2016-中考数学圆切线的证明题题集(冲刺)

2016 年中考数学圆切线的证明题
1．已知：如图， AB 是⊙ O 的直径， AD 是弦， OC 垂直 AD 于 F 交⊙ O 于 E，
C 连结 DE 、 BE，且∠ C=∠BE
D ．
（ 1）求证： AC 是⊙ O 的切线；
（ 2）若 OA=10 ， AD=16 ，求 AC 的长．D
E
F
B O A
2．（此题 12 分）如图，已知CD 是△ ABC 中 AB 边上的高，以CD 为直径的⊙ O 分别交 CA、 CB 于点 E、
F ，点
G 是 AD 的中点．求证：GE 是⊙ O 的切线．
3、如图是⊙ O的直径，∠ A=30o, 延伸 OB到 D使 BD=OB.
(1) VABC是不是等边三角形？说明原因.
O B
A D
(2) 求证： DC是⊙ O的切线 .
C
图 8
4、如图，在△ ABC 中， AB=AC， D 是 BC 中点， AE 均分∠ BAD 交 BC 于点 E，点 O 是 AB 上一点，⊙ O 过 A、E两点, 交AD 于点 G，交 AB 于点 F．
C
（ 1）求证： BC 与⊙ O 相切；
D
（ 2）当∠ BAC=120°时，求∠ EFG 的度数．
E
G
A O F B
第5题图
5．（ 10 分）如图，点D 在⊙O 的直径 AB 的延伸线上，点 C 在⊙O 上， AC CD ，ACD1200，
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为 2，求图中暗影部分的面积 .
6.在 Rt△ ACB 中，∠ C=90 °，AC=3cm ，BC=4cm，以 BC 为直径作⊙ O 交AB于点D.
（ 1）求线段AD的长度；
（ 2）点 E 是线段AC 上的一点，试问当点 E 在什么地点时，直线ED与⊙ O 相切？请说明原因.
A
D
B
C
O
（第 7 题图）
7、如图，等腰三角形ABC 中， AC＝BC＝ 6， AB＝ 8．以 BC 为直径作⊙ O 交 AB 于点 D ，交 AC 于点 G，
DF ⊥ AC，垂足为F ，交 CB 的延伸线于点E．
( 1) 求证：直线EF 是⊙ O 的切线；
( 2) 求 sin∠ E 的值．
8、如图，直线 l 与⊙ O 订交于 A，B 两点，且与半径 OC 垂直，垂足为 H ，已知 AB=16 厘米， cos OBH 4 ．
5
(1)求⊙ O 的半径；
(2)假如要将直线 l 向下平移到与⊙ O 相切的地点，平移的距离应是多少？请说明原因．
O
H l
A B
C
9．如图，⊙ O 的直径AB= 4， C、 D为圆周上两点，且四边形OBCD是菱形，过点 D 的直线EF∥ AC，交BA、 BC 的延伸线于点E、F．
（1）求证： EF 是⊙ O 的切线；
（2）求 DE 的长．
F
D C
E B
A O
10、如图，已知矩形ABCD内接于⊙ O， BD为⊙ O直径 , 将△ BCD沿 BD所在的直线翻折后，获得点C 的对应点 N 仍在⊙ O上 ,BN 交 AD与点 M.若∠ AMB=60°，⊙ O的半径是 3cm.
(1)求点 O到线段 ND的距离 .
(2)过点 A 作 BN的平行线 EF，判断直线 EF 与⊙ O的地点关系并说明原因 .
