2020-2021成都七中实验学校高三数学下期中模拟试卷含答案

2020-2021成都七中实验学校高三数学下期中模拟试卷含答案
一、选择题
1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ）
A ．2
B ．-4
C ．2或-4
D ．4
2．已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n =，()1n
n n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足
（ ） A ．()1n
n T n =-⨯ B ．n T n =
C ．n T n =-
D ．,2,.n n n T n n ⎧=⎨-⎩
为偶数，
为奇数
3．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x
＋1；
④y ＝sin
4
4
x π
π
+
（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3
cos 5
A =，则sin
B =（ ） A ．
25
B ．
35
C ．
45 D ．
85
5．已知,,a b R +∈且11
5a b a b
+++=,则+a b 的取值范围是（ ） A ．[1,4]
B ．[)2,+∞
C ．(2,4)
D ．(4,)+∞
6．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则
cos2A =（ ） A ．78
B ．
18
C ．78
-
D ．18
-
7．数列{}n a 的前n 项和为2
1n S n n =++,()()1N*n
n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项
和为（ ） A ．49
B ．50
C ．99
D ．100
8．在ABC V 中，4
ABC π
∠=
，AB =
3BC =，则sin BAC ∠=（ ）
A
B
C
D
9．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ）
A ．10 km
B ．3 km
C ．105 km
D
．107 km
10．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2
cos 22A b c c
+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
11．已知{}n a 是等比数列，22a =，51
4
a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．(
)1614
n
--
B ．(
)1612
n
--
C ．
()32
123
n -- D ．
()32
143
n -- 12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．
1
2
B ．12
-
C ．
14
D ．14
-
二、填空题
13．若
为等比数列
的前n 项的和，
，则=___________
14．设{}n a 是公比为q 的等比数列，1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=L ，若数列{}n b 有连续四项在集合
{}53,23,19,37,82--中，则6q = .
15．已知数列{}{}n n a b 、满足ln n n b a =，*n ∈N ，其中{}n b 是等差数列，且
431007e a a ⋅=，则121009b b b +++=L ________．
16．已知a b c R ∈、、，c 为实常数，则不等式的性质“a b a c b c >⇐+>+”可以用一个函数在R 上的单调性来解析，这个函数的解析式是()f x =_________
17．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为________．
18．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有
2343n n S n T n -=-，则93
5784
a a
b b b b +++的值为_______．
19．设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组1,{
1
ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是 ．
20．如图所示，在平面四边形ABCD 中，2AB =
，3BC =，AB AD ⊥，
AC CD ⊥，3AD AC =，则AC =__________．
三、解答题
21．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且2sin 3tan c B a A =.
（1）求22
2
b c a +的值；
（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.
22．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a 的正三角形ABC 绕其中心O 逆时针旋转θ到三角形A 1B 1C 1，且20,3
πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
.顺次连结A ，A 1，B ，B 1，C ，C 1，A ，得到六边形徽标AA 1BB 1CC 1 .
(1)当θ＝
6
π
时，求六边形徽标的面积； (2)求六边形徽标的周长的最大值.
23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24220a a -=，3128S a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）当n 为何值时，数列{}n a 的前n 项和最大？
24．在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知()sin sin sin B C m A m +=∈R ,且
240a bc -=．
(1)当5
2,4
a m ==
时,求,b c 的值; (2)若角为锐角,求m 的取值范围．
25．已知数列{}n a 是等差数列，111038,160,37n n a a a a a a +>⋅=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项，L ，第2n 项，按原来的顺序组成一个新数列，求12n n S b b b =+++L .
26．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1
4cos a C a
+=，1b =. （1）若90A ∠=︒，求ABC V 的面积；
（2）若ABC V 的面积为
2
，求a ，c .
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】
∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，
2342S S S =+，12a =，
∴()()()34212122211q q q q
q
--+=
+
--，解得2q =-，
∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】
本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
先根据2
n S n =,求出数列{}n a 的通项公式,然后利用错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T .
【详解】
解:∵2
n S n =,∴当1n =时,111a S ==;
当2n ≥时,()2
21121n n n a S S n n n -=-=--=-, 又当1n =时,11a =符合上式,∴21n a n =-, ∴()()
()1121n n
n n b a n =-=--,
∴()()()()
()1
2
3
113151121n
n T n =⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--①,
∴()()()()
()2
3
4
1
113151121n n T n +-=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--②,
①-②,得()()()()()()2341
2121111211n n n T n +⎡⎤=-+⨯-+-+-+⋅⋅⋅+---⨯-⎣⎦
()
()()
()()()
2
11111122112111n n n n n -+⎡⎤---⎣⎦=-+⨯
--⨯-=---,
∴()1n
n T n =-,
∴数列{}n b 的前n 项和()1n
n T n =-.
