2019年天津市中考数学试题(含解析)

2019天津市中考数学解析
一、选择题
1.（2019天津市，1，3分）计算()93-⨯ 的结果等于
(A) -27 (B) -6 (C) 27 (D) 6
【答案】A
【解析】一正一负相乘，先确定积的符号为负，再把绝对值相乘，绝对值为27.
所以答案为 A
【知识点】有理数的乘法运算.
2.（2019天津市，2，3分）2sin60°的值等于
(A) 1 (B)
2(C)3(D)2 【答案】C
【解析】常用特殊角三角函数值sin60°=32
1，再乘以2，可得答案C 【知识点】有理数的乘法运算及特殊三角函数值计算.
3.（2019天津市，3，3分）据2019年3月21日《天津日报》报道，“伟大的变革-庆祝改革开放40周年大型展览”3月20日圆满闭幕，自开幕以来，现场观众累计约4230000人次，将4230000用科学记数法表示应为
(A) 710423.0⨯ (B) 61023.4⨯ (C) 5103.42⨯ (D) 4
10423⨯
【答案】B
【解析】科学记数法表示为n a 10⨯，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值。

在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。

当该数大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。

4230000一共7位，从而4230000=61023.4⨯.故选B 。

【知识点】科学记数法
4.（2019天津市，4，3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是
(A) 美 (B) 丽 (C) 校 (D) 园
【答案】A
【解析】轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.选项A 可以，选项B,C,D 都有不能够重合的部分，所以选A
【知识点】有理数的乘法运算.
5.（2019天津市，5，3分）右图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是
【答案】B
【解析】从正面看由两层组成，上面一层1个正方形，下面一层三个正方形，所以选B
【知识点】三视图.
6.（2019天津市，6，3分）估计33的值在
(A) 2和3之间 (B) 3和4之间 (C) 4和5之间 (D) 5和6之间
【答案】D 【解析】6335363325<<∴<<Θ所以选D
【知识点】算术平方根的估算.
7.（2019天津市，7，3分）计算1
21a 2+++a a 的结果等于 (A) 2 (B) 2a+2 (C) 1 (D)
1a 4+a 【答案】A
【解析】先同分母分式计算，分母不变把分子相加减；再把公因式（a+1)进行约分,
所以选A
【知识点】分式的运算.
8. （2019天津市，8，3分）如图，四边形ABCD 为菱形，A,B 两点的坐标分别是（2,0），（0,1），点C,D 在坐标轴上，则菱形ABCD 的周长等于
(A) 5 (B) 34 (C) 54 (D) 20
【答案】C
【解析】由于A,B 两点的坐标分别是（2,0），（0,1），所以可得OA=2，OB=1，根据菱形的对角线互相垂直的性质可得Rt △ABO ，由勾股定理可求得AB=5，再根据菱形的四边相等的性质可知周长为54，所以选
C.
【知识点】平面直角坐标系点的坐标特点；菱形的性质；勾股定理.
9.（2019天津市，9，3分）方程组的解是
【答案】D
【解析】观察方程组可以发现，两个方程中y 的系数互为相反数，所以可以选择加减消元法，将两个方程相加，消去未知数y ，可得x=2，从而求出y 的值，故选D
【知识点】加减法解二元一次方程组.
10.（2019天津市，10，3分） 若点A(-3，y 1),B(-2,y 2),C(1,y 3)都在反比例函数x
y 12-
=的图像上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是
(A) y 2<y 1<y 3 (B) y 3 <y 1 <y 2 (C) y 1 <y 2<y 3 (D) y 3 <y 2<y 1
【答案】B 【解析】因为反比例函数
x y 12-
=的图像在二四象限， 如图，将A,B,C 三点在图像上表示，答案为B
【知识点】反比例函数图像的性质.
11.（2019天津市，11，3分）如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC,使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E,连接BE ，下列结论一定正确的是
(A) AC=AD (B) AB ⊥EB (C) BC=DE (D) ∠A=∠EBC
【答案】D
【解析】由旋转的性质可知，AC=CD ，但∠A 不一定是60°，所以不能证明AC=AD ，所以选项A 错误；由于旋转角度不定，所以选项B 不能确定；因为不确定AB 和BC 的数量关系，所以BC 和DE 的关系不能确定；由旋转的的性质可知∠ACD=∠BCE ，AC=DC,BC=EC,所以2∠A=180°-∠ACD ，2∠EBC=180°-∠BCE,从而可证选项D 是正确的.
【知识点】旋转的性质；等边对等角；三角形内角和定理.
12. （2019天津市，12，3分）二次函数y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0）的自变量x 与函数值y 的部分
对应值如下表：
且当21-
=x 时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：（1）abc>0;(2)-2和3是关于x 的方程ax 2+bx+c=t
的两个根；（3）0<m+n<320
,其中，正确结论的个数是
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
【答案】C
【解析】(1)因为当21-
=x 时，与其对应的函数值y>0，由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可以判断对称轴左侧y 随x 的增大而减小，图像开口向上，a>0;由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可得对称轴为直线21=x ，所以b<0;x=0时，y=-2,所以c=-2<0,故abc>0（1）正确；（2）由于对称轴是直线2
1=x ，-2和3是关于对称轴对称的，所以（2）正确；（3）由对称轴是直线21=
x 可得a+b=0,因为x=0时，y=-2，可知c=-2，当21-
=x 时，与其对应的函数值y>0可得38>a ，当x=-1时，m=a-b-2=2a-2>3
10,因为-1和2关于对称轴对称，可得m=n ，所以m+n>
320，故（3）错误，所以答案为C 【知识点】二次函数图像的性质.
二、填空题
13. （2019天津市，13，3分）计算x x •5的结果等于
【答案】x
6 【解析】同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，底数都是x 不变，把指数相加，所以答案为x 6
【知识点】同底数幂的乘法运算.
14. （2019天津市，14，3分）计算））（（1-313+的结果等于
【答案】2
【解析】运用平方差公式可得3-1=2
【知识点】二次根式的乘法运算；平方差公式
15. （2019天津市，15，3分）不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球，3个绿球和2个蓝球，这些球出颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 【答案】7
3 【解析】任意摸一个球，共有7种可能，其中绿色的有3种可能，所以答案为
73 【知识点】概率
16. （2019天津市，16，3分）直线y=2x-1与x 轴交点坐标为 【答案】（2
1，0） 【解析】直线与x 轴的交点即当y=0时，x 的值为
21，所以答案为（21，0） 【知识点】一次函数与二元一次方程，坐标轴的点的坐标的特点.
17. （2019天津市，17，3分）如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，E 是边CD 上一点，连接AE ，折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，若DE=5，则GE 的长为
【答案】13
49 【解析】由正方形ABCD 可得Rt △ADE,由于AD=12,DE=5，由勾股定理可得AE=13。

