人教版高三数学第二学期平面向量多选题单元专项训练学能测试试题

人教版高三数学第二学期平面向量多选题单元专项训练学能测试试题
一、平面向量多选题
1．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2
πθθ⎛⎫
≠
⎪⎝
⎭
角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系中，若
12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y =.在
23
π
θ=
的反射坐标系中，()1,2a =，()2,1b =-.则下列结论中，正确的是（ ）
A ．()1,3a b -=-
B ．5a =
C ．a b ⊥
D ．a 在b 上的投影为37
【答案】AD 【分析】
123a b e e -=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；3a =，故B 错误；3
2
a b ⋅=-，故C 错误；由于a 在b 上的投影为3
3727a b b
-
⋅==，故D 正确.
【详解】
()(
)
121212223a b e e e e e e -=+--=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；
()
2
12
2254cos
33
a e e π
=
+=+=B 错误；(
)()
2
2
121211223
222322
a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=-
，故C 错误；
由于(
)
2
22
27b e e =-
=a 在b 上的投影为3
27a b b
-
⋅==，故D 正确。

故选：AD 【点睛】
本题主要考查新定义，考查向量的坐标运算和模的计算，考查向量的投影的计算，考查向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．设O ，A ，B 是平面内不共线的三点，若()1,2,3n OC OA nOB n =+=，则下列选项正确的是（ ）
A ．点1C ，2C ，3C 在同一直线上
B ．123O
C OC OC ==
C ．123OC OB OC OB OC OB ⋅<⋅<⋅
D ．123OC OA OC OA OC OA ⋅<⋅<⋅
【答案】AC 【分析】
利用共线向量定理和向量的数量积运算，即可得答案； 【详解】
()
12212()C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，()()2332
32C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，所以1
2
23C C
C C =，A 正确.
由向量加法的平行四边形法则可知B 不正确.
21OC OA OC OA OA OB ⋅-⋅=⋅，无法判断与0的大小关系，而()
2
1OC OB OA OB OB OA OB OB ⋅=+⋅=⋅+，
()2
2
22OC OB OA OB OB OA OB OB
⋅=+⋅=⋅+，
同理2
33OC OB OA OB OB ⋅=⋅+，所以C 正确，D 不正确. 故选：AC . 【点睛】
本题考查向量共线定理和向量的数量积，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
3．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A ．已知A 、
B 、
C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =
C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=
D ．已知()1
2a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 【答案】AC
【分析】
根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】
解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；
由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以
||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；
设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而
2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；
()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a
与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；
故选：AC ． 【点睛】
本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．
4．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，
则（ ）
A ．1
2
AF AD AB =+ B ．1
()2
EF AD AB =
+ C ．2133
AG AD AB =
- D ．3BG GD =
【答案】AB 【分析】
由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+
、1
()2
EF AD AB =+、21
33AG AD AB =
+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 11
22
AF AD DF AD DC AD AB =+=+
=+，即A 正确
11
()()22
EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确
连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示
由其性质有||||1
||||2
GF GE AG CG == ∴211121
()333333
AG AE AC AD AB BC AD AB =
+=++=+，即C 错误 同理21212
()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =
+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1
()3
GD AD AB =-
∴2BG GD =，即D 错误 故选：AB 【点睛】
本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系
5．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．11
22
AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133
BM BA BD =
+ D ．12
33
CM CA CD =
+
【答案】ABD 【分析】
根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】
解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得11
22
AD AB AC =
+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，
2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；
对于C 选项，()
2212
=3333
BM BA AD BA BD BA BA BD =+
=+-+，故C 错误；
对于D 选项，()
2212
3333
CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD
【点睛】
本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.
