2021-2022九年级数学下期中第一次模拟试题(及答案)

一、选择题
1．对称轴为y 轴的二次函数是（ ） A ．y=(x+1)2
B ．y=2(x-1)2
C ．y=2x 2+1
D ．y=-(x-1)2
2．如图，二次函数y ＝a 2x +bx+c （a ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴的正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝﹣1．有下列结论：①abc ＞0；②4ac ﹣2b ＞0；③c ﹣a ＞0；④当x ＝﹣2n ﹣2（n 为实数）时，y ≥c ．其中，正确结论的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上（如图），它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0）、（3，0）．对于下列结论：①c ＜0；②b ＜0；③4a ﹣2b +c ＞0．其中正确的有（ ）
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
4．已知抛物线2y x bx c =-++的顶点在直线y=3x+1上，且该抛物线与y 轴的交点的纵坐标为n ，则n 的最大值为（ ） A ．
134
B ．
154
C ．
238
D ．
258
5．将抛物线()2
214y x =--+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（ ） A ．()2
241y x =-++ B ．()2
221y x =--+ C ．()2246y x =--+
D ．()2
242y x =--+
6．在平面直角坐标系中，下列二次函数的图象开口向上的是（ ） A ．22y x =
B ．221y x x =-++
C ．22y x x =-+
D ．20.5y x x =-+
7．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，4
tan 3
B =，若10B
C =，则A
D 的长为（ ）
A ．6
B ．
323
C ．7.5
D ．10
8．在RtΔABC 中，若∠C=90°，cosA=3
5
，则sinA 的值为（ ） A ．
35
B ．
45 C ．
34
D ．
54
9．如图，CD 是Rt ABC 斜边上的高，43AC BC ==，．则tan BCD ∠的值是（ ）
A ．
34
B ．
35
C ．
45
D ．
43
10．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE CF =；②75AEB ∠=︒；③BE DF EF +=；④正方形对角线：13AC =+，其中正确的序号是（ ）
A ．①②④
B ．①②
C ．②③④
D ．①③④
11．如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则sin ∠BDE 的值
是 （ ）
A．1
5
B．
1
4
C．
1
3
D．
2
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若
1
cos
2
B=，则sin A的值为（）
A．1 B．1
2
C．
3
D．
3
二、填空题
13．如图，直线
3
3
4
y x
=-+与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线2
33
3
84
y x x
=-++
经过B，C两点，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，过点E作y轴的平行线交直线BC 于点M，则EM的最大值为_____．
14．如图，正方形ABCD中，AD=4,AE=3DE,点P在AB上运动（不与A、B重合），过点P 作PQ⊥EP，交CB于点Q，则BQ的最大值是______．
15．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线2
y x沿着y轴平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为________．
16．道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A，点B落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF）与第2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则EF的长度是
___________．
17．如图，在Rt ABC 中，C 90∠=︒，25AC =，2
cos 3
B =
，则AB =______．
18．如图是高铁站自动检票口的双翼闸机，检票后双翼收起，通过闸机的物体的最大宽度为70cm ，检票前双翼展开呈扇形CAP 和扇形DBQ ，若AC ＝BD ＝55cm ，∠PCA ＝∠BDQ ＝30°，则A 、B 之间的距离为_____cm ．
