第4章粘性流体动力学基础
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以下两章的任务是： • 介绍粘性流体运动的基本概念、流动现象和流 动特征 • 建立控制粘性流体运动的基本方程 • 得到解决粘性流体运动问题的基本思路、方法 和途径
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EXIT
4.1、流体的粘性及其对流动的影响
• 流体的粘滞性是指，流体在运动状态下抵抗剪 切变形能力。
• 流体的剪切变形是指流体质点之间出现相对运 动。因此流体的粘滞性是指抵抗流体质点之间 的相对运动能力。
第4章 粘性流体动力学基础 4.1、流体的粘性及其对流动的影响 4.2、雷诺实验、层流与湍流 4.3、粘性流体的应力状态 4.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系） 4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程 4.6、流动相似及相似准则*
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EXIT
工程中遇到的问题大多是粘性流体运动问题， 实际的粘性流体运动现象远比理想流复杂，从而控 制粘性流体运动的基本方程及其求解也相对复杂
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EXIT
4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程
Du Dt
f x
p x
1 3
x
u x
v y
w z
2u
Dv Dt
f
y
p y
1 3
y
u x
v y
w z
2v
4.5、粘性流体运动方程--- Bernoulli积分
2、伯努利(Bernoulli)积分
伯努利家族（瑞士）前后四代，数十人，形成历史 上罕见的数学大家族。其中， Bernoulli, Nocholas(尼古 拉斯.伯努利，1623-1708 ），瑞士伯努利数学家族第一 代。Bernoulli, Johann（约翰.伯努利，1667-1748 ），伯 努利数学家族第二代，提出著名的虚位移原理。 Bernoulli, Daniel（丹尼尔.伯努利，1700-1782 ），伯努 利数学家族第三代， Johann.伯努利的儿子，著有《流 体动力学》（1738），将微积分方法运用到流体动力学 中，提出著名的伯努利方程。
(xyz )
Du Dt
17/60
EXIT
4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程
或： 同理：
Du Dt
f x
xx
x
yx
y
zx
z
Dv Dt
f y
xy
x
yy
y
zy
z
Dw Dt
f z
xz
2 z 2
为拉普拉斯算子
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EXIT
4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程
与第二章一样，这个方程中速度的随体导数可以加以
分解，把涡量分离出来，写成格罗米柯形式的方程也称为
兰姆型方程。这样有利于研究流体的有旋性：
V t
V2 2
2
V
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EXIT
4.5、粘性流体运动方程--- Bernoulli积分
将定常、不可压、彻体力为重力（Ω =gy）条件下的格罗
米柯方程沿流线
ds
投影得：
ds
p
gy
V2 2
V
ds
• 在静止状态下，流体不能承受剪力。但是在运 动状态下，流体可以承受剪力，而且对于不同 种流体所承受剪力大小是不同的。
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4.1、流体的粘性及其对流动的影响 粘性流体抵抗剪切变形的能力，可通过流层间
的剪切力表现出来（这个剪切力称为内摩擦力）。 粘性流体在流动过程中必然要克服内摩擦力做功， 因此流体粘滞性是流体发生机械能损失的根源。
牛顿的内摩擦定律（Newton，1686年）
F=µAU/h
U F
h
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EXIT
4.1、流体的粘性及其对流动的影响 流层之间的内摩擦力与接触面上的压力无关。 设 表示单位面积上的内摩擦力（粘性切应力）， 则
F U
Ah
µ-----流体的动力粘性系数（单位：Ns/m2=Pa.s）
=µ/---流体的运动粘性系数（单位：m2/s ）
p xx yy zz
3
（3）在粘性运动流体中，任意面上的切应力一般不为零。
xy yx 0
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4.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）
• Stokes（1845年）根据牛顿内摩擦定理的启发（粘性流体 作直线层状流动时，层间切应力与速度梯度成正比），
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EXIT
4.3、粘性流体的应力状态