故选:A . 【点睛】
本题考查了根据数列的前n 项和求通项公式和错位相减法求数列的前n 项和,考查了计算能力,属中档题.
3．C
解析：C 【解析】
①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；
②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；
③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 4
4x π
π⎛⎫+
⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.
答案：C.
4．A
解析：A 【解析】
试题分析：由3
cos 5
A =
得，又2a b =，由正弦定理可得sin B =.
考点：同角关系式、正弦定理．
5．A
解析：A 【解析】
分析：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b +++=，可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛
⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭
，化简整理即可得出. 详解：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，可得()214ab a b ≥+，
又11
5a b a b
++
+=， 可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛
⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭
， 化为()()2
540a b a b +-++≤， 解得14a b ≤+≤， 则+a b 的取值范围是[]1,4. 故选：A.
点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】
∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 1
4
=
， 那么2
7cos2218
A cos A =-=-． 故选C 【点睛】
本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．
7．A
解析：A 【解析】
试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，
()
()()2
2111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦
,把1n =代入上式可得
123a =≠.综上可得3,1
{2,2
n n a n n ==≥.所以3,1
{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数
.数列{}n b 的前50项
和为
()()
503235749224650S =--+++++++++L L ()()2434925250322492
2
++=--⋅
+⋅
=.故A 正确.
考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.
8．C
解析：C 【解析】
试题分析：由余弦定理得2
2923cos
5,4
b b π
=+-⋅==.
由正弦定理得
3sin sin 4
BAC π=
∠
，解得sin 10
BAC ∠=. 考点：解三角形.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】
因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫
⨯⨯⨯-
= ⎪⎝⎭
700． 所以AC ＝
km ． 故选D ． 【点睛】
本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】
因为2
cos
22A b c c
+=，所以1cosA 22b c
c
++=
,() ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此cosC 0C 2
π
==
，,选A.
【点睛】
本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.
11．D
解析：D 【解析】 【分析】 先求出3
1
()2
n n a -=，再求出25
11()
2
n n n a a -+=，即得解.
【详解】 由题得
35211,82
a q q a ==∴=. 所以2
23211
2()()22
n n n n a a q
---==⨯=，
所以3
22511
11
()
()()222
n n n n n a a ---+=⋅=. 所以
111
4
n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列. 所以12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=18[1()]
4114
n --=()32143n --. 故选：D 【点睛】
本题主要考查等比数列通项的求法和前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．C
解析：C 【解析】
试题分析：由21,,n n n S S S ++成等差数列可得，212n n n n S S S S +++-=-，即
122n n n a a a ++++=-，也就是2112n n a a ++=-，所以等比数列{}n a 的公比1
2q =-，从而
223111
1()24
a a q ==⨯-=，故选C.
考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n 项和.
二、填空题
13．-7【解析】设公比为q 则8a1q=-a1q4所以q3=-8S6S3=q6-1q3-1=q3+1=-8+1=-7
解析：-7 【解析】 设公比为，则
，所以
．
．
14．【解析】【分析】【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力等比数列的通项有连续四项在集合四项成等比数列公比为=-9 解析：9-
【解析】 【分析】 【详解】
考查等价转化能力和分析问题的能力,等比数列的通项,{}n a 有连续四项在集合
{}54,24,18,36,81--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为3
2
q =-
，6q = -9. 15．2018【解析】【分析】数列{an}{bn}满足bn ＝lnann ∈N*其中{bn}是等差数列可得bn+1﹣bn ＝lnan+1﹣lnan ＝ln 常数t 常数et ＝q ＞0因此数列{an}为等比数列由可得a1