19．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 绕原点O 逆时针旋转30°后得到矩形ODEF ，若A （3，0），C （0，3），则点E 的坐标为_________
20．如图，在菱形ABCD 中， 3AB AC ==点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且 AE DF =，则EF 的最小值为________．
三、解答题
21．如图，在直角坐标系中，已知直线1
42
y x =-
+与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，C 点的坐标为()2,0-．
（1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；
（2）如果M 为抛物线的顶点，连接AM ，BM ，求ABM ∆的面积． （3）抛物线上是否存在一点P ，使1
2
OBP ACO S S ∆∆=？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，抛物线2y x bx c =+-与x 轴交于A (-1，0)，B (3，0)两点，直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求抛物线及直线AC 的函数表达式；
（2）点M 是线段AC 上的点（不与A ，C 重合）过M 作MF //y 轴交抛物线于F ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MF 的长．
23．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴相交于A （﹣3，0），D （1，0）两点，其中顶点为B ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若该抛物线与y 轴的交点为C ，求△ABC 的面积．
24．如图，在矩形ABCD 中，8BC =，30ABD ∠=︒，若点M 、N 分别是线段DB 、
AB 上的两个动点，则AM MN +的最小值为________．
25．（1）计算：2
11tan 60sin 6042-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭
； （2）解方程：22760x x -+=
26．一种升降熨烫台如图所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．AB 和CD 是两根相同长度的活动支撑杆，点O 是它们的连接点，OA OC =，
()h cm 表示熨烫台的高度．
（1）如图1，若120AOC ∠=︒，60h cm =，求AB 的长度；
（2）小明发现，实际使用时将家里这种升降熨烫台的两根支撑杆的夹角AOC ∠由120︒变为60︒（如图2），使用起来才顺手，请问在（1）的条件下，该熨烫台升高了多少？
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
由已知可知对称轴为x ＝0，从而确定函数解析式y ＝ax 2+bx +c 中，b ＝0，由选项入手即可． 【详解】
解：二次函数的对称轴为y 轴，
则函数对称轴为x ＝0，
即函数解析式y ＝ax 2+bx +c 中，b ＝0， 故选：C ． 【点睛】
本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
2．C
解析：C 【分析】
根据二次函数的开口方向，对称轴的位置，二次函数的性质，二次函数的图像与x 轴的交点情况去分析判断即可． 【详解】
解：由图象开口向上，可知a ＞0， 与y 轴的交点在x 轴的上方，可知c ＞0， 又对称轴为直线x ＝﹣1，
∴﹣
2b
a ＜0， ∴
b ＞0， ∴ab
c ＞0， 故①正确；
∵二次函数y ＝a 2x +bx+c （a ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点， ∴2b ﹣4ac ＞0， ∴4ac ﹣2b ＜0， 故②错误；
∵﹣
2b
a ＝﹣1， ∴
b ＝2a ，
∵当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b+c ＜0， ∴a ﹣2a+c ＜0， ∴c ﹣a ＜0， 故③错误；
当x ＝﹣2n ﹣2（n 为实数）时，
y ＝a 2x +bx+c ＝a 22(2)n --+b （﹣2n ﹣2）+c ＝a 2n （2n +2）+c ， ∵a ＞0，2n ≥0，2n +2＞0， ∴y ＝a 2n （2n +2）+c≥c ， 故④正确， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的
关系是解题的关键．
3．A
解析：A 【分析】
根据抛物线与y 轴的交点位置可对①进行判断；根据抛物线的对称性得到x ＝2b
a
-＝1，则b ＝﹣2a ＜0，于是可对②进行判断；利用x ＝﹣2，y ＞0可对③进行判断． 【详解】
解：∵抛物线与y 轴的交点坐标在x 轴下方， ∴c ＜0，所以①正确； ∵抛物线开口向上， ∴a ＞0，
