2023北京初三(上)期末数学汇编：锐角三角函数

10．(1) CD = 5 ；
(2) cos DBE = 24 ． 25
【分析】（1）根据三角函数求出 AB 的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 CD 的长 即可；
（2）先运用勾股定理求出 BC ，再由于 D 为 AB 上的中点可得 DC = DB = 5 ，推出 DCB = ABC ，利用 正弦函数求出 BE ，据此即可解答．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学
知识解决问题．
11． 5 − 3
【分析】先将绝对值、负整数幂、二次根式化简，将锐角三角函数转化为实数，再进行计算即可．
【详解】解：原式 = 3 + 5 −3 3 + 2 3 2
= 3+5−3 3+ 3 =5− 3． 【点睛】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数的混合运算，解题的关键是的熟练掌握特殊角度的锐角 三角函数值，绝对值的定义，负整数幂的运算法则，以及二次根式的化简方法． 12．(1)证明见解析 (2)BE= 13 【分析】（1）由平行四边形的性质有 AB//CD，AD//BC，可得∠DFE=∠A，∠DFC=∠B，故 △DCF∽△CEB． （2）过点 E 作 EH⊥CB 交 CB 延长线于点 H，由题意可设 EH=x，CH=2x，由勾股定理即可得 EH=3， CH=6，再由勾股定理即可求得 BE= 13 ． 【详解】（1）证明：在平行四边形 ABCD 中，AB//CD，AD//BC ∴∠DCE=∠BEC，∠A+∠B=180° ∵∠DFE+∠DFC=180° 又∵∠DFE=∠A ∴∠DFC=∠B
13． 2+3 【分析】根据二次根式的性质、零指数幂的性质、45°的余弦值和绝对值的性质计算即可．
( ) 【详解】解：
8− −
0
2 − 2cos45 + −4
= 2 2 −1− 2 2 + 4 2
= 2 2 −1− 2 + 4
第7页/共8页
= 2 +3． 【点睛】本题考查的是实数的混合运算，掌握二次根式的性质、零指数幂的性质、45°的余弦值和绝对值的 性质是解题关键． 14．2 【分析】将特殊角的三角函数值代入，然后利用二次根式的运算法则计算即可得．
∴x=3，则有 EH=3，CH=6 ∵BC=4 ∴BH=6-4=2
在 Rt△EBH 中有 BE= EH 2 + EH 2
则 BE= 32 + 22 = 9 + 4 = 13
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质解直角三角形以及勾股定理，第二问作
辅助线将三角函数值转化到直角三角形中是解题的关键．
=
90
，如果 cos
A=
2 3
，
AB
= 6 ，那么
AC 的长为___．
7．（2023 秋·北京西城·九年级北京市第六十六中学校考期末）如果 cos A = 3 ，那么锐角 A 的度数为答题 8．（2023 秋·北京密云·九年级统考期末）计算： 2cos30 − tan 60 + sin 45cos 45 ．
15．（2023 秋·北京通州·九年级统考期末）计算： 4cos 45 + (−1)0 − 8 + 2 − 2
第2页/共8页
参考答案
1．B 【分析】根据锐角的正弦为对边比斜边求出 sin A 的值即可． 【详解】解：在 Rt△ABC 中， C = 90 ， AB = 4 ， BC = 3， ∴ sin A = BC = 3 ．
AB 3 又∵ AB = 6 ， ∴ AC = 2 ，
63
∴ AC = 4 ． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查利用锐角三角函数求解直角三角形的边长，熟记锐角三角函数的定义的内容是解此 题的关键． 7．30 【分析】根据特殊角的三角函数值可直接得出答案 【详解】解：∵ cos A = 3 ，
2 ∴锐角 A 的度数为 30°， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记 30°、45°、60°的三角函数值是解题的关键． 8． 1
9．（2023 秋·北京密云·九年级统考期末）
ABC
中，
B
=
45,
tan
C
=
1 2
,
AD
⊥
BC
，垂足为
D，
AB
=
2，
求 AC 长．
第1页/共8页
10．（2023 秋·北京通州·九年级统考期末）如图，在 Rt△ABC 中， ACB = 90，D 是边 AB 的中点， BE ⊥ CD ，垂足为点 E．已知 AC = 6，cosA = 3 ．
A． 30
B． 45
C． 60
D． 90
3．（2023 秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，每个小正方形的边长为 1，点 A、B、C 均在格点上，则
sin B 的值是（ ）
A．1
B． 3 4
C． 3 5
D． 4 5
4．（2023 秋·北京西城·九年级北京市第六十六中学校考期末）在 Rt ABC 中， C = 90 ， AB = 5 ，
【详解】（1）解：∵ AC = 6，cosA = 3 ， 5
∴ cos A = 6 = 3 ， AB 5
∴ AB = 10 ，
∵ ABC 为直角三角形，D 是边 AB 的中点， ∴ CD = 5 ；
第5页/共8页
（2）解：∵ AB = 10 ， AC = 6 ，
∴ BC
102
62
8
，
sin
ABC
=
2 ＝2 2 +1﹣2 2 +2﹣ 2 ， ＝3﹣ 2 ． 【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是 熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
第8页/共8页
(1)求证：△DCF∽△CEB；
(2)若 BC=4，CE= 3
5
，tan∠CDF=
1 2
，求线段
BE
的长．
( ) 13．（2023 秋·北京西城·九年级北京市第六十六中学校考期末）计算：
8− −
2
0
− 2cos45 +
−4
．
( 14．（2023 秋·北京海淀·九年级北京市十一学校校考期末）计算： 3 tan 60 − 4cos 45 − −1)0 + 8 ．
【详解】解： 3 tan 60 − 4cos 45 − ( −1)0 + 8 ，
= 3 3 − 4 2 −1+ 2 2 ， 2