E
N
A D
M
o
F
B
C
11．如图，在⊙ O 中，直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，连结 AC ，将△ACE 沿 AC 翻折获得△ ACF ，直
线 FC 与直线 AB 订交于点 G．
（ 1）直线 FC 与⊙ O 有何地点关系？并说明原因；F
（ 2）若OB BG 2 ，求CD的长．C
A
O E B G
D
（第 13 题）
12 ．如图，△ABC内接于e O，点D在半径OB的延长线上，
BCDA 30°．O
（ 1）试判断直线CD与e O的地点关系，并说明原因；A
（ 2）若e O的半径长为 1，求由弧BC、线段CD和BD所围成的暗影部B
分面积（结果保存π和根号）．
D
C
（第 21 题）
13． (10 分 ) 已知，如图在矩形 ABCD中，点 0 在对角线 AC上，以 OA 长为半径的圆0 与 AD、AC分别交于
点 E、 F。

∠ ACB=∠DCE．
(1) 判断直线 CE与⊙ O的地点关系，并证明你的结论；
2
(2) 若 tan ∠ACB=，BC=2，求⊙ O的半径．
14． 已知：如图，以 △ ABC 的边 AB 为直径的 e O 交边 AC 于点 D ，且过点 D 的切线 DE 均分边 BC ．（ 1）
BC 与 e O 能否相切？请说明原因；
（ 2）当 △ ABC 知足什么条件时，以点 O ， B ， E ， D 为极点的四边形是平行四边形？并说明原因．
C
D
E
A
B
O
（第 16 题）
15. 如图，以 BC 为直径的⊙ O 交△ CFB 的边 CF 于点 A ，BM 均分∠ ABC 交 AC 于点 M ， AD ⊥BC 于点 D ，AD 交
BM 于点 N ，ME ⊥ BC 于点 E ， AB 2=AF · AC ，cos ∠ ABD=3
， AD=12 ．
5
⑴求证：△ ANM ≌△ ENM ；
⑵求证： FB 是⊙ O 的切线；
⑶证明四边形 AMEN 是菱形，并求该菱形的面积 S ．
16.(10
分 )
如图
9，已知，在△
ABC
中，∠
ABC=
90 0 ，BC 为⊙ O 的直径，
AC 与⊙ O 交于点 D ,点 E 为 AB
的中点 ，PF ⊥ BC 交
B C
于点 G,交
AC
于点
F .
（ 1）求证： ED
是⊙ O 的切线 .
（ 2）假如
CF =1,CP =2 ，sinA =
4
，求⊙ O 的直径
BC.
5
参照答案：
1、（ 1）证明： ∵∠ BED =∠ BAD ， ∠ C=∠ BED
∴∠ BAD =∠C ······································1 分
∵OC ⊥AD 于点 F
∴∠ BAD +∠AOC=90 o ·······························2 分
∴∠ C+∠ AOC=90 o
∴∠ OAC=90 o
∴ OA ⊥ AC
∴ AC 是⊙ O 的切线 . ·································4 分
1
AD=8 ··························5 分
（ 2）∵OC ⊥AD 于点 F ，∴ AF= 2
在 Rt △ OAF 中， OF= OA 2
AF 2 =6 ··························6 分
∵∠ AOF =∠ AOC ， ∠OAF =∠ C
∴△ OAF ∽△ OCA ··········································7 分
∴
OA
OF
OC OA
即 OC= OA
2
100 50 ·································8 分
OF
6 3
在 Rt △ OAC 中， AC=
OC 2 OA 2
40 ． ·······················10 分
3
2．证明：（证法一） 连结 OE ，DE ． 1 分
∵ CD 是⊙ O 的直径，
AEDCED
90o ．
2 分
∵G 是 AD 的中点，
EG
1
AD
DG ．
4 分
2
1
2 ．
6 分 ∵ OE OD ， 3
4 ．
8 分 1
3
24．即 OEG
ODG
90o ．
10 分 GE 是⊙ O 的切线．
12 分
（证法二） 连结 OE ，OG ．
1 分
∵ AG GD ，CO OD ，
OG ∥ AC ．
2 分
1 2， 3 4 ．
4 分
∵ OC=OE ．
∴ ． ∠2=∠4
∴ ．
6 分
∠1=∠3
又 OE OD ，OG OG ，
△OEG ≌△ ODG ．
8 分 OEGODG
90o ．
10 分 GE 是⊙ O 的切 ．
12 分
3、（ 1）解法一：∵∠ A ＝ 30o ，∴ ∠COB ＝ 60o ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分
又 OC ＝OB ，
∴△ OCB 是等 三角形．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分 解法二：∵ AB 是⊙ Ｏ的直径，∴∠ ACB ＝ 90o ．