∵抛物线与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，即2b
a
-＝1， ∴b ＝﹣2a ＜0，所以②正确； ∵由图象可知，当x ＝﹣2时，y ＞0， ∴4a ﹣2b +c ＞0，所以③正确． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是树立数形结合思想，准确读取图象信息，认真推理判断．
4．A
解析：A 【分析】
将抛物线顶点坐标代入一次函数解析式，求出b 与c 的关系，再根据抛物线与y 轴交点的纵坐标为c ，即n c =，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】
抛物线2y x bx c =-++的顶点在3+1y x =上，抛物线2y x bx c =-++的顶点标为
（2b 、24
b c +） ∴23142
b b
c +=+ 23124
b b
c ∴=+-
抛物线与y 轴交点的纵坐标为c n c ∴=
2
3124b b n ∴=+-
()2113
6944n b b ∴=--++ ()2
113344
n b ∴=-
-+ n ∴的最大值为
13
4
故选：A ． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，函数图像上点坐标的特征，熟练掌握二次函数性质是解题关键．
5．D
解析：D 【分析】
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】
解：将抛物线y=-2（x-1）2+4向右平移3个单位，再向下平移2个单位长度后得到抛物线的解析式为：y=-2（x-1-3）2+4-2，即y=-2（x-4）2+2； 故选：D ． 【点睛】
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
6．A
解析：A 【分析】
二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），①当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的开口向上；②当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的开口向下，据此判断即可． 【详解】
解：A 、∵a ＞0， ∴
2y =
的图象开口向上，故本选项符合题意；
B 、∵a ＝﹣1＜0，
∴y ＝﹣x 2+2x +1的图象开口向下，故本选项不符合题意； C 、∵a ＝﹣2＜0，
∴y ＝﹣2x 2+x 的图象开口向下，故本选项不符合题意； D 、∵a ＝﹣0.5＜0，
∴y ＝﹣0.5x 2+x 的图象开口向下，故本选项不符合题意； 故选：A ．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．B
解析：B 【分析】
设DC=4x ，BD=3x ，根据勾股定理求CD ，再根据∠ACD=∠B ，用三角函数求AD ． 【详解】
解：∵CD AB ⊥，4tan 3DB B DC
==，设DC=4x ，BD=3x ， （3x ）2+（4x ）2=102， ∵x>0，解得x=2， ∴BD=6，CD=8
∵∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°， ∴∠ACD=∠B ， ∴4tan 3
ACD ∠=， ∴
4
3
AD CD =，CD=8， ∴323
AD =
， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了三角函数，勾股定理等知识，解题关键是根据已知的正切值求出线段长．
8．B
解析：B 【分析】
根据正弦和余弦的平方和等于1求解． 【详解】
解：∵()()22
sin cos 1A A +=，
∴4sin 5A ===，
故选B ． 【点睛】
本题考查锐角三角函数的性质，熟练掌握正弦函数与余弦函数的平方和等于1的性质是解题关键．
9．A
解析：A
【分析】
易证∠BCD=∠A ，则求tan ∠BCD 的值就可以转化为求tan ∠A ，而tan ∠A 可由△ABC 边长比求得，所以得解．
【详解】
解：由勾股定理得，5=， ∵∠BCD+∠ACD=∠A+∠ACD=90°， ∴∠BCD=∠A ，
∴tan ∠BCD=tan ∠A=
34
BC AC =， 故选：A ．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的综合应用，熟练掌握勾股定理的应用、锐角三角函数的定义及余角的性质和直角三角形的性质是解题关键． 10．A
解析：A
【分析】
证明()Rt ABE Rt ADF HL ≅△△即可证明①正确，由①的结论得到三角形CEF 是等腰直角三角形，即可证明②正确，根据AC 垂直平分EF 可以判断③错误，利用锐角三角函数值求出AC 的长度证明④正确．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB AD =，90B D ∠=∠=︒，
∵AEF 是等边三角形，
∴AE AF =， 在Rt ABE △和Rt ADF 中，
AE AF AB AD =⎧⎨=⎩
， ∴()Rt ABE Rt ADF HL ≅△△，
