 小车与倒立摆受力分析图
应用牛顿力学进行受力分析，小车在水平方向的受力情况是
(2–6)
设 （ 是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设 与1（单位是弧度）相比很小，即 ≤1，则可以进行近似处理： ， 。
用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方对方程组(2–7)进行拉普拉斯变换，得到
(2–8)
注意：推导传递函数时假设初始条件为0。
由于输出是角度 ，求解方程组（2–8）的第一个方程，可以得到
(3)模糊空集
若对所有x∈X，均有μ A(x)＝0，则称A为模糊空集，记作A= .
(4)模糊集合的并集
若有三个模糊集合A、B和C ,对于所有的x∈X，均有
则称C为A与B的并集，记作C＝A∪B。
(5)模糊集合的交集
若有三个模糊集合A、B和C,对于所有的x∈X，均有
则称C为A与B的并集，记作C＝A∩B。
3.2.1模糊集合及其运算
(1)集合、元素与论域
集合理论是现代数学的基础。通常把具有一定围的并有同一属性的确定对象组成的全体成为集合。把组成集合的每个对象叫做集合的元素，用小写字母a，b，x，y等表示，而用大写字母A，B等表示集合。把被讨论的对象的全体叫做论域。论域U上的集合A指A的元素都是U的元素。
1.3模糊控制理论的产生
随着科学技术的迅猛发展，各个领域对自动控制系统精度、响应速度、系统稳定性与适应能力的要求越来越高，所研究的系统也日益复杂多变。然而由于一系列原因，诸如被控对象或过程的非线性、时变性、多参数间的强耦合、较大的随机干扰、过程机理错综复杂、各种不确定性以及现场测量手段不完善等，难以建立被控对象的精确模型。虽然自适应控制技术可以解决一些问题，但围有限的[6]。于是需要探索出新的理论与方法。L．A．Zadeh教授提出的模糊集合理论，其核心是对复杂的系统或过程建立一种语言分析的数学模式，使自然语言能直接转化为计算机所能接受的算法语言。模糊集合理论的诞生，为处理客观世界中存在的一类模糊性问题，提供了有力的工具。同时，也适应了自适应科学发展的迫切需要。正是在这种背景下，作为模糊数学一个重要应用分支的模糊控制理论便应运而生了[7]。
(6)模糊集合的补集
若有两个模糊集合A和B，对于所有的x∈X，均有
，则称B为A的补集，记为 。
(7)模糊集合的直积。
若有两个模糊集合A和B，其论域分别为X和Y，则定义在空间X × Y上的模糊集合A × B为A和B的直积，其隶属度函数为
直到70年代初用状态反馈理论对不同类型的倒立摆问题进行了较为广泛的研究虽然在许多方面都取得了较为满意的效果但其控制方法过多地依赖于线性后的数学模型故对一般工业过程特别是数学模型变化或不清晰的对象缺乏指导性的意义
一级倒立摆的模糊控制系统设计毕业论文
第1章 绪论
1.1 课题背景
倒立摆系统的最初研究开始于二十世纪五十年代，麻省理工大学电机工程系设计出单级倒立摆系统这个实验设备。后来在此基础上，人们又进行拓展，产生了各式各样的倒立摆:有悬挂式倒立摆、平行倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆；倒立摆的级数有一级、二级、三级、四级乃至多级；倒立摆的运动轨道可以是水平的，也可以是倾斜的[1]。倒立摆系统已成为控制领域中不可或缺的研究设备和验证各种控制策略有效性的实验平台，本设计主要针对直线倒立摆进行研究。
第
3.1
模糊集合和模糊控制的概念是由美国加里福利亚大学著名教授L.A.Zadeh在其Fuzzy Sets，Fuzzy Algorithm和A Rtionale for Fuzzy Control等著名论著中首先提出来的。模糊集合的引入，可将人的判断、思维过程用比较简单的数学形式直接表达出来，从而使对复杂系统作出合乎实际的、符合人类思维方式的处理成为可能，为经典模糊控制器的形成奠定了基础[9]。
1.2倒立摆的发展
早在60年代人们就开始了对倒立摆系统的研究，1966年schaefet和cannon应用bang-bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。在60年代后期，作为一个典型的不稳定严重非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国许多科学家的重视，从而用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，成为具有挑战的课题之一。