因为折叠可知，BF 垂直平分AG ，所以∠ABF=∠DAE,又因为AB=AD ，∠BAD=∠DAE=90°，可以证明△ABF ≌△DAE ，得出AF=DE=5，设BF,AE 交于点M ，根据sin ∠FAM=sin ∠EAD 可得AM=1360，由于折叠可知MG=AM=1360，从而可求得GE=13-1360-1360=13
49. 【知识点】折叠的性质；勾股定理；三角形全等；解直角三角形.
18. （2019天津市，18，3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC 的顶点A 在格点上，B 是小正方形边的中点，∠ABC=50°，∠BAC=30°，经过点A,B 的圆的圆心在边AC 上，
（1）线段AB 的长等于 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P ，使其满足∠PAC=∠PBC=∠PCB ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不需要证明）
【答案】（1）（2）如图，取圆与网格线的交点E,F 连接EF 与AC 相交，得圆心O ；AB 与网格线相交于点D ，连接DO 并延长，交O 于点Q ，连接QC 并延长，与点B,O 的连线BO 相交于点P ，连接AP ，则点P 满足∠PAC=∠PBC=∠PCB
【解析】(1)如图，Rt △ABD 中，AD=2，BD=21,由勾股定理可得AB=
（2）由于点A 在格点上，可得直角，根据圆周角是直角所对的弦是直径可以作出直径，又因为圆心在AC 上，所以取圆与网格线的交点E,F 连接EF 与AC 相交，得圆心O ；AB 与网格线相交于点D ，则点D 为AB 的中点，连接DO 并延长，根据垂径定理可得则DO 垂直平分AB ，连接BO ，则∠OAB=∠OBA=30°，因为∠ABC=50°，所以∠OBC=20°，DO 的延长线交O 于点Q ，连接QC 并延长，与点B,O 的连线BO 相交于点P ，连接AP ，则点P 满足∠PAC=∠PBC=∠PCB
【知识点】勾股定理，圆周角的性质，垂径定理
三、解答题
19. （2019天津市，19，8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答.
(1) 解不等式①，得 ；
(2) 解不等式②，得 ；
(3) 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4) 原不等式组的解集为
【思路分析】分别解不等式，解集的公共部分为不等式组的解集
【解题过程】（1）由①得x ≥-2；（2）由②得，x ≤1；
（3）
（4）-2≤x ≤1
【知识点】解不等式（组），在数轴上表示解集.
20. （2019天津市，20，8分）某校为了解初中学生每天在校体育活动时间（单位：h ），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的初中学生人数为 ，图①中的m 的值为 ；
（2）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h 的学生人数.
【思路分析】（1）410%40÷=或820%40÷= m=104025%÷=
（2）有条形统计图可知，2.1h 的人数为40-4-8-15-10=3，
∴这组数据的平均数是1.5.，
∵这组数据中，1.5出现了15次，出现的次数最多
∴这组数据的众数是1.5 ∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1.5，有1.5+1.5=1.52
∴这组数据的中位数是1.5.
∵在统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据中，每天在校体育活动时间大于1h 的学生人数占90%，∴估计该校800名初中学生中，每天在校体育活动时间大于1h 的人数占90%，有80090%=720⨯
∴该校800名初中学生中，每天在校体育活动时间大于1h 的学生人数约为720.
【解题过程】（1）40 25
（2）平均数1.5 众数1.5 中位数1.5
（3）80090%=720⨯∴该校800名初中学生中，每天在校体育活动时间大于1h 的学生人数约为720.
【知识点】扇形统计图，条形统计图，数据的分析，用样本估计整体
21. （2019天津市，21，10分）已知PA,PB 分别与○O 相切于点A,B ，∠APB=80°，C 为上一点，
(1)如图①，求∠ACB 的大小；
(2)如图②，AE 为○O 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若AB=AD ，求∠EAC 的大小
.
【思路分析】(1)如图，由于PA,PB 分别是切线，所以连接OA,OB 可得∠PAO=∠PBO=90°，根据四边形内角和可求∠AOB,根据圆周角和圆心角的关系可求∠ACB 的大小。