∴BE DF =，
∵BC CD =，
∴BC BE CD DF -=-，即CE CF =，故①正确；
∵CE CF =，90C ∠=︒，
∴45CEF ∠=︒，
∵60AEF ∠=︒，
∴180604575AEB ∠=︒-︒-︒=︒，故②正确；
如图，连接AC ，交EF 于点G ，
∵AE AF =，CE CF =，
∴AC 是EF 的垂直平分线，
∵CAF DAF ∠≠∠，
∴DF FG ≠，
同理BE EG ≠，
∴BE DF EF +≠，故③错误；
∵AEF 是边长为2的等边三角形，ACB ACD ∠=∠，
∵AC EF ⊥，EG FG =， ∴3sin 60232
AG AE =⋅︒=⨯=112CG EF ==， ∴13AC AG CG =+=+，故④正确．
故选：A ．
【点睛】
本题考查四边形综合题，解题的关键是掌握正方形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的方法．
11．C
解析：C
【分析】
由矩形的性质可得AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，可得BE ＝CE ＝12BC ＝12
AD ，由全等三角形的性质可得AE ＝DE ，由相似三角形的性质可得AF ＝2EF ，由勾股定理可求DF 的长，即可求sin ∠BDE 的值．
【详解】
∵四边形ABCD 是矩形
∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC
∵点E 是边BC 的中点，
∴BE ＝CE ＝12BC ＝12
AD ， ∵AB ＝CD ，BE ＝CE ，∠ABC ＝∠DCB ＝90°
∴△ABE ≌△DCE （SAS ）
∴AE ＝DE
∵AD ∥BC
∴△ADF ∽△EBF ∴
AF AD =EF BE
＝2 ∴AF ＝2EF ， ∴AE ＝3EF ＝DE ，
∴ sin ∠BDE ＝
EF 1=DE 3
， 故选C ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的运用，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键． 12．B
解析：B
【分析】
根据互余角的三角函数间的关系：sin （90°-α）=cosα，cos （90°-α）=sinα解答即可．
【详解】
解：解：∵在△ABC 中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinA= cosB=
12
， 故选：B ．
【点睛】
本题考查了互余两角的三角函数关系式，掌握当∠A+∠B=90°时， sinA= cosB 是解题的关键． 二、填空题
13．【分析】设出E 的坐标表示出M 坐标进而表示出EM 化成顶点式即可求得EM 的最大值【详解】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点∴点E 的坐标是（m ）点M 的坐标是（m ）∴EM ＝﹣（）＝＝（m2﹣4m ）＝（ 解析：32
【分析】
设出E 的坐标，表示出M 坐标，进而表示出EM ，化成顶点式即可求得EM 的最大值．
【详解】
解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，
∴点E 的坐标是（m ，23
3384m m -++），点M 的坐标是（m ，334
m -+），
∴EM ＝233384m m -+
+﹣（334m -+）＝23382m m -+＝38-（m 2﹣4m ）＝38-（m ﹣2）2+32
， ∴当m ＝2时，EM 有最大值为
32， 故答案为
32
． 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．【分析】先由正方形的性质及PQ ⊥EP 得出∠AEP=∠BPQ ∠A=∠B=90°从而可判定△APE ∽△BQP 根据相似三角形的性质得出比例等式；再根据
AD=4AE=3DE 得出AE 和DE 的长然后设BQ=yA 解析：43
【分析】
先由正方形的性质及PQ ⊥EP ，得出∠AEP=∠BPQ ，∠A=∠B=90°，从而可判定
△APE ∽△BQP ，根据相似三角形的性质得出比例等式；再根据AD=4，AE=3DE ，得出AE 和DE 的长，然后设BQ=y ，AP=x ，则BP=4-x ，将相关数据代入比例等式，变形得出y 关于x 的二次函数，配方，即可得出答案.
【详解】
解：在正方形ABCD 中，∠A=∠B=90°，
且PQ ⊥EP
∴∠AEP+∠APE=90°， ∠QPB+∠APE=90°
∴∠AEP=∠BPQ
又∠A=∠B=90°
∴△APE ∽△BQP ∴AE AP BP BQ
=， 又AD=4，AE=3DE ，
∴AE=
334
AD =，DE=4-3=1， 设BQ=y ，AP=x ，则BP=4-x ， ∴34x x y
=- 化简得：21433y x x =-
+，
整理得：()214233
y x =--+， ∴当x=2时，y 有最大值为
43，即BQ 的最大值是43， 故答案为：
43
． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.