目前，国外专家学者主要研究一下两个方向：(1)倒立摆系统的稳定控制研究；(2)倒立摆的自起摆控制研究。就目前的结果来看大部分有集中在第一个方面，即倒立摆控制系统的稳定性研究。目前大致方法分为：线性控制，预测控制，智能控制三大类。现阶段几种较为广泛的控制方法为：PID控制，状态反馈控制，线性二次型(LQR),模糊控制等[2]。
[0;-0.0781;5.2727;-5.2779]，由此可以看出，系统有两个特征值位于坐标系的左半平面，因此系统是不稳定的。系统的能控矩阵P的秩为4，根据线性系统的可控性判据可知，一级倒立摆系统在平衡点附近为完全可控的。
2.3本章小结
本章详细讨论了一级倒立摆系统的数学模型，并推导出倒立摆系统在平衡位置附近的线性方程，并且对倒立摆系统的稳定性和可控性进行了分析。
:
完全属于F
完全不属于F
不完全不属于F
其中：论域U为一个可能是离散或连续的集合。
3.2.2
(1)模糊集合相等
如果集合A里的元素属于B，集合B里的元素也属于A，则说明集合A和B相等，记作A=B。
(2)模糊集合的包含关系
若有两个模糊集合A和B，对于所有的x∈X,均有μ A(x)≤ μ B(x)，则A包含于B或A是B的子集，记作 。
为了加快模糊控制理论的研究，1972年，以日本东京大学为中心，发起成立了“模糊系统研究”。1974年在加里福利亚大学的美日研究班上，进行了有关“模糊集合及其应用”的国际学术交流。1978年在国际上开始发行Fuzzy Sets and Systems专业杂志。1984年IFSA(International Fuzzy System Association)正式成立，并已召开了几届国际模糊系统会议。从1992年起，IEEE Fuzzy Systems国际会议每年举办一次[10]。
第1章综述倒立摆系统控的类型，并对其国外的研究现状和发展趋势进行了阐述。
第2章介绍单级倒立摆系统的数学模型的建立。
第3章介绍古典控制理论、现代控制理论在倒立摆系统中的应用。
第4章是有关模糊控制的各种知识的详细介绍。
第5章是本论文重点，这一章详细介绍倒立摆系统的模糊控制算法设计以及仿真过程中各类参数和因子的确定，最后是对倒立摆系统模糊控制的仿真全过程。
(2-1)
摆杆在水平方向的受力情况是
(2-2)
把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程:
(2–3)
为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程:
(2–4)
力矩平衡方程如下：
(2–5)
注意：由于 ，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：
在研究倒立摆这类多变量非线性系统的模糊控制时，一个难题就是规则爆炸(RuleEPxofsino)，一级倒立摆的控制涉及的状态变量共有4个，每个变量的论域作7个模糊集的模糊划分，这样，完备的推理规则库会包含74=2401个推理规则；而对于二级倒立摆有6个状态变量，推理规则会达到76=117649，显然如此多的规则是不可能实现的。为了解决这个问题，提出双闭环的倒立摆模糊控制方案，环控制倒立摆的角度，外环控制倒立摆的位移。将这一方法推广到倒立摆控制系统中，并提出两种模糊串级控制方案，用来解决倒立摆这类多变量系 统模糊控制时的规则爆炸问题。应用分级思想，将x， ， ， 4个状态变量分成两个子系统，分别用两个模糊控制器控制，然后来协调子系统之间的相互作用。本文模仿人类简化问题的思路，将单一的复杂控制策略转化为多级简单控制策略嵌套，通过分离变量的方法设计末控制器[3]。
直到70年代初，用状态反馈理论对不同类型的倒立摆问题进行了较为广泛的研究，虽然在许多方面都取得了较为满意的效果，但其控制方法过多地依赖于线性后的数学模型，故对一般工业过程特别是数学模型变化或不清晰的对象缺乏指导性的意义。
在80年代后期，随着模糊控制理论的快速发展，用模糊控制理论控制倒立摆也受到广泛重视，其目的在于检验模糊控制理论对快速、绝对不稳定系统适应能力。由于模糊控制理论目前尚无简单实用的方法处理多变量问题，故用合适的方法处理一级倒立摆多变量之间的关系，仍是模糊控制理论一级倒立摆的中心问题之一[4]。清华大学的乃尧等提出了双闭环模糊控制方法控制一级倒立摆。常见的模糊控制器是根据输出偏差和输入偏差变化率来求控制作用，是二输入一输出的探制器。当控制器的输入为两个以上时，控制规则数随输入变量数呈指数增加，不仅使模粗控制器的设计非常复杂，也使模糊控制的执行时间大大增长，难于实时应用。乃尧先生对倒立摆采用双闭环模糊控制方案，很好地解决了上述问题，并在实际装置上取得了满意的结果，并对其它模糊串级控制也具有参考价值。程福雁先生等研究了使用参变量模糊控制对二级倒立摆进行实时控制的问题。通过传统的控制理论得出各种状态变量间的综合关系，来处理系统的多变量问题；通过仿真寻优和重复度验相结合的方法，得到控制倒立摆所谓的最优参数，采用高精度清晰化方法，使输出控制等级更为细腻[5]。