（2）如图，连接CE ，由于AE 是直径可知∠ACE=90°，由（1）知∠ACB=50°，可求得∠BCE=40°，因为同弧所对的圆周角相等，所以∠BAE=∠BCE=40°，根据AB=AD ，从而∠ADB=70°，△ACD 中，∠ADB 是外角，所以∠EAC=∠ADB-∠ACB=70°-50°=20°
【解题过程】解：（1）如图，连接OA,OB
∵PA,PB 分别是切线
∴OA ⊥PA,OB ⊥PB,
即∠PAO=∠PBO=90°
∵∠APB=80°
∴在四边形OAPB 中，∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°
∴∠ACB=21
∠AOB=50°
（2）如图，连接CE,
∵AE 为直径，
∴∠ACE=90°，
由（1）知，∠ACB=50°，
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=40°，
∴∠BAE=∠BCE=40°，
∵在△ABD 中，AB=AD,
∴∠ADB=∠ABD=70°
∵△ACD 中，∠ADB 是外角，
∴∠EAC=∠ADB-∠ACB=70°-50°=20°
【知识点】圆的性质，切线的性质，四边形内角和，三角形的外角定理，等腰三角形的性质
22. （2019天津市，22，10分）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A 处测得正东方向上一座灯塔的最高点C 的仰角为31°，再向东继续航行30m 到达B 处，侧的灯塔的最高点C 的仰角为45°，根据测得的数据，
计算这座灯塔的高度CD （结果保留整数）
参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60
【思路分析】在Rt △ACD 中，根据∠CAD 的正切值，可求得AD=tan 31?
CD ；在Rt △BCD 中，根据∠CBD 的正切值,可求得BD=tan 45?
CD CD =,根据AD=BD+AB,列出关系式即可求出CD 的长. 【解题过程】解：如图，根据题意∠CAD=31°，∠CBD=45°，∠CDA=90°，AB=30，
∵在Rt △ACD 中，tan ∠CAD=CD
AD
∴AD=tan 31?CD
∵在Rt △BCD 中，tan ∠CBD=CD
BD ,
∴BD=tan 45?CD CD =，
∵AD=BD+AB, ∴tan 31?CD
=30+CD,∴CD=45.
答：这座灯塔的高度CD 约为45m 。

