三湘名校2018届高三高考押题文数试题(3)

三湘名校2018届高三高考押题文数试题（3）
文数（3）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}2
20A x x x =-≤，(){}
2log 2,B y y x x A ==+∈，则A B I 为（ ）
A ．()0,1
B ．[]0,1
C ．()1,2
D ．[]1,2 2．已知i 是虚数单位，2017
2i i 2i
z -=
-+，且z 的共轭复数为z ，则z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．已知平面向量a r ，b r 的夹角为3π
，且1a =，12
b =r ，则2a b -=r r （ ）
A ．1 B
．2 D ．3
2
4．已知命题p ：“关于x 的方程2
40x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，
则实数m 的取值范围是（ ）
A ．[)1,+∞
B ．()1,+∞
C ．(),1-∞
D ．(],1-∞
5．已知实数x ，y 满足30,
260,320,x y x y x y ++>⎧⎪
-+>⎨⎪--<⎩
则z x y =-的最小值为（ ）
A ．0
B ．1-
C ．3-
D ．5-
6．若[]x 表示不超过x 的最大整数，则图中的程序框图运行之后输出的结果为（ ） A ．48920 B ．49660 C ．49800 D ．
51867
7．数列{}n a 满足12a =，2
1n n a a +=（0n a >），则n a =（ ）
A ．2
10
n - B ．1
10
n - C ．1
210n - D ．1
22
n -
8．《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（ ）
A ．2
B ．4
C ．5
D ．6
9．某几何体的正视图和侧视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C （如图（2）），其中113O A =，
111O C =，则该几何体的侧面积及体积为（ ）
A ．24，．32，．48， D ．64，
10．已知函数()3sin cos f x x x ωω=-2
4cos x ω（0ω>）的最小正周期为π，且()1
2
f θ=
，则2f πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．52-
B ．92-
C ．112-
D ．132
- 11．已知双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点
P 在双曲线的右支上，且
12PF PF λ=（1λ>），120PF PF ⋅=uuu r uuu r
λ=（ ）
A ．2+．2．12．已知函数()245,1,ln ,1,
x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩若关于x 的方程()1
2f x kx =-恰有四个不相等的实数根，则实
数k 的取值范围是（ ）
A
．12⎛ ⎝ B
．12⎡⎢⎣ C
．1,2e ⎛ ⎝⎦ D
．1,2e ⎛ ⎝⎭
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在锐角ABC V 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，
若2s i
n 3a B =，则3c o s 2A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
．
14．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，
E ，
F 分别是1CC ，AD 的中点，那么异面直线1D E 和1A F 所成角的余弦值等于 ．
15．若x ，y 都是正数，且3x y +=，则
41
11
x y +++的最小值为 ． 16．已知函数()221,0,
2,0,
x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--≤⎪⎩若函数()()3g x f x m =+有3个零点，则实数m 的取值范围
是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c
()
cos 2cos C b A =. （1）求角A 的大小；
（2）已知等差数列{}n a 的公差不为零，若1sin 1a A =，且2a ，4a ，8a 成等比数列，求14n n a a +⎧
⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项
和n S .
18．如图，将直角三角形PAO 绕直角边PO 旋转构成圆锥，四边形ABCD 是O e 的内接矩形，M 为母线
PA 的中点，2PA AO =.
（1）求证：PC ∥平面MBD ；
（2）当2AM CD ==时，求点B 到平面MCD 的距离.
19．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下： 表一：男生
表二：女生
（1）从表二的非优秀学生中随机抽取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率； （2）由表中统计数据填写下面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
参考公式：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
参考数据：
20．已知椭圆C ：22
221y x a b +=（0a b >>）的上、下两个焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于
M ，
N 两点，且2MNF V 的周长为8，椭圆C （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知O 为坐标原点，直线l ：y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M '，N '是直线l 上的两
点，且1F M l '⊥，2F N l '⊥，求四边形1
2FM N F ''面积S 的最大值. 21．已知函数()()1e x f x bx a =-+（a ，R b ∈）.
（1）如果曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为y x =，求a ，b 的值；
（2）若1a <，2b =，关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，求a 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l
的参数方程为1,212
x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，圆C
的极坐标方程为ρ=（1）求直线l 被圆C 截得的弦长；
（2）若M 的坐标为()1,0-，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求MA MB ⋅的值. 23．选修4-5：不等式选讲
已知()1f x x x a =---（a 为常数）. （1）若()()21f f a <-，求实数a 的取值范围；
（2）若()f x 的值域为A ，且[]2,3A ⊆-，求实数a 的取值范围.
文科数学（Ⅲ）答案一、选择题
1-5:DAABD 6-10:CDBCB 11、12：BA
二、填空题
13
．-．
2
5
15．
9
5
16．
1
,0
3
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
三、解答题
17．解：（1
cos2sin
A C B
=cos cos
A C A
，从而可得()2sin cos
A C
B A
+=
2sin cos
B B A
=.
又B为三角形的内角，所以sin0
B≠
，于是cos A=，
又A为三角形的内角，所以
6
A
π
=.
（2）设{}n a的公差为d，因为1sin1
a A=，且
2
a，
4
a，
8
a成等比数列，所以
1
1
2
sin
a
A
==，且2
428
a a a
=⋅，所以()()()
2
111
37
a d a d a d
+=++，且0
d≠，解得2
d=，
所以2
n
a n
=，所以
()
1
41
=
+1
n n
a a n n
+
=
11
1
n n
-
+
，
所以
111
1
223
n
S
⎛⎫⎛⎫
=-+-+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
1111
341
n n
⎛⎫⎛⎫
-++-=
⎪ ⎪
+
⎝⎭⎝⎭
L
1
1
11
n
n n
-=
++
.