(2–9)
把上式代入方程组（2–8）的第二个方程，得到
(2–10)
整理后得到传递函数：
(2–11)
其中
系统状态空间方程为
方程组（2–7）对 ， 解代数方程，得到解如下：
(2–12)
整理后得到系统状态空间方程：
(2–13)
代入表2-1中的参数可以得到：
2.2 一级倒立摆的可控性分析
通过对一级倒立摆的建模分析，得到一级倒立摆的数学模型，并且在平衡点附近线性化得到系统的状态方程，便可以分析以及倒立摆在平衡点附近的能控性。由已知的矩阵A，B在MATLAB环境下求得系统的极点为：
3.2 模糊控制基本思想
模糊控制以模糊集合论模糊语言变量及模糊逻辑推理为基础的一种计算机数字控制。它由一定的先验知识来构造模糊控制规则，通过一系列不精确的控制来达到精确的控制目的。模糊控制的基本思想就是模拟人的决策行为进行控制，它提供了一个控制机理，可以将手动控制规则转化为要实现的控制算法，模糊控制把人类专家对特定的被控对象或过程的控制策略总结成一系列以“If(条件)Then(作用)”形式表示的控制规则，通过模糊推理得到控制作用集，作用于被控对象或过程。控制作用集为一组条件语句，状态语句和控制作用均为一组被量化了的模糊语言集。如“正大”，“负大”，“正小”，“负小”，“零”等。
我国对模糊控制的理论与应用起步较晚，但发展较快，诸如在模糊控制、模糊辨别、模糊聚类分析、模糊图像处理等都取得了不小的影响。1979年宝綬、志俊等人开始用连续数字仿真方法研究典型模糊控制器的性能，随后一些高校及科研单位的专家与学者都加入到研究队伍中。同时，在模糊控制应用方面也取得了显著成果。1986年，都志杰等人用单片机研制了工业用模糊控制器，随后一些学者相继将模糊控制方法成功地应用在碱熔反应温度、气炼机等系统中。可以预想模糊控制理论的不断完善，其应用领域将会更加广泛。
从论域U中任意指定一个元素u及U上的集合A。如果u是集合A的一个元素，则说“元素u属于集合A”，记u属于A。如果u不是集合A的一个元素，则说“元素u不属于集合A”。在普通集合中，元素u与集合A的关系是：要么u属于A，要么u不属于A，二者必居其一。
论域U中的一个模糊集合F，是指对于任意的μ∈U，指定数 ∈[0，1]，称为μ对F的隶属程度，映射 称为F的隶属函数。
2.1
图2-1倒立摆结构
在考虑空气流动、小车与导轨之间的摩擦力对倒立摆的影响之后，可将倒立摆抽象成小车和匀质杆，如图2–2所示。图2–2是系统中小车和摆竿的受力分析图，其中N 和P分别为小车和摆竿相互作用力的水平和垂直方向的分量。要求摆角的摆动不超过0.35rad。
表2-1 一级倒立摆系统参数
符号
1.4本论文的主要工作
本论文简单介绍倒立摆系统控制发展过程和国外发展现状；研究了一级倒立摆数学模型的建立；并用牛顿定律推导了倒立摆的数学模型。运用模糊控制的控制方法对倒立摆系统进行研究，并借助MATLAB语言以及SIMULINK进行仿真，在做了大量仿真研究工作的基础上，进行了硬件的调试，软件的编写和调试，对倒立摆控制中遇到的问题进行分析和讨论[8]。
意 义
实际数值
M
小车质量
1.096 kg
m
摆竿质量
0.109 kg
b
小车的摩擦系数
50N/S
l
摆杆转动轴心到杆质心的长度
0.25 m
I
摆杆惯量
0.0034 kg*m*m
F
加在小车上的力
X
小车位置
小车速度
摆杆与垂直向上方向的夹角
图2-2 小车与倒立摆受力分析图
应用牛顿力学进行受力分析，小车在水平方向的受力情况是
(2–6)
设 （ 是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设 与1（单位是弧度）相比很小，即 ≤1，则可以进行近似处理： ， 。
用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方对方程组(2–7)进行拉普拉斯变换，得到
(2–8)
注意：推导传递函数时假设初始条件为0。
由于输出是角度 ，求解方程组（2–8）的第一个方程，可以得到
(3)模糊空集
若对所有x∈X，均有μ A(x)＝0，则称A为模糊空集，记作A= .
