高考数学一轮复习空间直角坐标系

立适当的坐标系，求点 S、P1、P2、P3 和 P4 的直角坐标． [分析] 建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表
示简单方便为宜．
[解析]
正四棱锥 S－P1P2P3P4 如图所示，其中 O 为底面
正方形的中心，P1P2⊥Oy 轴，P1P4⊥Ox 轴，SO 在 Oz 轴上．
∵d(P1，P2)＝a，而 P1，P2，P3，P4 均在 xOy 平面上，
[答案]
(0，－1,0)
[解析]
本题考查空间两点间距离公式．
由题意可设 M(0，y,0)，又|MA|＝|MB|， ∴ 0－12＋y2＋0－22 ＝ 0－12＋y＋32＋0－12，解得 y＝－1.
7．已知长方体的长、宽、高分别为 AB＝4，BC＝3，BB1 ＝5，以长方体的一个顶点为原点，建立空间直角坐标系，如 图所示，将长方体的各个顶点的坐标表示出来.
∴S 0，0，
2 a， 2
2 a 2 2 a － ＝ a， 2 2
2 a. 2
[点评]
1.建立恰当的直角坐标系的原则：(1)充分利用几
何体中的垂直关系； (2)尽可能地让点落在坐标轴或坐标平面上．
提醒：不同的建系方法，求出的点的坐标也不同． 2．求空间中点 P 的坐标的方法 方法一：过点 P 作与 x 轴垂直的平面，垂足即为横坐标， 同理可求纵、竖坐标． 方法二：从点 P 向三个坐标平面作垂线，所得点 P 到三 个平面的距离等于点 P 的对应坐标的绝对值，进而可求点 P 的坐标．
x＝－10 解得y＝2 z＝－8
.
空间中两点的距离公式
[例 3]
(1)给定空间直角坐标系，在 x 轴上找一点 P，使
它与点 P0(4,1,2)的距离为 30； (2)在 xOy 平面内的直线 x＋y＝1 上确定一点 M， 使M到 点 N(6,5,1)的距离最小． [分析] 由坐标轴上坐标的特点设出所求点的坐标，然
空间中点的对称问题
[例 2]
已知 ABCD 为平行四边形，且 A(4,1,3)，B(2，－
5,1)，C(3,7，－5)，求顶点 D 的坐标． [分析] 本题考查空间中点坐标的计算公式．
[解析]
∵平行四边形对角线互相平行，
∴AC 的中点即为 BD 的中点． 设 D(x，y，z)， 又∵AC 的中点
[答案]
3 (1，2，1)
[解析]
由长方体的几何性质得，M 为 AC1 的中点，
在所给的坐标系中，A(0,0,0)，C1(2,3,2)， 3 ∴中点 M 的坐标为(1，2，1)．
6．在空间直角坐标系中，已知点 A(1,0,2)，B(1，－3,1)， 点 M 在 y 轴上，且 M 与 A 与 B 的距离相等，则 M 的坐标是 ____________．
a a a a ∴P12，2，0，P2－2，2，0.在面
xOy 内，P3 与 P1 关于
原点 O 对称．P4 与 P2 关于原点 O 对称，
a a a a ∴P3－2，－2，0，P42，－2，0.
又∵d(S，P1)＝a，d(O，P1)＝ ∴在 Rt△SOP1 中，d(S，O)＝
[答案] C
[解析] 上．
因为点的 y 坐标为 0， 所以点在 xOz 平面
2．已知点 A(－3,1，－4)，则点 A 关于原点的对称点的坐 标为( ) B．(－4,1，－3) D．(4，－1,3)
A．(1，－3，－4) C．(3，－1,4)
[答案] C
[ 解析]
空间中的一点关于原点对称的点的坐标应为原
课前自主预习
知识梳理 1．空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系：以空间一点 O 为原点，建立三条两两 垂直的数轴： x 轴， y 轴， z 轴． 这时建立了空间直角坐标系 Oxyz， 其中点 O 叫做原点．x 轴，y 轴，z 轴叫做坐标轴 ．通过每两个 坐标轴的平面叫做 坐标平面 ．
(2)右手直角坐标系的含义是：一般是将 x 轴和 y 轴放置在 水平面上，那么 z 轴就垂直于水平面．它们的方向通常符合
第八章
第六节 空间直角坐标系
高考目标
3
课堂典例讲练
课前自主预习
4
思想方法点拨
5
课后强化作业
高考目标
考纲解读 1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位 置． 2．会推导空间两点间的距离公式．
考向预测 1．以考查空间点的坐标的求法为载体，考查空间想象能 力． 2．通过求两点间的距离考查运算能力．
已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，M 为 A1C1 的中 点，N 为 AB1 的中点，建立适当的坐标系，写出 M，N 两点的坐 标．
[解析]
如图，以 A 为原点，AB，AD，AA1 分别为 x，y，
z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．
从 M 点分别向平面 yAz， 平面 xAz，平面 xAy 作垂线． ∵正方体的棱长为 2， ∴M 点到三个平面的距离分别为 1,1,2. ∴M 点的坐标为(1,1,2)．同理，N 点坐标为(1,0,1).