15．y=x2+2或y=x2-2【分析】根据图象的平移规律可得答案【详解】解：将抛物线y=x2沿着y 轴正方向平移2个单位长度所得抛物线的解析式为y=x2+2；将抛物线y=x2沿着y 轴负方向平移2个单位长度
解析：y=x 2+2或y=x 2-2．
【分析】
根据图象的平移规律，可得答案．
【详解】
解：将抛物线y=x 2沿着y 轴正方向平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y=x 2+2；将抛物线y=x 2沿着y 轴负方向平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y=x 2-2； 故答案是：y=x 2+2或y=x 2-2．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与几何变换问题，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
16．4【分析】根据抛物线形状建立二次函数模型以AB 中点为原点建立坐标系xOy 通过已知线段长度求出A(10)B(-1O)由二次函数的性质确定y ＝ax2－a 利用PQ ＝EF 建立等式求出二次函数中的参数a 即可得
解析：4
【分析】
根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，通过已知线段长度求出A(1，0)，B(-1,O)，由二次函数的性质确定y ＝ax 2－a ，利用PQ ＝EF 建立等式，求出二次函数中的参数a ，即可得出EF 的值．
【详解】
解：如图，令P 下方的点为H ，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，则A(1，0)，B(-1,O)，
设抛物线的方程为y=ax 2+bx+c
∴抛物线的对称轴为x=0，则2b a
-
＝0，即b ＝0． ∴y ＝ax 2 +c ．
将A(1，0)代入得a+c ＝0,则c ＝－a ．
∴y ＝ax 2－a ． ∵OH ＝2×
15×12
＝0.2，则点H 的坐标为（-0.2，0） 同理可得：点F 的坐标为（-0.6，0）．
∴PH ＝a×(-0.2)2-a ＝－0.96a
EF ＝a×(-0.6)2-a ＝－0.64a ．
又∵PQ ＝EF ＝1－（－0.96a ）＝－0.64a
∴1＋0.96a ＝－0.64a ．
解得a ＝58-． ∴y ＝5
8-x 2＋58
． ∴EF ＝（58-）×（-0.6）２＋
58＝25
． 故答案为：0.4．
【点睛】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式．
17．6【分析】设BC=2x 根据余弦的定义用x 表示出AB 根据勾股定理列式计算得到答案【详解】解：设BC=2x 在Rt △ABC 中∠C=90°∴∴AB=3x 由勾股定理得AC2+BC2=AB2即（2）2+（2x ）
解析：6
【分析】
设BC=2x ，根据余弦的定义用x 表示出AB ，根据勾股定理列式计算，得到答案．
【详解】
解：设BC=2x ，
在Rt △ABC 中，∠C=90°，2cos 3
B =， ∴
23
BC AB =， ∴AB=3x ，
由勾股定理得，AC 2+BC 2=AB 2，即（2+（2x ）2=（3x ）2，
解得，x=2，
∴AB=3x=6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．
18．15【分析】如图连接ABCD过点A作AE⊥CD于E过点B作BF⊥CD于F求出CEDF即可解决问题【详解】解：如图连接ABCD过点A作AE⊥CD于E过点B作BF⊥CD于F∵AB∥EFAE∥BF∴四边形
解析：15
【分析】
如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．求出CE， DF即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．
∵AB∥EF，AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵∠AEF=90°，
∴四边形AEFB是矩形，
∴EF=AB
∵AE∥PC，
∴∠PCA=∠CAE=30°，
∴CE=AC•sin30°=27.5（cm），
同法可得DF=27.5（cm），
∴EF= CD-CE-DF=70-27.5-27.5=15（cm），
∴AB=15（cm），
故答案为15．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
19．【分析】过E作EG⊥AO连接EO先利用旋转的性质得出ED和OD根据三角函数可得∠EOD=30°在△OEG中解直角三角形即可求得OG和GE从而得出E
点坐标【详解】解：∵A （30）C （0）∴OA=3∵四 解析：(3,3) 【分析】
过E 作EG ⊥AO ，连接EO ，先利用旋转的性质得出ED 和OD ，根据三角函数可得∠EOD=30°，在△OEG 中解直角三角形即可求得OG 和GE ，从而得出E 点坐标．
【详解】
解：∵A （3，0），C （0，3），
∴OA=3, 3OC =
， ∵四边形OABC 为矩形， ∴3AB OC ==,∠BAO=90°， 如下图，过E 作EG ⊥AO ，连接EO ，
∵矩形OABC 绕原点O 逆时针旋转30°后得到矩形ODEF ，
∴OD=OA=3, 3DE AB ==
∠EDO=90°， ∴3tan EOD ∠=
∴∠EOD=30°，