(4)模糊集合的并集
若有三个模糊集合A、B和C ,对于所有的x∈X，均有
则称C为A与B的并集，记作C＝A∪B。
(5)模糊集合的交集
若有三个模糊集合A、B和C,对于所有的x∈X，均有
则称C为A与B的并集，记作C＝A∩B。
3.2.1模糊集合及其运算
(1)集合、元素与论域
集合理论是现代数学的基础。通常把具有一定围的并有同一属性的确定对象组成的全体成为集合。把组成集合的每个对象叫做集合的元素，用小写字母a，b，x，y等表示，而用大写字母A，B等表示集合。把被讨论的对象的全体叫做论域。论域U上的集合A指A的元素都是U的元素。
1.3模糊控制理论的产生
随着科学技术的迅猛发展，各个领域对自动控制系统精度、响应速度、系统稳定性与适应能力的要求越来越高，所研究的系统也日益复杂多变。然而由于一系列原因，诸如被控对象或过程的非线性、时变性、多参数间的强耦合、较大的随机干扰、过程机理错综复杂、各种不确定性以及现场测量手段不完善等，难以建立被控对象的精确模型。虽然自适应控制技术可以解决一些问题，但围有限的[6]。于是需要探索出新的理论与方法。L．A．Zadeh教授提出的模糊集合理论，其核心是对复杂的系统或过程建立一种语言分析的数学模式，使自然语言能直接转化为计算机所能接受的算法语言。模糊集合理论的诞生，为处理客观世界中存在的一类模糊性问题，提供了有力的工具。同时，也适应了自适应科学发展的迫切需要。正是在这种背景下，作为模糊数学一个重要应用分支的模糊控制理论便应运而生了[7]。
(6)模糊集合的补集
若有两个模糊集合A和B，对于所有的x∈X，均有
，则称B为A的补集，记为 。
(7)模糊集合的直积。
若有两个模糊集合A和B，其论域分别为X和Y，则定义在空间X × Y上的模糊集合A × B为A和B的直积，其隶属度函数为
直到70年代初用状态反馈理论对不同类型的倒立摆问题进行了较为广泛的研究虽然在许多方面都取得了较为满意的效果但其控制方法过多地依赖于线性后的数学模型故对一般工业过程特别是数学模型变化或不清晰的对象缺乏指导性的意义
一级倒立摆的模糊控制系统设计毕业论文
第1章 绪论
1.1 课题背景
倒立摆系统的最初研究开始于二十世纪五十年代，麻省理工大学电机工程系设计出单级倒立摆系统这个实验设备。后来在此基础上，人们又进行拓展，产生了各式各样的倒立摆:有悬挂式倒立摆、平行倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆；倒立摆的级数有一级、二级、三级、四级乃至多级；倒立摆的运动轨道可以是水平的，也可以是倾斜的[1]。倒立摆系统已成为控制领域中不可或缺的研究设备和验证各种控制策略有效性的实验平台，本设计主要针对直线倒立摆进行研究。
第
3.1
模糊集合和模糊控制的概念是由美国加里福利亚大学著名教授L.A.Zadeh在其Fuzzy Sets，Fuzzy Algorithm和A Rtionale for Fuzzy Control等著名论著中首先提出来的。模糊集合的引入，可将人的判断、思维过程用比较简单的数学形式直接表达出来，从而使对复杂系统作出合乎实际的、符合人类思维方式的处理成为可能，为经典模糊控制器的形成奠定了基础[9]。
1.2倒立摆的发展
早在60年代人们就开始了对倒立摆系统的研究，1966年schaefet和cannon应用bang-bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。在60年代后期，作为一个典型的不稳定严重非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国许多科学家的重视，从而用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，成为具有挑战的课题之一。