先每个点的坐标的相反数，故所求的点是(3，－1,4)．
3．在空间直角坐标系中，点 P(1， 2， 3)，过 P 作平面 xOy 的垂线 PQ，则垂足 Q 的坐标为( A．(0， 2，0) C．(1,0， 3)
[答案] D
)
B．(0， 2， 3) D．(1， 2，0)
[解析]
过 P 作平面 xOy 的垂线时，垂足 Q 的横、纵坐
2．利用中点坐标公式也可求对称点的坐标．
点 A(10,4， －2)关于点 M(0,3， －5)对称点的坐标为________．
[答案]
(－10,2，－8)
[解析] 由题意可得
设 A 关于 M 的对称点为 A′， 其坐标为(x， y， z)，
10＋x 0＝ 2 4＋y 3＝ 2 －2＋z －5＝ 2
右手螺旋 法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指
先指向 x 轴 正方向，然后让四指沿握拳方向旋转 90° 指向 y 轴正 方向，此时大拇指的指向即为z 轴正向，也称这样的坐标系为右 手系．
(3)空间一点 M 的坐标为有序实数组(x，y，z)，记作 M(x， y，z)，其中 x 叫做点 M 的 x 坐标 ，y 叫做点 M 的 y 坐标 ，z 叫 做点 M 点 z 坐标 ．
空间坐标系中，A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，求|AB|的最小 值．
[解析]
|AB| ＝ 5，
1＋t2＋2t－12 ＝
5t2－2t＋2 ＝
12 9 3 5t－5 ＋ ≥ 5 5
3 即|AB|的最小值为5 5.
思想方法点拨
1．关于对称点坐标求法 关于坐标平面xOy对称 (1)P(x，y，z) ――→ P1(x，y，－z)； 关于坐标平面yOz对称 (2)P(x，y，z) ――→ P2(－x，y，z)； 关于坐标平面xOz对称 (3)P(x，y，z) ――→ P3(x，－y，z)； 关于x轴对称 (4)P(x，y，z) ――→ P4(x，－y，－z)； 关于y轴对称 (5)P(x，y，z) ――→ P5(－x，y，－z)；
2．空间两点间的距离公式 设 A(x1， y1， z1)， B(x2， y2， z2)，
2 2 2 x － x ＋ y － y ＋ z － z 1 2 1 2 1 2 则|AB|＝ .
基 础 自 测
1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( A．y 轴上 C．xOz 平面上 B．xOy 平面上 D．以上答案都不对 )
标不变，竖坐标为 0，故选 D.
4．在空间直角坐标系中，点 P(1,2,3)关于 x 轴对称的点的 坐标为( ) B．(1，－2，－3) D．(－1,2，－3)
A．(－1,2,3) C．(－1，－2,3)
[答案] B
[解析]
关于 x 轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标、竖
坐标分别互为相反数．
5．(原创题)如图，已知长方体ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱABCD－A1B1C1D1 中，AB ＝AA1＝2，BC＝3，M 为 AC1 与 CA1 的交点，则 M 点的坐标 为________．
[解析]
根据题干所示的空间直角坐标系，由 AB＝4，BC
＝3，BB1＝5，所以各点的坐标为 O(0,0,0)，A(3,0,0)，B(3,4,0)， C(0,4,0)，D1(0,0,5)，A1(3,0,5)，B1(3,4,5)，C1(0,4,5)．
课堂典例讲练
空间中点的坐标的确定
[例 1]
设正四棱锥 S－P1P2P3P4 的所有棱长均为 a，建
(2)已知△ABC 的三个顶点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， C(x3 ， y3 ， z3) ，则△ ABC 的重心 G y1＋y2＋y3 z1＋z2＋z3 ， . 3 3
x1＋x2＋x3 的坐标为 3
，
关于z轴对称 (6)P(x，y，z) ――→ P6(－x，－y，z)； 关于原点对称 (7)P(x，y，z) ――→ P7(－x，－y，－z)．
2．空间坐标系中的中点坐标公式及三角形的重心坐标公 式． (1)已知 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2 的中点 P 的
x1＋x2 y1＋y2 z1＋z2 坐标为 ， ， 2 . 2 2
后由两点间的距离公式，列出方程求解．
[解析]
(1)设点 P 的坐标是(x,0,0)，由题意，得
|P0P|＝ 30， 即 x－42＋12＋22＝ 30，(x－4)2＝25， 解得 x＝9 或 x＝－1. 所以点 P 坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．
(2)设点 M(x,1－x,0)，则 |MN|＝ x－62＋1－x－52＋1－02 ＝ 2x－12＋51， 当 x＝1 时，|MN|min＝ 51. 所以点 M 坐标为(1,0,0)．
7 O2，4，－1.
－5＋y 1＋z 7 2＋x 则2＝ 2 ，4＝ 2 ，－1＝ 2 ， ∴x＝5，y＝13，z＝－3，故 D(5,13，－3)．
[点评]
1.中点坐标公式
若 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段 AB 的中点 P 的
x1＋x2 y1＋y2 z1＋z2 坐标为 ， ， 2 . 2 2