∴∠EOG=∠EOD+∠DOA=60°，
又∵23sin 30ED EO ==︒
∴cos 603,sin 603,OG EO EG EO =︒==︒=
∴3,3)E ．
故答案为：3,3)．
【点睛】
本题考查解直角三角形，矩形的性质，坐标与图形变化——旋转．能正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．
20．【分析】根据菱形的性质可得=3从而得出都是等边三角形利用SAS 即可证出从而得出根据等边三角形的判定可得是等边三角形从而得出即CE 最小时EF 最小根据垂线段最短可得时线段最小利用锐角三角函数即可求出结论 解析：332
【分析】
根据菱形的性质可得AB BC CD AD AC =====3，从而得出ABC ，ACD △都是等边三角形，利用SAS 即可证出EAC FDC ≌，从而得出,EC FC ACE DCF =∠=∠，根据等边三角形的判定可得ECF △是等边三角形，从而得出CE EF CF ==，即CE 最小时，EF 最小，根据垂线段最短可得CE AB ⊥时，线段CE 最小，利用锐角三角函数即可求出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，且AB AC ==3，
∴AB BC CD AD AC =====3，
∴ABC ，ACD △都是等边三角形，
∴60EAC D ∠=∠=︒，
在EAC 和FDC △中
EA FD EAC D AC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴
EAC FDC ≌，
∴,EC FC ACE DCF =∠=∠， ∴60ECF ACD ∠=∠=︒，
∴ECF △是等边三角形，
∴CE EF CF ==，
∵CE AB ⊥时，线段CE 最小，最小值为BC·sin ∠
B=
322=， ∴EF
【点睛】
此题考查的是菱形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和解直角三角形，掌握菱形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和利用锐角三角函数解直角三角形是解题关键． 三、解答题
21．（1）213442y x x =-++；（2）5；（3）存在，点P
的坐标为：()
1
或()1
或()1
或()
1 【分析】
（1）先利用一次函数解析式确定A （0，4），B （8，0），再设交点式y=a （x+2）（x-
8），然后把A 点坐标代入求出a 即可得到抛物线解析式； （2）作MD ⊥x 轴于D ，交AB 于E ，再根据ABM ∆的面积=AEM ∆的面积+BEM ∆的面积得出结论；
（3）根据12OBP ACO S S ∆∆=得出2∆=OBP S ，再根据点P 在抛物线上，得出y 1=±P ，从而得出点P 的坐标；
【详解】
解：（1）当x=0时，142y x =-
+=4，则A （0，4）， 当y=0时，142
x -+=0，解得x=8，则B （8，0）， 设抛物线解析式为y=a （x+2）（x-8），
把A （0，4）代入得a•2•（-8）=4，解得14a =-， ∴抛物线解析式为1(2)(8)4=-
+-y x x ∴213442
y x x =-++ （2）∵213442
y x x =-++ ∴2125(3)44
y x =--+ ∴25(3,)4
M 作MD ⊥x 轴于D ，交AB 于E ，如图，
把x=3代入142
y x =-
+得出52y =； ∴25515424EM =-=， ∴ABM ∆的面积=AEM ∆的面积+BEM ∆的面积=1115815224EM OB ⨯⨯=⨯⨯=； （3）存在
理由如下：∵1142422∆=
⨯⨯=⨯⨯=ACO S OA OC ， ∵12OBP ACO S S ∆∆=
， ∴11y 8y 422
P P OB ⨯⨯=⨯⨯=， ∴y 1=P ；
∴y 1=±P ；
∵点P 在抛物线上， ∴2134=142-++x x 或2134=-142
-++x x
解得：1x
，2x
3x
4x ∴点P
的坐标为：()1
或()1
或()1
或()
1 【点睛】
本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积公式等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
22．（1）223y x x =--，1y x =--；（2）22MF m m =-++
【分析】
（1）把点A 和点B 的坐标代入抛物线解析式求出b 和c 的值即可求出抛物线解析式；再把点C 的横坐标代入已求出的抛物线解析式可求出其纵坐标，进而可求出直线AC 的表达式；
（2）已知点M 的横坐标为m ，点M 又在直线AB 上，所以可求出其纵坐标，而点F 在抛物线上，所以可求出其纵坐标，进而可用m 的代数式表示MF 的长．
【详解】
解：（1）把A （-1，0）、B （3，0）代入y=x 2+bx-c 得： 01093b c b c --⎧⎨+-⎩
＝＝， 解得：23b c =-⎧⎨=⎩
， ∴解析式为：y=x 2-2x-3，
把x=2代入y=x 2-2x-3得y=-3，
∴C （2，-3），
设直线AC 的解析式为y=kx+n ，
把A （-1，0）、C （2，-3）代入得023k n k n -+=⎧⎨+=-⎩
，
解得：11k n =-⎧⎨=-⎩
， ∴直线AC 的解析式为1y x =--；
（2）∵点M 在直线AC 上，
∴M 的坐标为（m ，-m-1）；