关于应力的几个要点： （1）在理想流体及静止流体中不存在切应力，三个法向应力相
等（各向同性），等于该点压强的负值。即：
p xx yy zz
（2）在粘性运动流体中，任意一点的任何三个相互垂直面上的 法向应力之和为一个不变量，并定义此不变量的平均值为 该点的平均压强的负值。即：
zx z(xy)
z
仍然设单位质量彻体力分量为：fx , fy , fz , 按照牛顿第二定律：
Fx
m
Du Dt
Du 是欧拉法表示的加速度或速度的物质导数。 Dt
f x
(xyz)
xx x
(xyz)
yx y
(xyz)
zx z
(xyz)
4.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）
对于不可压缩流体，上述应力应变率关系可
u x
yy
p
2
v y
zz
p 2
w z
xy
v x
u y
本构关系满足： p xx yy zz
3
yz
f
1
p
V
事实上速度随体导数中迁移加速度项也可以直接应用向量
导数运算公式得到：
V
V
1
(V
V )
V
(
V )
2
定常、不可压、彻体力有势时格罗米柯方程可化为：
p
V2 2
V
2V
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水= 1.13910-6 (m2/s) 空气= 1.46110-5 (m2/s)
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4.1、流体的粘性及其对流动的影响 一般流层速度分布不是直线，如图所示。
y
u
0
du
dy
du/dy ---- 表示单位高度流层的速度增量，称为
速度梯度
6/60
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4.1、流体的粘性及其对流动的影响
Dw Dt
f z
p z
1 3
z
u x
v y
w z
2w
其中
2
是拉普拉斯算子： 2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
可见，对于理想流右端的粘性项为零，方程化为欧拉方程。
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4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程
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EXIT
4.3、粘性流体的应力状态
上述九个应力分量可写为：
xx xy xz
yx yy yz
zx zy
zz
注：有的教材将法向应力记为:
xx xx , y y y y, zz zz
这九个应力分量并不全部独力，其中的六个切向应力是两两相等
v y
w) 2
z
w z
xy
v x
u y
,
yz
w y
v z
,
zx
u
z
w x
• 这个关系将六个应力与微团的变形率直接联系（线性关
系）。满足上述关系的流体称为牛顿流体。
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4.3、粘性流体的应力状态 1、理想流体和粘性流体作用面受力差别
• 静止或理想流体内部任意面上只有法向力，无切向 力
• 粘性流体内部任意面上力既有正向力，也有切向力
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4.3、粘性流体的应力状态 2、粘性流体中的应力状态
• 在粘性流体运动中，过任意一点任意方向单位面 积上的表面力不一定垂直于作用面，可分解为法 向应力和切向应力
速度梯度 du/dy 物理上也表示流体质点剪切变形速度或 角变形率。
如图所示：
u+du
dy
d
u dudt
ddy dudt d du
dt dy
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4.1 流体的粘性及其对流动的影响
流体切应力与速度梯度的一般关系为：
1
2 3
n
A
B
du dy
4
1
的，所以独立的一共是三个法向的，三个切向的。
xy y x xz zx y z zy
这个结论可利用对微元六面体的动量矩定理得到证明，思路是： 一对剪应力对微元产生的力矩将与彻体力力矩和微元质量的动量 矩平衡，而后二者都正比于微元的体积乘以微距离，是一个高阶 小量可略去，从而得到这一对剪应力相等。
x面 :
x xxi xy j xzk
y面: y yxi yy j yzk
z面: z zxi zy j zzk
• 如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么过该 点任意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。
0
du dy
1 . =0+µdu/dy，binghan流体，泥浆、血浆、牙膏等 2 . =µ（du/dy）0.5 ，伪塑性流体，尼龙、橡胶、油漆等
3 . =µdu/dy ，牛顿流体，水、空气、汽油、酒精等
4 . =µ(du/dy)2，胀塑性流体，生面团、浓淀粉糊等
5 . ＝0，µ＝0，理想流体，无粘流体。
作用在ABCD和A’B’C’D’两个侧面的法
向力差是：
xx x(yz)
x
作用在ABB’A’和CDC’D’两个侧面的切
向力差是：
yx y(xz)
y