= 3− 2 2 −1+ 2 2 ， = 2． 【点睛】题目主要考查特殊角的三角函数值的计算，二次根式的混合运算，0 次幂的运算，熟记特殊角的 三角函数值是解题关键． 15． 3 − 2 【分析】根据实数的运算法则和解三角函数即可得到结果. 【详解】解：原式＝4× 2 +1﹣2 2 +2﹣ 2 ，
AB 4 故选：B． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边 比斜边，正切为对边比邻边． 2．C 【分析】根据特殊角的三角函数值解答． 【详解】解：∵ A为锐角，且 cos A = 1 ，
2 ∴ A = 60 ． 故选 C． 【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目，熟练掌握特殊角的函数值是解题关键． 3．C 【分析】过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D，根据勾股定理求出 AB 的长度，再根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：如图：过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D，
2023 北京初三（上）期末数学汇编 锐角三角函数
一、单选题 1．（2023 秋·北京海淀·九年级北京市十一学校校考期末）在 Rt△ABC 中， C = 90 ， AB = 4 ， BC = 3，
则 sin A 的值是（ ）
A． 7 4
B． 3 4
C． 3 5
D． 4 5
2．（2023 秋·北京密云·九年级统考期末）已知 A为锐角， cos A = 1 ，则 A 的大小是（ ） 2
在 Rt△ABD 中， AB = AD2 + BD2 = 32 + 42 = 5 ， ∴ sin B = AD = 3 ，
AB 5 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和正切的定义，解题的关键是构建直角三角形，根据勾股定理求出 AB 的长度． 4．D 【分析】由勾股定理算出 AC 的值，然后根据正切函数的定义即可得到解答． 【详解】解：由勾股定理可得： AC = AB2 − BC2 = 52 − 42 = 3 ， ∴tanA= BC = 4 ，
9． 5
【分析】先求出 AD = BD =1，由 tan C = 1 ，得到 AD = 1 ，则 CD = 2 ，由勾股定理即可得到 AC 长．
2
CD 2
【详解】∵ AD ⊥ BC ，垂足是点 D， AB = 2 ，
∴ AD2 + BD2 = AB2 = 2 ，
∵ B = 45 ，
∴ BAD = B = 45 ，
AB 13 故答案为： 12 ．
13 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及正弦函数的定义：直角三角形，锐角的对边与斜边的比，难度适 中． 6．4 【分析】根据 cos A = AC = 2 ，再代入数据解答即可．
AB 3 【详解】解：在 Rt△ABC 中 ∵ C = 90 ， cos A = 2 ，
3 ∴ cos A = AC = 2 ，
AC 3 故选 D ． 【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握勾股定理及三角函数的定义是解题关键．
第3页/共8页
5． 12 13
【分析】根据勾股定理可以求出 AB = 13 ，根据三角函数的定义即可求得 sin A 的值． 【详解】解：∵ Rt△ABC 中， ACB = 90, AC = 5, BC = 12 ， ∴根据勾股定理 AB = AC2 + BC2 = 13， ∴ sin A = BC = 12 ，
2 【分析】将各个特殊角的三角函数值代入求解即可． 【详解】解： 2cos30 − tan 60 + sin 45cos 45
第4页/共8页
= 2 3 − 3 + 2 2
2
22
= 3− 3+1 2
= 1． 2
【点睛】题目主要考查特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握各个特殊角的三角函数值是解题关键．
cos
A
=
3 5
，
∵ ABC 为直角三角形，D 是边 AB 的中点，
∴ DC = DB = 5 ，
∴ DCB = ABC ，
∴ sin DCB = sin ABC = 3 ， 5
∵ BE ⊥ CD ，
∴ BEC = 90 ，
∴ sin DCB = BE ， CB
∴ BE = 24 ， 5
∴ cos DBE = BE = 24 ． BD 25
第6页/共8页
∴△DCF∽△CEB
（2）∵△DCF∽△CEB
∴∠CDF=∠ECB
∴tan∠CDF=
tan∠ECB=
1 2
过点 E 作 EH⊥CB 交 CB 延长线于点 H
在 Rt△CEH 中
EH = tan ECB = 1
CH
2
∴设 EH=x，CH=2x
∴CE= EH 2 + CH 2 = 5x
∵CE= 5x = 3 5
∴ AD = BD ， ∴ AD2 = BD2 =1， ∴ AD = BD =1，
∵ tan C = 1 ， 2
∴ AD = 1 ， CD 2
∴ CD = 2 ，
∴ AC = AD2 + CD2 = 12 + 22 = 5 ．
【点睛】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理，锐角三角函数等，准确计算是关键．
BC = 4 ，则 tan A 的值为（ ）
A． 3 5
B． 4 5
C． 3 4
D． 4 3
二、填空题 5．（2023 秋·北京密云·九年级统考期末）在 ABC 中， ACB = 90, AC = 5, BC = 12 ，则 sin A 的值为____．
6．（2023
秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠C
5
(1)求线段 CD 的长；
(2)求 cosDBE 的值．
11．（2023 秋·北京平谷·九年级统考期末）计算： −
3
+
1 5
−1
−
27 + 2cos30 ．
12．（2023 秋·北京西城·九年级北京市第六十六中学校考期末）在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 上一点，
连接 CE，F 为 CE 上一点，且∠DFE=∠A．