∵点F 在抛物线y=x 2-2x-3上，
∴F 点的坐标为（m ，m 2-2m-3），
∴MF=（-m-1）-（ m 2-2m-3）=-m 2+m+2．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、待定系数法求一次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中用m 表示出点M 、F 的坐标是解题的关键．
23．（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3；（2）3
【分析】
（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）根据抛物线解析式求得点B 、C 的坐标，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，交直线AC 于F ，由直线AC 的解析式和一次函数图象上点的坐标特征求得点F 的坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴相交于A （﹣3，0），D （1，0）两点， ∴9301+=0b c b c --+=⎧⎨-+⎩
， 解得：2=3b c =-⎧⎨⎩
． 故该抛物线解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3；
（2）由抛物线解析式y ＝﹣x 2﹣2x +3，可得B （﹣1，4），C （0，3）．
如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，交直线AC 于F ，则点F 的横坐标是﹣1．
∵直线AC 经过点A （﹣3，0），C （0，3），
∴直线AC 的解析式是y ＝x +3．
把x ＝﹣1代入y ＝x +3，得y ＝2．
则F （﹣1，2）．
∴BF ＝2．
∵AO ＝3
∴S △ABC ＝S △ABF +S △BCF =12BF •（AE+OE ）＝12BF •AO ＝1232
⨯⨯＝3．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和求坐标系中三角形的面积问题，难度不大，属于基础题型，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是关键．
24．【分析】
作点A 关于BD 的对称点A '，连接MA '，BA '，过 A '作A H AB '⊥于H ，则AM MN A M MN A H ''+=+≥，求出 A H '的长度即可解决问题．
【详解】
解：作点A 关于BD 的对称点A '，连接MA '，BA '，过 A '作A H AB '⊥于H ．
∵BA BA '=，30ABD DBA '∠=∠=︒，
∴60ABA '∠=︒，
∴ABA '△是等边三角形，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴8AD BC ==，
在Rt ABD △中，83tan 30AD AB =
=︒
∵A H AB '⊥， ∴43AH HB == ∴312A H '==，
∵AM MN A M MN A H ''+=+≥，
∴12AM MN +≥，
∴AM MN +的最小值为12．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查的是最短距离问题，等边三角形的判定与性质，本题关键根据轴对称的性质作出点A 的对称点，再根据垂线段最短求解，注意三角函数知识的运用．
25．（1）72-
；（2）132x =，22x =
【分析】 （1）原式利用负整数指数幂、绝对值的代数意义、特殊角的三角函数值，以及算术平方根的定义计算即可求出答案；
（2）原式利用因式分解法解方程即可．
【详解】
解：（1）211tan 60sin 602-⎛⎫--︒+︒+ ⎪⎝⎭
=412-+
+
=4+122+
=7； （2）22760x x -+=
(23)(2)0x x --=
2302=0x x -=-， 解得，132
x =，22x =． 【点睛】
本题考查了负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值，算术平方根的定义的知识及因式分解法解一元二次方程的知识，属于基础题，难度不大．
26．（1）120cm ；（2）()
60cm
【分析】
（1）过点B 作BE AC ⊥于E ，根据等腰三角形的性质得到30OAC OCA ∠=∠=︒，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）过点B 作BE AC ⊥于E ，根据等腰三角形的性质得到60OAC OCA ∠=∠=︒，根据三角函数的定义即可得到结论；
【详解】
.解：（1）过点B 作BE AC ⊥于E OA OC =，120AOC ∠=︒，
30OAC OCA ∴∠=∠=︒，
sin BE OAC AB
∴∠= 60BE h cm ==
60120sin sin 30BE AB cm OAC ∴===∠︒
（2）过点B 作BE AC ⊥于E ， OA OC =，60AOC ∠=︒， 60OAC OCA ∴∠=∠=︒， sin BE OAC AB
∴∠= 120AB cm = 3sin 601206032BE AB cm ∴=⋅︒=⨯
= ∴该熨烫台升高了()
60360cm -．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．。