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4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程
作用在ADA’D’和BCB’C’两个侧面的切向力差是：
w y
v z
zx
u z
w x
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4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程
1、流体运动的基本方程 利用牛顿第二定理推导以应力形式表示的流体运动微分方
程。像推导欧拉方程一样，在流场中取一个微元六面体进行分 析，以x方向为例，建立运动方程。现在由于是粘性流体，作用 在中心P点处不仅有法向应力，而且还有切向应力，控制面上的 应力可用中心点处应力泰勒召开表示。
x
yz
y
zz
z
将反映粘性应力与应变率关系的广义牛顿内摩擦定理代入上 式右端，即得到粘性流动的运动方程 N－S 方程：
（纳维Navier, C. L. M. H. 1785-1836, 法国力学家、工程师； 斯托克斯Stokes, G. G. 1819-1903, 英国力学家、数学家）
当不可压时，根据连续方程： u v w 0 x y z
则不可压粘流的 N－S方程写为：
Du Dt
f x
p x
2u
Dv Dt
f y
p y
2v
Dw Dt
f z
p z
2w
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4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程
• 如果作用面的法线方向与坐标轴重合，则合应力
可分解为三个分量，分别为法应力分量和切应力
分量
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EXIT
4.3、粘性流体的应力状态
• 由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位和投 影方向表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法线方向， 第二个下标表示应力分量的投影方向。
• 从而三个面的合应力可表示为
在一些合理的假设下将牛顿内摩擦定律进行推广，提出
广义牛顿内摩擦定理----应力应变率关系（本构关系）：
xx
p
2 3
( u
x
v y
w ) z
2
u x
yy
p
2 3
( u
x
v y
w ) z
2
v y
zz
p
2 3
( u
x
用 三个方向的单位向量 i 、j、k 分别乘上三式并相加，
可得不可压粘流 N-S方程比较简捷的向量形式：
DV
f
1
p
V
Dt
其中
V ui vj wk
为速度分量
i
j
k
x y z
为哈密顿算子
2
2 x 2
2 y 2
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4.1、流体的粘性及其对流动的影响
• 流体的粘滞性是指，流体在运动状态下抵抗剪 切变形能力。
• 流体的剪切变形是指流体质点之间出现相对运 动。因此流体的粘滞性是指抵抗流体质点之间 的相对运动能力。
第4章 粘性流体动力学基础 4.1、流体的粘性及其对流动的影响 4.2、雷诺实验、层流与湍流 4.3、粘性流体的应力状态 4.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系） 4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程 4.6、流动相似及相似准则*
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工程中遇到的问题大多是粘性流体运动问题， 实际的粘性流体运动现象远比理想流复杂，从而控 制粘性流体运动的基本方程及其求解也相对复杂
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4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程
Du Dt
f x
p x
1 3
x
u x
v y
w z
2u
Dv Dt
f
y
p y
1 3
y
u x
v y
w z
2v
4.5、粘性流体运动方程--- Bernoulli积分
2、伯努利(Bernoulli)积分
伯努利家族（瑞士）前后四代，数十人，形成历史 上罕见的数学大家族。其中， Bernoulli, Nocholas(尼古 拉斯.伯努利，1623-1708 ），瑞士伯努利数学家族第一 代。Bernoulli, Johann（约翰.伯努利，1667-1748 ），伯 努利数学家族第二代，提出著名的虚位移原理。 Bernoulli, Daniel（丹尼尔.伯努利，1700-1782 ），伯努 利数学家族第三代， Johann.伯努利的儿子，著有《流 体动力学》（1738），将微积分方法运用到流体动力学 中，提出著名的伯努利方程。
(xyz )
Du Dt
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4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程
或： 同理：
Du Dt
f x
xx
x
yx
y
zx
z