解析：2018 【解析】 【分析】
数列{a n }、{b n }满足b n ＝lna n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，可得b n +1﹣b n ＝lna n +1﹣lna n ＝
ln 1n n a a +=常数t ．1
n n
a a +=常数e t ＝q ＞0，因此数列{a n }为等比数列．由431007e a a ⋅=， 可得a 1a 1009＝a 2a 10084
31007a a e =⋅==L ．再利用对数运算性质即可得出．
【详解】
解：数列{a n }、{b n }满足b n ＝lna n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，
∴b n +1﹣b n ＝lna n +1﹣lna n ＝ln 1
n n
a a +=常数t ． ∴
1
n n
a a +=常数e t ＝q ＞0， 因此数列{a n }为等比数列．
且4
31007e a a ⋅=，
∴a 1a 1009＝a 2a 10084
31007a a e =⋅==L ．
则b 1+b 2+…+b 1009＝ln （a 1a 2…a 1009）==lne 2018＝2018． 故答案为：2018． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与性质、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．【解析】【分析】构造函数通过讨论其单调性即解析不等式的性质【详解】函数是定义在上的单调增函数若则即即故答案为：【点睛】此题考查利用函数单调性解析不等式的性质利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求 解析：x c -
【解析】 【分析】
构造函数()f x x c =-，通过讨论其单调性即解析不等式的性质． 【详解】
函数()f x x c =-，是定义在R 上的单调增函数， 若a c b c +>+，
则()()f a c f b c +>+，即a c c b c c +->+-， 即a b >． 故答案为：x c - 【点睛】
此题考查利用函数单调性解析不等式的性质，利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求解．
17．【解析】由正弦定理得由余弦定理得故也就是最大内角为 解析：
23
π 【解析】
由正弦定理得::3:5:7a b c =,由余弦定理得2223571
cos 2352
C +-==-⨯⨯,故2π3C =,也就是最大内角为
2π
3
. 18．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】∵{an}{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题
解析：19
41
【解析】 【分析】
由等差数列的性质和求和公式可得原式1111
S T =
，代值计算可得． 【详解】
∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴939393657846666
222a a a a a a a b b b b b b b b ++=+==++ ∵61111111111622a S a a T b b b +==+＝211319411341
⨯-=⨯-，∴661941a b =， 故答案为
1941
. 【点睛】 本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
19．【解析】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行所以且又为正数所以（）即取值范围是考点：方程组的思想以及基本不等式的应用
解析：(2,)+∞
【解析】
试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且1a b ≠≠．又a ，b
为正数，所以2a b +>=（1a b ≠≠），即+a b 取值范围是(2,)+∞．
考点：方程组的思想以及基本不等式的应用．
20．3【解析】分析：详解：设在直角中得所以在中由余弦定理由于所以即整理得解得点睛：在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信息一般地如果式子中含有角 解析：3
【解析】
分析：
详解：设,3AC x AD x ==，
在直角ACD ∆
中，得CD =
，所以sin 3
CD CAD AD ∠==， 在ABC ∆
中，由余弦定理2222cos 2AB AC BC BAC AB AC +-∠==⋅ 由于2BAC CAD π
∠+∠=，所以cos sin BAC CAD ∠=∠，
23=23830x x --=，解得3x =. 点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式
时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
三、解答题
21．（1）22
2
4b c a +=（2 【解析】
【分析】
（I ）由题意2sin 3tan c B a A =，利用正、余弦定理化简得2224b c a +=，即可得到答案. （II ）因为2a =，由（I ）知222416b c a +==，由余弦定理得6cos A bc =
，进而利用基本不等式，得到6cos bc A =，且(0,)2
A π∈，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质，即可求解面积的最大值.
【详解】
解：（I ）∵2sin 3tan c B a A =，
∴2sin cos 3sin c B A a A =，
由正弦定理得22cos 3cb A a =， 由余弦定理得222
22?32b c a cb a bc
+-=，化简得2224b c a +=， ∴22
24b c a
+=. （II ）因为2a =，由（I ）知222416b c a +==， ∴由余弦定理得2226cos 2b c a A bc bc
+-==， 根据重要不等式有222b c bc +≥，即8bc ≥，当且仅当b c =时“=”成立， ∴63cos 84A ≥
=. 由6cos A bc =，得6cos bc A =，且0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， ∴ABC ∆的面积116sin sin 3tan 22cos S bc A A A A =
=⨯⨯=. ∵2222222sin cos sin 11tan 1cos cos cos A A A A A A A
++=+==，
∴tan A =≤=
∴3tan S A =≤
∴ABC ∆的面积S .
