高中数学 第1章 直线、多边形、圆 1.1 平面直角坐标系学案 北师大版选修4-1

1.1 平面直角坐标系与曲线方程
1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换
1.理解平面直角坐标系的作用.(重点)
2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(重点)
3.了解平面直角坐标系中直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种图形的代数表示.(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 平面直角坐标系与点的坐标
在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的有序实数对(x，y)与之对应；反之，对于任意的一个有序实数对(x，y)，都有唯一的点与之对应.即在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在平面直角坐标系中，x轴上点的纵坐标都是0.( )
(2)在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的.( )
(3)坐标(3,0)和(0,3)表示同一个点.( )
【解析】(1)√(2)√
(3)×因为(3,0)在x轴上，而(0,3)在y轴上.
【答案】(1)√(2)√(3)×
教材整理2 平面直角坐标系中曲线与方程的关系
曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；
(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.
那么，方程f(x，y)＝0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)＝0的曲线.
填空：
(1)x 轴的直线方程为________.
(2)以原点为圆心，以1为半径的圆的方程为____________.
【导学号：12990000】
(3)方程2x 2
＋y 2
＝1表示的曲线是____________. 【答案】 (1)y ＝0 (2)x 2
＋y 2
＝1 (3) 椭圆 教材整理3 平面直角坐标轴中的伸缩变换
在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果x 轴的单位长度保持不变，y 轴的单位长度缩小为原来的12，圆x 2＋y 2
＝4的图形
变为椭圆.( )
(2)平移变换既不改变形状，也不改变位置.( ) (3)在伸缩变换下，直线依然是直线.( )
【解析】 (1)√ 因为x 2
＋y 2＝4的圆的形状变为方程x 2
4＋y 2
＝1表示的椭圆.
(2)× 平移变换只改变位置，不改变形状.
(3)√ 直线在平移和伸缩下依然为直线，但方程发生了变化. 【答案】 (1)√ (2)× (3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：
[小组合作型]
利用平面直角坐标系确定位置
由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行
护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4千米.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号.由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s 后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？
【精彩点拨】 本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A ，
B ，
C 表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解.
【自主解答】 设A ，B ，C ，P 分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示， 以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则
A (3,0)，
B (－3,0)，
C (－5,23).
∵|PB |＝|PC |，
∴点P 在线段BC 的垂直平分线上.
k BC ＝－3，线段BC 的中点D (－4，3)，
∴直线PD 的方程为y －3＝13
(x ＋4). ①
又|PB |－|PA |＝4，
∴点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上， 双曲线方程为x 24－y 2
5＝1(x ≥2).
②
联立①②，解得P 点坐标为(8,53). ∴k PA ＝53
8－3
＝ 3.
因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.
1.由于A ，B ，C 的相对位置一定，解决问题的关键是如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解.
2.运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题.
[再练一题]
1.已知某荒漠上有两个定点A ，B ，它们相距2 km ，现准备在荒漠上开垦一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.
(1)问农艺园的最大面积能达到多少？
(2)该荒漠上有一条水沟l 恰好经过点A ，且与AB 成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问：暂不加固的部分有多长？
【解】 (1)设平行四边形的另两个顶点为C ，D ，由围墙总长为8 km ，得|CA |＋|CB |＝4>|AB |＝2，
由椭圆的定义知，点C 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长2a ＝4，焦距2c ＝2的椭圆(去除落在直线AB 上的两点).
以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点C 的轨迹方程为x 24＋y 2
3
＝1(y ≠0). 易知点D 也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD 的面积最大，则C ，D 为此椭圆短轴的端点，此时，面积S ＝23(km 2
).
(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆x 24＋y 2
3＝1(y ≠0)内，故暂不
需要加固水沟的长就是直线l ：y ＝
3
3
(x ＋1)被椭圆截得的弦长，如图. 因此，由⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝3
3x ＋1
，
x 2
4＋y 23＝1
⇒13x 2
＋8x －32＝0，
那么弦长＝1＋k 2
|x 1－x 2| ＝
1＋⎝
⎛⎭
⎪⎫332
·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8132－4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3213＝4813
，故暂不加固的部分长4813 km. 平面直角坐标系中曲线方程
的确定
(1)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为
3
，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，求椭圆G 的方程；
(2)在边长为2的正△ABC 中，若P 为△ABC 内一点，且|PA |2
＝|PB |2
＋|PC |2
，求点P 的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线.
【精彩点拨】 本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等.解答此题中(1)需要根据已知条件用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线.
【自主解答】 (1)由已知设椭圆方程为
x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a >b >0)， 则2a ＝12，知a ＝6.又离心率e ＝c a ＝
3
2
，故c ＝3 3.
∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.
∴椭圆的标准方程为x2
36
＋
y2
9
＝1.
(2)以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设P(x，y)是轨迹上任意一点，又|BC|＝2，∴B(－1,0)，C(1,0)，则A(0，3).
∵|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，
∴x2＋(y－3)2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2，
化简得x2＋(x＋3)2＝4.
又∵P在△ABC内，∴y>0.