Dv Dt
f y
xy
x
yy
y
zy
z
Dw Dt
f z
xz
2 z 2
为拉普拉斯算子
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4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程
与第二章一样，这个方程中速度的随体导数可以加以
分解，把涡量分离出来，写成格罗米柯形式的方程也称为
兰姆型方程。这样有利于研究流体的有旋性：
V t
V2 2
2
V
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4.5、粘性流体运动方程--- Bernoulli积分
将定常、不可压、彻体力为重力（Ω =gy）条件下的格罗
米柯方程沿流线
ds
投影得：
ds
p
gy
V2 2
V
ds
• 在静止状态下，流体不能承受剪力。但是在运 动状态下，流体可以承受剪力，而且对于不同 种流体所承受剪力大小是不同的。
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4.1、流体的粘性及其对流动的影响 粘性流体抵抗剪切变形的能力，可通过流层间
的剪切力表现出来（这个剪切力称为内摩擦力）。 粘性流体在流动过程中必然要克服内摩擦力做功， 因此流体粘滞性是流体发生机械能损失的根源。
牛顿的内摩擦定律（Newton，1686年）
F=µAU/h
U F
h
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4.1、流体的粘性及其对流动的影响 流层之间的内摩擦力与接触面上的压力无关。 设 表示单位面积上的内摩擦力（粘性切应力）， 则
F U
Ah
µ-----流体的动力粘性系数（单位：Ns/m2=Pa.s）
=µ/---流体的运动粘性系数（单位：m2/s ）
p xx yy zz
3
（3）在粘性运动流体中，任意面上的切应力一般不为零。
xy yx 0
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4.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）
• Stokes（1845年）根据牛顿内摩擦定理的启发（粘性流体 作直线层状流动时，层间切应力与速度梯度成正比），
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4.3、粘性流体的应力状态
关于应力的几个要点： （1）在理想流体及静止流体中不存在切应力，三个法向应力相
等（各向同性），等于该点压强的负值。即：
p xx yy zz
（2）在粘性运动流体中，任意一点的任何三个相互垂直面上的 法向应力之和为一个不变量，并定义此不变量的平均值为 该点的平均压强的负值。即：
zx z(xy)
z
仍然设单位质量彻体力分量为：fx , fy , fz , 按照牛顿第二定律：
Fx
m
Du Dt
Du 是欧拉法表示的加速度或速度的物质导数。 Dt
f x
(xyz)
xx x
(xyz)
yx y
(xyz)
zx z
(xyz)
4.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）
对于不可压缩流体，上述应力应变率关系可
u x
yy
p
2
v y
zz
p 2
w z
xy
v x
u y
本构关系满足： p xx yy zz
3
yz
f
1
p
V
事实上速度随体导数中迁移加速度项也可以直接应用向量
导数运算公式得到：
V
V
1
(V
V )
V
(
V )
2
定常、不可压、彻体力有势时格罗米柯方程可化为：
p
V2 2
V
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水= 1.13910-6 (m2/s) 空气= 1.46110-5 (m2/s)
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4.1、流体的粘性及其对流动的影响 一般流层速度分布不是直线，如图所示。
y
u
0
du
dy
du/dy ---- 表示单位高度流层的速度增量，称为
速度梯度
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4.1、流体的粘性及其对流动的影响
Dw Dt
f z
p z
1 3
z
u x
v y
w z
2w
其中
2
是拉普拉斯算子： 2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
可见，对于理想流右端的粘性项为零，方程化为欧拉方程。
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4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程
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4.3、粘性流体的应力状态
上述九个应力分量可写为：
xx xy xz
yx yy yz
zx zy
zz
注：有的教材将法向应力记为:
xx xx , y y y y, zz zz
这九个应力分量并不全部独力，其中的六个切向应力是两两相等
v y
w) 2
z
w z
xy
v x
u y
,
yz
w y
v z
,
zx