6．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，
2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）
A ．//P
B CQ B ．12
33
BP BA BC =
+ C ．0PA PC ⋅> D ．4S =
【答案】BD 【分析】
利用向量的共线定义可判断A ；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B ；利用向量数量积的定义可判断C ；利用三角形的面积公式即可判断D. 【详解】
由20PA PC +=，2QA QB =，
可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点， 且B 为AQ 的中点，如图所示：
对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点， 所以PB 与CQ 不平行，故A 错误； 对于B ，()
2212
3333
BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+
=+-=+,
故B 正确；
对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误； 对于D ，设ABC 的高为h ，1
32
ABC
S AB h =
=，即6AB h =， 则APQ 的面积12122
26423233
APQ
S AQ h AB h =
⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确； 故选：BD 【点睛】
本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题
7．下列说法中错误的为 （）
A ．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
B ．向量()12,3e =-，213,24e ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为a D ．三个不共线的向量OA ，OB ，OC ，满足
AB CA BA CB OA OB AB CA BA CB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0CA BC OC CA BC ⎛⎫
⎪=⋅+
= ⎪⎝⎭
，则O 是ABC 的内心 【答案】AC 【分析】
对于A ，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可； 对于B ，由124e e =，可知1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底； 对于C ，利用向量投影的定义即可判断；
对于D ，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫
⎪⋅+= ⎪⎝⎭
，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上，进而得出点O 是ABC 的内心. 【详解】
对于A ，已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角， 可得()
0a a b λ+>⋅，且a 与a λb +不共线，()1,2a λb λλ+=++，
即有()1220λλ++⨯+>，且()212λλ⨯+≠+，
解得53λ>-
且0λ≠，则实数λ的取值范围是5
3
λ>-且0λ≠， 故A 不正确；
对于B ，向量，，213,24e ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
，
124e e =，
∴向量1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底，故B 正确；
对于C ，若a b ，则a 在b 上的投影为a ±，故C 错误； 对于D ，
AB CA AB
CA
+
表示与ABC 中角A 的外角平分线共线的向量，
由0AB CA OA AB CA ⎛⎫
⎪⋅+= ⎪⎝⎭
，可知OA 垂直于角A 的外角平分线， 所以，点O 在角A 的平分线上，
同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上， 故点O 是ABC 的内心，D 正确. 故选：AC. 【点睛】
本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.
8．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则( ) A ．||2a b += B ．a 与b 垂直
C ．a 与a b -的夹角为4
π
D ．||1a b -=
【答案】BC 【分析】
(1,1)a b +=-两边平方求出||2a b +=；利用单位向量模长为1，求出0a b ⋅=；
||a b -平方可求模长；用向量夹角的余弦值公式可求a 与a b -的夹角.
【详解】
由(1,1)a b +=-两边平方，得2222||21(12|)|a b a b ++⋅=+-=， 则||2a b +=
，所以A 选项错误；
因为,a b 是单位向量，所以1122a b ++⋅=，得0a b ⋅=，所以B 选项正确；
则222||22a b a b a b -=+-⋅=，所以||2a b -=
，所以D 选项错误；
2()cos ,2||||1a a b a a b a a b ⋅-〈-〉====-⨯， 所以，a 与a b -的夹角为4
π
.所以C 选项正确； 故选：BC. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的应用. 求向量模的常用方法:
(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式2+a x y ＝
(2)若向量a b ， 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22
•a a a a ＝＝或
222
2
||)2?(a b a b a
a b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求
解．
判断两向量垂直：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 解两个非零向量之间的夹角：根据公式•a b
cos a b ＝＝求解出这两个
向量夹角的余弦值.
9．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b += B ．a b ⊥
C ．()
4a b b +⊥
D ．1a b ⋅=-
【答案】CD 【分析】
分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】
分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒. 由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；
由()
2
2
2
21243a b
a a
b b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误；
由()()2
144440a b b a b b
+⋅=⋅+=⨯-+=，所以()
4a b b +⊥，故C 正确.
故选：CD 【点睛】
本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
10．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（ ）
A ．1-
B ．
113
C ．
32
+ D ．
32
【答案】BCD 【分析】
由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解. 【详解】
若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅=
230k ∴+=解得23
k =-
若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅=
()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--
2390k ∴-+-=解得113
k =
若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=
()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--
()130k k ∴-+-=解得k =
综合可得，k 的值可能为21133,,,
3322
+- 故选：BCD 【点睛】
本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.。