目前，国外专家学者主要研究一下两个方向：(1)倒立摆系统的稳定控制研究；(2)倒立摆的自起摆控制研究。就目前的结果来看大部分有集中在第一个方面，即倒立摆控制系统的稳定性研究。目前大致方法分为：线性控制，预测控制，智能控制三大类。现阶段几种较为广泛的控制方法为：PID控制，状态反馈控制，线性二次型(LQR),模糊控制等[2]。
[0;-0.0781;5.2727;-5.2779]，由此可以看出，系统有两个特征值位于坐标系的左半平面，因此系统是不稳定的。系统的能控矩阵P的秩为4，根据线性系统的可控性判据可知，一级倒立摆系统在平衡点附近为完全可控的。
2.3本章小结
本章详细讨论了一级倒立摆系统的数学模型，并推导出倒立摆系统在平衡位置附近的线性方程，并且对倒立摆系统的稳定性和可控性进行了分析。
:
完全属于F
完全不属于F
不完全不属于F
其中：论域U为一个可能是离散或连续的集合。
3.2.2
(1)模糊集合相等
如果集合A里的元素属于B，集合B里的元素也属于A，则说明集合A和B相等，记作A=B。
(2)模糊集合的包含关系
若有两个模糊集合A和B，对于所有的x∈X,均有μ A(x)≤ μ B(x)，则A包含于B或A是B的子集，记作 。
为了加快模糊控制理论的研究，1972年，以日本东京大学为中心，发起成立了“模糊系统研究”。1974年在加里福利亚大学的美日研究班上，进行了有关“模糊集合及其应用”的国际学术交流。1978年在国际上开始发行Fuzzy Sets and Systems专业杂志。1984年IFSA(International Fuzzy System Association)正式成立，并已召开了几届国际模糊系统会议。从1992年起，IEEE Fuzzy Systems国际会议每年举办一次[10]。
第1章综述倒立摆系统控的类型，并对其国外的研究现状和发展趋势进行了阐述。
第2章介绍单级倒立摆系统的数学模型的建立。
第3章介绍古典控制理论、现代控制理论在倒立摆系统中的应用。
第4章是有关模糊控制的各种知识的详细介绍。
第5章是本论文重点，这一章详细介绍倒立摆系统的模糊控制算法设计以及仿真过程中各类参数和因子的确定，最后是对倒立摆系统模糊控制的仿真全过程。
(2-1)
摆杆在水平方向的受力情况是
(2-2)
把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程:
(2–3)
为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程:
(2–4)
力矩平衡方程如下：
(2–5)
注意：由于 ，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：
在研究倒立摆这类多变量非线性系统的模糊控制时，一个难题就是规则爆炸(RuleEPxofsino)，一级倒立摆的控制涉及的状态变量共有4个，每个变量的论域作7个模糊集的模糊划分，这样，完备的推理规则库会包含74=2401个推理规则；而对于二级倒立摆有6个状态变量，推理规则会达到76=117649，显然如此多的规则是不可能实现的。为了解决这个问题，提出双闭环的倒立摆模糊控制方案，环控制倒立摆的角度，外环控制倒立摆的位移。将这一方法推广到倒立摆控制系统中，并提出两种模糊串级控制方案，用来解决倒立摆这类多变量系 统模糊控制时的规则爆炸问题。应用分级思想，将x， ， ， 4个状态变量分成两个子系统，分别用两个模糊控制器控制，然后来协调子系统之间的相互作用。本文模仿人类简化问题的思路，将单一的复杂控制策略转化为多级简单控制策略嵌套，通过分离变量的方法设计末控制器[3]。