18．（1）证明：因为四边形ABCD为矩形，所以连接AC，则BD与AC相交于圆心O.
连接MO，因为O，M分别为AC，PA的中点，
所以PC MO
∥.
又MO⊂平面MBD，PC⊄平面MBD，
所以PC∥平面MBD.
（2）解：当2
AM CD
==时，224
PA AM AO
===，所以2
AO BO AB
===，所以AOB
V是等边三角形.
连接PD，则PA PD AC
===4
BD=
，易求得AD CM
==AM CD
=，DM DM
=，所以AMD CDM
≌
V V，
所以CDM AMD S S ==
V V 12PAD S =
V .
又点M 到平面BCD 的距离12PO =
=BCD S =V 1
3
B CDM CDM V S -=⨯⨯V 点B 到平面MCD 的距
离13M BCD BCD V S -==
⨯V B 到平面MCD 19．解：（1）设从高一年级男生中抽出m 人，则45
500500400
m =+，25m =，则从女生中抽取20人， 所以251555x =--=，201532y =--=.
表二中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a ，b ，c ，尚待改进的2人为A ，B ，则从这5人中任选2人的所有可能结果为(),a b ，(),a c ，(),b c ，(),A B ，(),a A ，(),a B ，(),b A ，(),b B ，(),c A ，
(),c B ，共10种，
设事件C 表示“从表二的非优秀学生中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C 的结果为(),a A ，
(),a B ，(),b A ，(),b B ，(),c A ，(),c B ，共6种，所以()63105P C =
=，即所求概率为35
. （2）22⨯列联表如下：
因为10.90.1-=，()
2
2.7060.10P K ≥=，
而()2
2
45155151030152520
K ⨯⨯-⨯==
⨯⨯⨯224515530152520⨯⨯=⨯⨯⨯9 1.125 2.7068=<，所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
20．解：（1）因为2MNF V 的周长为8，所以48a =，所以2a =.又因为
2
c a =，所以c =
1b ==，
所以椭圆C 的标准方程为2
2
14
y x +=.
（2）将直线l 的方程y kx m =+代入到椭圆方程2
2
14
y x +=中，得()2242k x kmx +++240m -=. 由直线与椭圆仅有一个公共点，知(
)222
444k m k
∆=-+()2
40m
-=，化简得224m k =+.
设1d FM '==
22d F N '==
，
所以2
22
12d d ⎛⎫+=+
()2
22231m k +⎛⎫==+()2
2271k k ++，
12d d =
=
22
311
m k -=+，
所以
M N ''=
=
=因为四边形1
2FM N F ''的面积()121
2
S M N d d ''=+， 所以2
2
2
11241
k S k =⨯⨯+()2212122d d d d ++ ()
()
222
2
34161k k k
+=
+.
令2
1k t +=（1t ≥），则
()()22
314116t t S t --+⎡⎤⎣⎦
=
()()21213t t t -+==()2
2
12231212
t t t +-=+2111333t ⎡⎤
⎛⎫--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
， 所以当113
t
=
时，2
S 取得最大值为16，故max 4S =，即四边形1
2FM N F ''面积的最大值为4. 21．解：（1）函数()f x 的定义域为R ，
()()e 1e x x f x b bx '=+-()1e x bx b =+-.
因为曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为y x =，
所以()()
00,01,f f =⎧⎪⎨'=⎪⎩得10,11,a b -=⎧⎨-=⎩解得1,2.a b =⎧⎨=⎩
（2）当2b =时，()()21e x f x x a =-+（1a <）， 关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，
等价于关于x 的不等式()21e 0x x a ax -+-<的整数解有且只要一个.构造函数
()()21e x F x x a ax =-+-，R x ∈，所以()()e 21x F x x a '=+-.
①当0x ≥时，因为e 1x
≥，211x +≥，所以()e 211x x +≥，又1a <，所以()0F x '>，所以()F x 在()
0,+∞内单调递增.
因为()010F a =-+<，()1e>0F =，所以在[)0,+∞上存在唯一的整数00x =使得()00F x <，即
()00f x ax <.
②当0x <时，为满足题意，函数()F x 在(),0-∞内不存在整数使()0F x <，即()F x 在(],1-∞-上不存在整数使()0F x <.
因为1x ≤-，所以()e 210x x +<.
当01a ≤<时，函数()0F x '<，所以()F x 在(),1-∞-内为单调递减函数，所以()10F -≥，即
3
12e
a ≤<； 当0a <时，()3
120e
F a -=-
+<，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围为3,12e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
.
22．解：（1）将直线l 的参数方程化为普通方程可得10x +=，而圆C 的极坐标方程可化为2
8ρ=，化为普通方程可得2
2
8x y +=， 圆心C 到直线l 的距离为1
2
d =
=，
故直线l 被圆C 截得的弦长为=
（2
）把1,12
x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入228x y +=，可得
270t -=.（*）
设1t ，2t 是方程（*）的两个根，则127t t =-， 故12MA MB t t ⋅=7=.
23．解：（1）由()()21f f a <-可得1211a a --<--，即122a a -+->.（*） ①当1a <时，（*）式可化为()()122a a -+->，解之得12a <
，所以1
2
a <； ②当12a ≤≤时，（*）式可化为()()122a a -+->，即12>，所以a ∈∅； ③当2a >时，（*）式可化为()()122a a -+->，解之得52a >，所以52
a >. 综上知，实数a 的取值范围为1,
2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭U 5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
. （2）因为()1f x x x a =---()()11x x a a ≤---=-，所以()11a f x a --≤≤-，
由条件只需12,
13,
a a ⎧--≥-⎪⎨
-≤⎪⎩即12a -≤，
解之得13a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,3-.。