【点睛】
本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
22．(1)
234
a ；(2) 【解析】
【分析】 （1）连接OB ,则1
23AOB πθ∠=-,由等边三角形ABC 的边长为a ,可得
3
OA OB a ==,再利用三角形面积公式求解即可； （2）根据三角形的对称性可得
12sin sin 22AA OA θ
θ==,112sin sin 32222A B OB πθθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,则周长为关于θ的函数,进而求得最值即可
【详解】
（1）Q 等边三角形ABC 的边长为a ,
3
OA OB a ∴==, 连接OB ,123
AOB πθ∴∠=-,
2123sin sin 236S OA ππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=⨯+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦, ∴当6πθ=时,六边形徽标的面积为234
S a =
（2）在1AOA V 中,12sin sin 22
AA OA θ
θ==,
在1BOA V 中,112sin sin 32222A B OB πθθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
,
设周长为()f q ,则()()113sin 23f AA A B θπθ⎛⎫=+=+
⎪⎝⎭,20,3θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,
当且仅当232θ
π
π
+=,即3π
θ=时,()max f θ=
【点睛】
本题考查三角形面积的应用,考查正弦型函数的最值问题,考查三角函数在几何中的应用,考查数形结合思想
23．（1）203n a n =-；（2）当6n =时，数列{}n a 的前n 项和最大．
【解析】
【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由24220,a a -=3128S a -=．
利用通项公式可得()()112320a d a d +-+=，113328a d a +-=，解方程组即得． （2）令0n a ≥，解得n ．
【详解】
解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，24220,a a -=Q 3128S a -=．
()()112320,a d a d ∴+-+=113328a d a +-=，
联立解得：117,a =3d =-．
173(1)203n a n n ∴=--=-．
（2）令2030n a n =-≥，解得203
n ≤． ∴当6n =时，数列{}n a 的前n 项和最大．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和的最值．解题方法是基本量法，对前n 项和的最大值问题，可通过解不等式0n a ≥确定n 值．
24．(1)2 12b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122
b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩
; (2)m <<． 【解析】
试题分析: 本题考查正弦定理和余弦定理;(1)先利用正弦定理将角角关系转化为边边关系,再通过解方程组求解;(2)利用余弦定理进行求解.
试题解析：由题意得2,40b c ma a bc +=-=．
(1)当52,4a m ==时,5,12
b c bc +==, 解得212b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩; (2)()222222cos 22b c bc a b c a A bc bc
+--+-===()22
2222232a ma a m a --=-,
∵为锐角,∴()2cos 230,1A m =-∈,∴2322
m <<, 又由b c ma +=可得0m >, ∴622
m << 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.
25．（1）32n a n =+；（2）6226n n T n =⨯+-
【解析】
【分析】
（1）先由条件可以判断出数列是递增数列，再由等差数列的性质：
m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+ 可以求得110,a a ，然后根据等差数列通项公式即可求解.
(2)由（1）可得数列n b 的通项公式，然后利用分组求和即可求解.
【详解】
（1）等差数列{}n a 中，111038,37n n a a a a a a +>+=+=，
110110
16037a a a a ⋅=⎧⎨+=⎩ 解得110532
a a =⎧⎨=⎩ 3253101d -∴=
=-， ()51332n a n n ∴=+-⨯=+.
（2）由（1）知，12322b a ==⨯+，24342b a ==⨯+，…2322n n n b a ==⋅+，
()()()12322342322n n n S b b b ∴=+++=⨯++⨯+++⋅+L L
()
1
22324223212n n n n +-=⨯++++=⨯+-L 13262n n +=⨯-+
6226n n =⨯+-.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、性质、等比数列的求和公式、利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通
项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减；解题中需要熟练掌握公式和性质，对计算能力要求较高.
26．（1）
2
；（2）a =2c =. 【解析】
【分析】 （1）已知14cos a C a
+
= ,根据余弦定理和勾股定理等已知条件，可求得a 与c 的值，应用三角形面积公式，可求得三角形面积； （2）根据三角形面积公式，得sinC,根据14cos a C a
+
=，得cosC ，代入sin 2C+cos 2C=1，得关于a 的方程，解方程即可.
【详解】 （1）∵14cos a C a += ()
222222142a c a b c ab a +-+-=⨯=，∴2221c a =+. 又∵90A ∠=︒，∴22221a b c c =+=+.
∴222212c a c =+=+，∴c =a =
∴111sin 12222
ABC S bc A bc ===⨯=V .
（2）∵11sin sin 22ABC S ab C a C =
==V ，∴sin C =.
∵14cos a C a +=，sin C =，
∴2
21114a a a ⎛⎡⎤⎛⎫++= ⎪⎢⎥ ⎝
⎭⎣⎦⎝⎭，化简得()2270a -=，
∴a =2c =.
【点睛】
正弦定理和余弦定理可将已知条件中的边、角关系转化为角或边的关系；三角形面积公式S=111absin bcsin acsin 222
C A B == 中既含有角，又含有边，可与正弦定理和余弦定理联系起来，为解三角形提供条件.。