【知识点】解直角三角形
23. （2019天津市，23，10分）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买的数量是多少，价格均为6元/kg,在乙批发店，一次购买数量不超过50kg 时，价格为7元/kg;一次性购买超过50kg 时，其中有50kg 的价格仍为7元/kg;超出50kg 部分的价格为5元/kg 。

设小王在同一批发店一次性购买苹果的数量为xkg(x>0)
(1) 根据题意填表：
（2）设在甲批发店花费y 1元，在乙批发店花费y 2元，分别求y 1，y 2关于x 的函数解析式；
（3）根据题意填空：
①若小王在甲批发店和在乙批发店一次性购买苹果的数量相同，且花费相同，则它在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kg ；
②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg 则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买花费少；
③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买数量多。

【思路分析】（1）一次购买30kg ，不超过50kg ，∴在甲批发店花费630=180⨯元，在乙批发店花费730=210⨯元；一次购买150kg ，超过50kg ，∴在甲批发店花费6150=900⨯元，在乙批发店花费750+1005=850⨯⨯元；
（2）y 1=6x(x>0);当0<x ≤50时，y 2=7x ；当x>50时，y 2=750+5⨯（x-50)=5x+100
（3）①当y 1=y 2时，6x=5x+100，∴x=100；
②当x=120时，y 1=6x=720；y 2=5x+100=700，因为720>700,所以在乙批发店购买花费少；
③当y 1=360时，x=60；当y 2=360时，x=52，∵60>52，∴在甲批发店购买数量多.
【解题过程】（1）180,210,900,850
（2）y 1=6x(x>0);当0<x ≤50时，y 2=7x ；当x>50时，y 2=750+5⨯（x-50)=5x+100
（3）①100；②乙；③甲
【知识点】一次函数；分类讨论，一元一次方程
24. （2019天津市，24，10分）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A(6，0),点B 在y 轴的正半轴上，∠ABO=30°，矩形CODE 的顶点D,E,C 分别在OA,AB,OB 上，OD=2.
（1）如图①，求点E 的坐标；
（2）将矩形CODE 沿x 轴向右平移，得到矩形C ’O ’D ’E ’,点C,O,D,E 的对应点分别为C ’,O ’,D ’,E ’,设OO ’=t,矩形C ’O ’D ’E ’与△ABO 重叠部分的面积为S
①如图②，当矩形C ’O ’D ’E ’与△ABO 重叠部分为五边形时，C ’E ’,E ’D ’分别与AB 相交于点M,F ，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围； ②当353S ≤≤时，求t 的取值范围（直接写出结果即可）
【思路分析】(1)由题意知OA=6，OD=2，∴AD=4，由矩形CODE 得DE ∥BO ，∴∠AED=∠ABO=30°，∴DE=tan60°
AD=E 的坐标为（2，
（2）①由平移得，O ’C ’=D ’E ’=’D ’=C ’E ’=2，ME ’=OO ’=t ，根据E ’D ’∥BO ，得∠E ’FM=∠
OBA=30°,Rt △ME ’F 中，E ’，
S △ME ’F =211''22ME FE t ==g g ；S 矩形C ’O ’D ’E ’=''''2C O O D ==g
S=S 矩形C ’O ’D ’E ’-S △ME ’F =2t ，因为重叠部分是五边形，所以t 的取值范围是0<t<2；
②当时，2t 2-此时2>，所以重叠部分不是五边形；当S=时，2t 2
-
=，此时2>，所以重叠部分不是五边形；当2<t<4时，重叠部分是四边形如图③所示，当4<t<6时，重叠部分是三角形如图④所示.
当2<t<4时,11('')'')))22t)22
S MO FD O D t t =+=-+-=-g g
当4<t<6时,211''(6t)))22S O A O M t t ==--=-g
所以，当时，S =
-t=4.5,不在2<t<4范围内；
当S=S =-t=2.5；
当2=(6)2
S t -，此时t=
综上所述，t 的取值范围是2.5≤t ≤
【解题过程】(1)∵A （6,0），∴OA=6，
∵OD=2,∴AD=4，由矩形CODE 得DE ∥BO ，
∴∠AED=∠ABO=30°，∴DE=tan60°
AD=
所以点E 的坐标为（2
，
(2)①由平移得，O ’C ’=D ’E ’
=,O ’D ’=C ’E ’=2，ME ’=OO ’=t ，根据E ’D ’∥BO ，得∠E ’FM=∠OBA=30°,Rt △ME ’F 中，E ’
，
S △ME ’F
=211''2
22ME FE t ==g g ；S 矩形C ’O ’D ’E ’
=''''2C O O D ==g S=S 矩形C ’O ’D ’E ’-S △ME ’F
=
2t ，因为重叠部分是五边形，所以t 的取值范围是0<t<2；
②2.5≤t
≤
【知识点】分类讨论；二次函数；多边形的面积
25. （2019天津市，25，10分）已知抛物线y=x 2-bx+c(b,c 为常数，b>0)经过点A （-1,0），点M(m,0)是
x 轴正半轴上的动点，
（1）当b=2时，求抛物线的顶点坐标；
（2）点D(b,y D )在抛物线上，当AM=AD,m=5时，求b 的值； （3）点Q(1b ,2
+y Q )
2QM +
的最小值为4时，求b 的值 【思路分析】（1）∵抛物线y=x 2-bx+c 经过点A （-1,0），∴1+b+c=0
当b=2时，c=-3,所以抛物线的解析式为y=x 2-2x-3，从而可求得顶点坐标为（1，-4）
（2）由(1)知，1+b+c=0，∵点D(b,y D )在抛物线上，∴y D =-b-1，∵b>0,∴b 02
b >>，-b-1<0,∴D(b,-b-1)在第四象限，且在抛物线对称轴2
b x =的右侧。