又∵∠ A ＝ 30o ， ∴∠ ABC ＝ 60o ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分 又 OC ＝OB ， ∴△ OCB 是等 三角形．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分 （ 2 ） 明：由（ 1）知： BC ＝ OB ，∠ OCB ＝∠ OBC ＝ 60o ．
又∵ BD ＝OB ，∴ BC ＝ BD ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分
∴∠ BCD ＝∠ BDC ＝ 1
∠ OBC ＝ 30o ．
2
∴∠ OCD ＝∠ OCB ＋∠ BCD ＝ 90o ，
故 DC 是⊙ Ｏ的切 ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分
4、（ 1） 明： 接 OE ， ------------------------------
1 分
C
∵AB=AC 且 D 是 BC 中点，
∴ AD ⊥ BC ．
D
G
E
∵ AE 均分∠ BAD ，
∴∠ BAE=∠DAE ． ------------------------------ 3 分
A
O
FB
∵ OA=OE ，
∴∠ OAE=∠OEA ．
∴∠ OEA=∠DAE ．
∴ OE ∥ AD ．
∴ OE ⊥ BC ．
∴ BC 是⊙ O 的切 ． ---------------------------
6 分
（ 2）∵ AB=AC ，∠ BAC =120°，
∴∠ B=∠C=30°． ----- ----- ------------------7 分
∴∠ EOB =60 °．------------------------------
8 分
∴∠ EAO =∠EAG =30 °． -------------------9 分
∴∠ EFG =30 °．------------------------------
10 分
5、（ 1） 明： OC . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
∵ AC CD ，
ACD 120 ，
∴
A
D 30.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
∵OA OC,
∴2A30 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
∴OCD ACD290 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∴ CD 是⊙O的切.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）解 : ∵∠ A=30o，∴12A60 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
S扇形OBC 60222
7 分
∴
360
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3
在 Rt△ OCD中 , ∵CD
tan 60 ,∴ CD 2 3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分OC
∴S
Rt OCD 1
OC CD12 2 323 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分22
∴ 中暗影部分的面232
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分3
6、解：（ 1）在 Rt△ ACB 中，∵ AC=3cm， BC=4cm ，∠ ACB=90 °，∴ AB=5cm ．⋯⋯1分CD ，∵ BC 直径，∴∠ ADC =∠ BDC =90°．
∵∠ A=∠A，∠ ADC =∠ ACB，∴ Rt△ADC ∽Rt△ ACB ．A
D
∴ AC AD，∴ AD AC29．E
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分C
AB AC AB5O B
（ 2）当点 E 是 AC 的中点， ED 与⊙ O 相切．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分明： OD，∵ DE 是 Rt△ ADC 的中．
∴ED=EC，∴∠ EDC=∠ ECD．
∵ OC=OD ，∴∠ ODC =∠ OCD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分∴∠ EDO=∠ EDC +∠ODC =∠ ECD +∠OCD =∠ ACB =90 °．
∴ED与⊙O 相切．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9
7、 ( 1) 明：如，OD ，OD OB ．
∴ CBAODB ．
∵ AC =BC, ∴CBA A ．
∴ ODB A ．