∴P点的轨迹方程为x2＋(y＋3)2＝4(y>0).
其曲线如图所示为以(0，－3)为圆心，半径为2的圆在x轴上半部分圆弧.
求动点轨迹方程常用的方法有：
(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：
①建立适当的平面直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
②写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}；
③用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)＝0；
④化简方程f(x，y)＝0；
⑤检验或证明④中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则
⑤可以省略.
(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程.
(3)代入法(相关点法)：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求.
[再练一题]
2.如图1­1­1，四边形MNPQ 是圆C 的内接等腰梯形，向量CM →与PN →的夹角为120°，QC →·QM →
＝2.
图1­1­1
(1)求圆C 的方程；
(2)求以M ，N 为焦点，过点P ，Q 的椭圆方程. 【解】 (1)建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意得，△CQM 为正三角形. ∴QC →·QM →＝r 2
·cos 60°＝2， ∴圆C 的半径为2. 又圆心为(0,0)，
∴圆C 的方程为：x 2
＋y 2
＝4.
(2)由(1)知M (2,0)，N (－2,0)，Q (1，3)， ∴2a ＝|QN |＋|QM |＝23＋2， ∴a ＝3＋1，c ＝2， ∴b 2
＝a 2
－c 2
＝23，
∴椭圆方程为：x 24＋23＋y 2
23
＝1.
[探究共研型]
平面直角坐标系中的伸缩变换
探究 1 线和抛物线呢？
【提示】 在平面经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线；圆伸缩后可能是圆或椭圆；椭圆伸缩后可能是椭圆或圆；双曲线伸缩后仍为双曲线；抛物线伸缩后仍为抛物线.
探究2 平移变换与伸缩变换的区别是什么？
【提示】 平移变换区别于伸缩变换的地方就是：图形经过平移后只改变了位置，不会改变它的形状.
探究3 在伸缩变换中，若x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍后，变换后的坐标(x ′，y ′)与原坐标(x ，y )有什么关系？
【提示】 一般地，在平面直角坐标系xOy 中：
使x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍(k >0)，则当k ＝1时，x 轴与y 轴具有相
同的单位长度；即为
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝x ，y ′＝y 的伸缩变换，当k >1时，相当于x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位
长度缩小为原来的1
k
，即为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝x ，
y ′＝1
k y 的伸缩变换，当0<k <1时，相当于y 轴上的单位长
度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的k 倍，即为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ′＝kx ，
y ′＝y
的伸缩变换.
在下列平面直角坐标系中，分别作出x 225＋y 2
9＝1的图形： (1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；
(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的1
2
倍.
【精彩点拨】 先按要求改变x 轴或y 轴的单位长度，建立平面直角坐标系，再在新坐标系中作出图形.
【自主解答】 (1)建立平面直角坐标系，使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，则x 225＋
y 2
9＝1的图形如图①.
(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 2
25＋y
2
9＝1的
图形如图②.
(3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 2
25＋y
2
9＝1的
图形如图③.
在平面直角坐标系中，改变x 轴或y 轴的单位长度会对图形产生影响，本题2中即为
⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ′＝x ，y ′＝12y 的伸缩变换，本题3中即为⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝12x ，
y ′＝y
的伸缩变换.
[再练一题]
3.本例中，x 225＋y 2
9＝1不变，试在下列平面直角坐标系中，分别作出其图形：
(1)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的5
3倍；
(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的3
5
倍.
【解】 (1)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的35，则x
2
25
＋
y 2
9
＝1的图形如图①.
(2)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的35，则x 2
25＋y
2
9＝1的
图形如图②.
[构建·体系]
1.曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( ) A.(0,0) B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫15，15
C.(1,5)
D.(4,4)
【解析】 将答案代入验证知D 正确. 【答案】 D
2.直角坐标系中到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是( ) A.|x |－|y |＝1 B.|x －y |＝1 C.||x |－|y ||＝1
D.|x ±y |＝1
【解析】 由题知C 正确. 【答案】 C
3.已知一椭圆的方程为x 216＋y 2
4＝1，如果x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的1
2，则该
椭圆的形状为( )
【解析】 如果y 轴上单位长度不变，x 轴的单位长度变为原来的12
倍，则方程变为x 2
＋
y 2＝4，故选B.
【答案】 B 4.将圆x
2
＋y 2
＝1经过伸缩变换⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝4x ，
y ′＝3y 后的曲线方程为________.
【导学号：12990001】
【解析】 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝4x ，
y ′＝3y ，得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝x ′4，
y ＝y ′3.
代入到x 2＋y 2
＝1，得
x ′216
＋
y ′2
9＝1.
∴变换后的曲线方程为x 216＋y 2
9＝1.
【答案】
x 216＋y 2
9
＝1 5.已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.求动点M 的轨迹C 的方程.
【解】 如图，设点M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |，
由此得|4－x|
＝2x－12＋y2，
化简得x 24＋y 2
3
＝1，
∴动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
我还有这些不足：
(1) (2) 我的课下提升方案：
(1) (2)
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