直到70年代初，用状态反馈理论对不同类型的倒立摆问题进行了较为广泛的研究，虽然在许多方面都取得了较为满意的效果，但其控制方法过多地依赖于线性后的数学模型，故对一般工业过程特别是数学模型变化或不清晰的对象缺乏指导性的意义。
在80年代后期，随着模糊控制理论的快速发展，用模糊控制理论控制倒立摆也受到广泛重视，其目的在于检验模糊控制理论对快速、绝对不稳定系统适应能力。由于模糊控制理论目前尚无简单实用的方法处理多变量问题，故用合适的方法处理一级倒立摆多变量之间的关系，仍是模糊控制理论一级倒立摆的中心问题之一[4]。清华大学的乃尧等提出了双闭环模糊控制方法控制一级倒立摆。常见的模糊控制器是根据输出偏差和输入偏差变化率来求控制作用，是二输入一输出的探制器。当控制器的输入为两个以上时，控制规则数随输入变量数呈指数增加，不仅使模粗控制器的设计非常复杂，也使模糊控制的执行时间大大增长，难于实时应用。乃尧先生对倒立摆采用双闭环模糊控制方案，很好地解决了上述问题，并在实际装置上取得了满意的结果，并对其它模糊串级控制也具有参考价值。程福雁先生等研究了使用参变量模糊控制对二级倒立摆进行实时控制的问题。通过传统的控制理论得出各种状态变量间的综合关系，来处理系统的多变量问题；通过仿真寻优和重复度验相结合的方法，得到控制倒立摆所谓的最优参数，采用高精度清晰化方法，使输出控制等级更为细腻[5]。
(2–9)
把上式代入方程组（2–8）的第二个方程，得到
(2–10)
整理后得到传递函数：
(2–11)
其中
系统状态空间方程为
方程组（2–7）对 ， 解代数方程，得到解如下：
(2–12)
整理后得到系统状态空间方程：
(2–13)
代入表2-1中的参数可以得到：
2.2 一级倒立摆的可控性分析
通过对一级倒立摆的建模分析，得到一级倒立摆的数学模型，并且在平衡点附近线性化得到系统的状态方程，便可以分析以及倒立摆在平衡点附近的能控性。由已知的矩阵A，B在MATLAB环境下求得系统的极点为：
3.2 模糊控制基本思想
模糊控制以模糊集合论模糊语言变量及模糊逻辑推理为基础的一种计算机数字控制。它由一定的先验知识来构造模糊控制规则，通过一系列不精确的控制来达到精确的控制目的。模糊控制的基本思想就是模拟人的决策行为进行控制，它提供了一个控制机理，可以将手动控制规则转化为要实现的控制算法，模糊控制把人类专家对特定的被控对象或过程的控制策略总结成一系列以“If(条件)Then(作用)”形式表示的控制规则，通过模糊推理得到控制作用集，作用于被控对象或过程。控制作用集为一组条件语句，状态语句和控制作用均为一组被量化了的模糊语言集。如“正大”，“负大”，“正小”，“负小”，“零”等。
我国对模糊控制的理论与应用起步较晚，但发展较快，诸如在模糊控制、模糊辨别、模糊聚类分析、模糊图像处理等都取得了不小的影响。1979年宝綬、志俊等人开始用连续数字仿真方法研究典型模糊控制器的性能，随后一些高校及科研单位的专家与学者都加入到研究队伍中。同时，在模糊控制应用方面也取得了显著成果。1986年，都志杰等人用单片机研制了工业用模糊控制器，随后一些学者相继将模糊控制方法成功地应用在碱熔反应温度、气炼机等系统中。可以预想模糊控制理论的不断完善，其应用领域将会更加广泛。
从论域U中任意指定一个元素u及U上的集合A。如果u是集合A的一个元素，则说“元素u属于集合A”，记u属于A。如果u不是集合A的一个元素，则说“元素u不属于集合A”。在普通集合中，元素u与集合A的关系是：要么u属于A，要么u不属于A，二者必居其一。
论域U中的一个模糊集合F，是指对于任意的μ∈U，指定数 ∈[0，1]，称为μ对F的隶属程度，映射 称为F的隶属函数。