∵ OD∥ AC，∴ODE CFE ．
∵ DF AC 于F，∴CFE90o．
∴ ODE 90o．∴OD EF ．
∴ EF 是⊙ O 的切． ------------------------------------------------------------3分
( 2 )BG，∵ BC 是直径 , ∴∠ BGC=90 o =∠ CFE．
∴ BG∥ EF．∴GBC E ．
CG x ，AG AC CG6x ．
在 Rt△ BGA 中 , BG2AB 2AG 282(6 x) 2．
在 Rt △ BGC 中 , BG 2
BC 2 CG 2 62 x 2 ． ∴ 82
(6 x)2
62
x 2 ．解得 x
2 ．即 CG
2 ．
GC 1 3
3
在 Rt △ BGC 中 , sin GBC
．
BC 9
∴ sin ∠ E
1
--------------------------------
5
分
．
---------------------------------------------
9
8、解： (1)
∵
直 l 与半径 OC 垂直，∴
HB
1 AB
1
168．
⋯⋯2 分
2
2
∵
cos OBH
HB 4 ， OB 5
O
∴
OB= 5
HB = 5
×8= 10．
⋯⋯2 分
H
l
4 4
A
(2)
在 Rt △ OBH 中，
B
C OH = 2
2
22
⋯⋯2 分
(第 20 题)
OB
BH10
8 6 ．
∴
CH1064．
因此将直
l 向下平移到与⊙
O 相切的地点 ，平移的距离是
4cm ．
⋯⋯ 2 分
9．（ 1） 明：∵ AB 是⊙ O 的直径，
∴∠ ACB= 90°． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
∵四 形
OBCD 是菱形，
∴ OD DE
OD gtan EOD
2 tan 60 2
3 (1) ∴∠ OGD=90° ∵四 形 ABCD 是矩形 ,
∴∠ C =90°
由翻折得
∠ N=∠C = 90 °= ∠OGD
F
解：(法一)： 点
D
C
O 作 OG ⊥ ND 于点 G
2
E
1
E N
A
B
O
G
A
M
D
o
⋯⋯⋯⋯ 1 分
∴ OG ∥ BN F
∵∠ NBD=30°
∴∠ GOD=30°
OG 在 Rt △ OGD 中， cos30 ° = ,OD=3 ∴OG=
3 3
(cm)
OD
2
( 法二 ) ： 点 O 作 OG ⊥ ND 于点 G DG=NG
∵ OB=OD
∴ OG 是△ BDN 的中位
∴ OG=1
BN
2
B
C
⋯⋯⋯⋯ 3 分
⋯⋯⋯⋯ 5 分
⋯⋯⋯⋯ 1 分
∵四 形 ABCD 是矩形 , ∠ C=90° ∴ BD 是⊙ O 直径
∵ OD=3
∴ BD=6
⋯⋯⋯⋯ 3 分
BN
在 Rt △ BND 中， cos30 ° = BD
∴BN=6
3 3 3
2
∴ OG=3 3 ⋯⋯⋯⋯ 5 分
(cm)
2
(2) 相切 . 明： 接 OA 交 BN 与 H.
∵∠ DBN=30° ,
由翻折得∠ DBC=∠ DBN=30° . ∵∠ ABC=90° , E
N
∴∠ ABO=60° .
∵ OA=OB,
A
∴△ ABO 是等 三角形 . M H
∴∠ AOB=60° . o
∴∠ BHO=90° . F
又∵ EF ∥ BN , B
∴∠ FAH=90° .
∴Ｏ A ⊥ EF.
∴EF 与⊙ O 相切 .
11．解：（ 1）直 FC 与⊙ O 相切． ⋯⋯1分原因 以下：
接 OC ． ∵OA OC ，
∴ 1 2⋯⋯2分
由翻折得， 1 3，
F
AEC 90．
∴ 2
3 ．
∴OC ∥AF ．
∴ OCGF 90．
∴直 FC 与⊙ O 相切． ⋯⋯4 分
OC OC
（ 2）在 Rt △ OCG 中， cos
COG
OG 2OB
∴ COG
60 ． ⋯⋯6分
⋯⋯⋯⋯ 1 分
D
⋯⋯⋯⋯ 3 分
C
⋯⋯⋯⋯ 5 分
F
C
3 2
A
1
G
OE B
D
1 （第 20 题）
，
2
3 在 Rt △ OCE 中， CE
OC sin60
2
3 ． ⋯⋯8 分
2
∵直径 AB 垂直于弦 CD ， ∴ CD 2CE 2 3 ． ⋯⋯9分 12．解：（ 1）直 CD 与 e O 相切．
原因以下：
在 e O
中，
COB 2
CAB 2 30° 60°
．
O
∵OB OC
∴△ OBC
∴ OCB
又 ， 是正三角形， 60°
．
又 ∵ BCD 30° ∴ OCD 60° 30° 90°
A
，
， ∴ OC CD ．
又 ∵ OC 是半径， ∴直 CD 与 e O 相切．
C
D
（ 2）由（ 1）得
△COD 是 Rt △ ， ．
COB 60°
∵OC 1，∴CD
3 ．
∴
S △ COD
1 ·
3 ．
2 OC CD
2
（第 12 ）
又 ∵ S
扇形 OCB
1 ，
6 π
∴ S 暗影
S △ COD S 扇形 OCB
3 1 π 3 3 π．
2 6 6
13．解： (1) 直 CE 与⊙ O 相切．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分