如图，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，则E （b ，0），∴AE=b+1=DE,所以
1)b +，由于m=5，∴AM=6，所以可求得
b=
（3）∵点Q(
1
b,
2
+
y Q)在抛物线上，∴y Q=2
113
)()1
2224
b
b b b b
+-+--=--
（，可知点Q（
1
b,
2
+3
-
24
b
-）
在第四象限，且在直线x=b的右侧，
∵
2
2
AM QM
+的最小值为
332
，A(-1，0)∴取点N(0，1)，如图，
过点Q作QH⊥x轴于H，作QG⊥AN于G,QG与x轴交于点M，则H（
1
b,
2
+
0），∠GAM=45°，∴GM=
2
AM，2QM
+=2AM QM
+
（）
2
最小时为2QG的长。

∵M（m,0),∴AM=m+1,MH=
1
b
2
m
+-,QH=
3
24
b
+,∵MH=QH,∴
1
b
2
m
+-=
3
24
b
+，∴m=
1
-
24
b
，∴AM=
13
-1
2424
b b
+=+，
3
)
24
b
=+
（2QM
+33
)2())
24244
b b
+++=
（，∴b=4
【解题过程】(1)∵抛物线y=x2-bx+c经过点A（-1,0），
∴1+b+c=0，∴c=-1-b
当b=2时，c=-3,
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3，
∴顶点坐标为（1，-4）
（2）由(1)知，c=-1-b，
∵点D(b,y D)在抛物线上，
∴y D=-b-1，
∵b>0,∴
b0
2
b
>>
，-b-1<0,
∴D(b,-b-1)在第四象限，且在抛物线对称轴2
b
x=
的右侧。

如图，过点D作DE⊥x轴于E，则E（b，0），
∴AE=b+1=DE,所以
=
1)
b+，
∵m=5，
∴AM=5-（-1）=6，
∴
1) b+
∴
b=
（3）∵点Q(
1
b,
2
+
y Q)在抛物线上，
∴yQ=
2
113
)()1
2224
b
b b b b
+-+--=--
（
，
∴点Q（
1
b,
2
+
3
-
24
b
-
）在第四象限，且在直线x=b的右侧，
2QM
+
的最小值为，A(-1，0)
∴取点N(0，1)，如图，
过点Q作QH⊥x轴于H，作QG⊥AN于G,QG与x轴交于点M，则H（
1
b,
2
+
0），∠GAM=45°，∴
GM=2AM，∵M（m,0),∴AM=m+1,MH=
1
b
2
m
+-
,QH=
3
24
b
+
,
∵MH=QH,∴
1
b
2
m
+-
=
3
24
b
+
，
∴m=
1
-
24
b
，
∴AM=
13
-1
2424
b b
+=+
，
3
)
24
b
=+
（
2QM +
=
33)))2424b b +++=（，∴b=4
【知识点】二次函数的性质；点的坐标特点；垂线段最短。