u
z
w x
• 这个关系将六个应力与微团的变形率直接联系（线性关
系）。满足上述关系的流体称为牛顿流体。
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4.3、粘性流体的应力状态 1、理想流体和粘性流体作用面受力差别
• 静止或理想流体内部任意面上只有法向力，无切向 力
• 粘性流体内部任意面上力既有正向力，也有切向力
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4.3、粘性流体的应力状态 2、粘性流体中的应力状态
• 在粘性流体运动中，过任意一点任意方向单位面 积上的表面力不一定垂直于作用面，可分解为法 向应力和切向应力
速度梯度 du/dy 物理上也表示流体质点剪切变形速度或 角变形率。
如图所示：
u+du
dy
d
u dudt
ddy dudt d du
dt dy
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4.1 流体的粘性及其对流动的影响
流体切应力与速度梯度的一般关系为：
1
2 3
n
A
B
du dy
4
1
的，所以独立的一共是三个法向的，三个切向的。
xy y x xz zx y z zy
这个结论可利用对微元六面体的动量矩定理得到证明，思路是： 一对剪应力对微元产生的力矩将与彻体力力矩和微元质量的动量 矩平衡，而后二者都正比于微元的体积乘以微距离，是一个高阶 小量可略去，从而得到这一对剪应力相等。
x面 :
x xxi xy j xzk
y面: y yxi yy j yzk
z面: z zxi zy j zzk
• 如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么过该 点任意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。
0
du dy
1 . =0+µdu/dy，binghan流体，泥浆、血浆、牙膏等 2 . =µ（du/dy）0.5 ，伪塑性流体，尼龙、橡胶、油漆等
3 . =µdu/dy ，牛顿流体，水、空气、汽油、酒精等
4 . =µ(du/dy)2，胀塑性流体，生面团、浓淀粉糊等
5 . ＝0，µ＝0，理想流体，无粘流体。
作用在ABCD和A’B’C’D’两个侧面的法
向力差是：
xx x(yz)
x
作用在ABB’A’和CDC’D’两个侧面的切
向力差是：
yx y(xz)
y
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4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程
作用在ADA’D’和BCB’C’两个侧面的切向力差是：
w y
v z
zx
u z
w x
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4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程
1、流体运动的基本方程 利用牛顿第二定理推导以应力形式表示的流体运动微分方
程。像推导欧拉方程一样，在流场中取一个微元六面体进行分 析，以x方向为例，建立运动方程。现在由于是粘性流体，作用 在中心P点处不仅有法向应力，而且还有切向应力，控制面上的 应力可用中心点处应力泰勒召开表示。
x
yz
y
zz
z
将反映粘性应力与应变率关系的广义牛顿内摩擦定理代入上 式右端，即得到粘性流动的运动方程 N－S 方程：
（纳维Navier, C. L. M. H. 1785-1836, 法国力学家、工程师； 斯托克斯Stokes, G. G. 1819-1903, 英国力学家、数学家）
当不可压时，根据连续方程： u v w 0 x y z
则不可压粘流的 N－S方程写为：
Du Dt
f x
p x
2u
Dv Dt
f y
p y
2v
Dw Dt
f z
p z
2w
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4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程
• 如果作用面的法线方向与坐标轴重合，则合应力
可分解为三个分量，分别为法应力分量和切应力
分量
10/60
EXIT
4.3、粘性流体的应力状态
• 由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位和投 影方向表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法线方向， 第二个下标表示应力分量的投影方向。
• 从而三个面的合应力可表示为
在一些合理的假设下将牛顿内摩擦定律进行推广，提出
广义牛顿内摩擦定理----应力应变率关系（本构关系）：
xx
p
2 3
( u
x
v y
w ) z
2
u x
yy
p
2 3
( u
x
v y
w ) z
2
v y
zz
p
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( u
x
用 三个方向的单位向量 i 、j、k 分别乘上三式并相加，
可得不可压粘流 N-S方程比较简捷的向量形式：
DV
f
1
p
V
Dt
其中
V ui vj wk
为速度分量
i
j
k
x y z
为哈密顿算子
2
2 x 2
2 y 2