明以下：
∵四形ABCD矩形
∴BC∥AD，∠ ACB=∠DAC
又∵∠ ACB=∠DCE
∴∠ DAC=∠DCE
接 0E，∠ DAC=∠AEO=∠DCE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
∵∠ DCE+∠DEC=90°
∴∠ AEO+∠DEC=90°
∴∠ DEC=90°
∴ CE与⊙ O相切．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
AB2
(2) ∵tan ∠ACB=， BC=2
BC2
∴A B=BCtan∠ACB= 2， AC= 6
又∵∠ ACB=∠DCE
∵t an ∠DCE=
2
2
∴DE=DCtan∠DCE=l⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8方法一：在 Rt △ CDE中分CE=CD 2DE 23
接 OE，令⊙ O的半径r，在 Rt△ COE中，
CO 2OE 2CE 2
即 ( 6r )2r 23
解得： r 6
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分4
14、（ 1）BC与e O相切
原因： OD ， BD ，
Q DE 切 e O 于 D ， AB 直径，
∠ EDO∠ ADB90o，
又 DE 均分 CB，
1
DE BC BE ，···················2分
2
∠ EDB∠ EBD．又∠ODB∠OBD ，∠ODB∠ EDB90o；
∠ OBD∠ DBE90o，即∠ ABC90o．
BC 与 e O 相切．·····································4 分
（ 2）当△ ABC 等腰直角三角形∠ ABC90o，四形OBED 是平行四形．
Q △ ABC 是等腰直角三角形 ∠ ABC 90o ，
AB BC ． ········································6 分 QBD ⊥ AC 于 D ， D 为 AC 中点．
OD
1
BC BE ， OD ∥BC ．
2
四边形 OBED 是平行四边形． ····························8 分
15、 .⑴证明：∵ BC 是⊙ O 的直径
∴∠ BAC=90 o
又∵ EM ⊥BC ，BM 均分∠ ABC ，
∴ AM=ME ，∠ AMN=EMN
又∵ MN=MN ，
∴△ ANM ≌△ ENM
⑵∵ AB 2=A F · AC
∴
AB AF
AC AB
又∵∠ BAC= ∠ FAB=90 o
∴△ ABF ∽△ ACB
∴∠ ABF= ∠ C
又∵∠ FBC= ∠ ABC+ ∠ FBA=90 o
∴FB 是⊙ O 的切线
⑶由⑴得 AN=EN ，AM=EM ，∠ AMN=EMN
，
又∵ AN ∥ ME ，∴∠ ANM= ∠EMN ，
∴∠ AMN= ∠ ANM ，∴ AN=AM ，
∴ AM=ME=EN=AN ∴四边形 AMEN 是菱形
∵ cos ∠ ABD= 3
，∠ ADB=90
o 5
∴
BD 3 AB 5
设 BD=3x ，则 AB=5x ，，由勾股定理 AD5x 2－ 3x 2
4x
而 AD=12 ，∴ x=3
∴ BD=9 ，AB=15
∵ MB 均分∠ AME ，∴ BE=AB=15
∴ DE=BE-BD=6
∵ ND ∥ME ，∴∠ BND= ∠BME ，又∵∠ NBD= ∠ MBE
∴△ BND ∽△ BME ， ND
BD ME
BE
ME=x ， ND=12-x ， 12
x 9
，解得 x=
15
x
15
2
∴ S=M E ·DE=
15
× 6=45
2
16、解：⑴ 接 OD
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分
∵ BC 直径
∴△ BDC 直角三角形。

又∵ ∠OBD=∠ ODB
Rt △ ADB 中 E AB 中点 ∴ ∠ABD=∠EDB
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
∵ ∠OBD+∠ABD =90 0 ∴∠ODB+∠EDB =90 0
∴ ED 是⊙ O 的切 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
(2) ∵ PF ⊥BC
∴∠
FPC=∠PDC
公用
又∠PCF
∴△ PCF ∽ △ DCP
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分
∴ PC 2 =CF ·CD
又∵ CF =1, CP =2， ∴ CD=4
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8 分
可知 sin ∠DBC = sin A =
4
5
∴
DC =
4
即
4 = 4
得直径 BC= 5
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10 分
BC 5
BC 5。