精选2018_2019学年高中数学课时分层作业8双曲线的标准方程苏教版必修4

课时分层作业(八) 双曲线的标准方程
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．双曲线x 225－y 2
24＝1上的一点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为
________．
[解析] 不妨设PF 1＝11，则由双曲线定义知，|PF 1－PF 2|＝2a ＝10， ∴PF 2＝1或PF 2＝21.而F 1F 2＝14，
∴当PF 2＝1时，PF 1＋PF 2＝1＋11＜14＝F 1F 2，故PF 2＝1应舍去． [答案] 21 2．双曲线
x 2
m ＋12－
y 2
4－m ＝1的焦距是________．
[解析] 由题意，得c ＝(m 2
＋12)＋(4－m 2
)＝4，所以焦距为2c ＝8. [答案] 8
3．已知F 1，F 2是双曲线x 216－y 2
9＝1的左，右焦点，P 是双曲线右支上一点，M 是PF 1的
中点，若OM ＝1，则PF 1的值为________．
[解析] 因为M 是PF 1的中点，所以PF 2＝2OM ＝2，又由双曲线的定义知：PF 1－PF 2＝2a ＝8，所以PF 1＝10.
[答案] 10
4．焦点分别是(0，－2)，(0,2)，且经过点P (－3,2)的双曲线的标准方程是________．
[解析] 由题意，焦点在y 轴上，且c ＝2，可设双曲线方程为y 2m －x 24－m ＝1(0<m <4)，将
P (－3,2)代入，解得m ＝1.
因此所求双曲线标准方程为y 2
－x 2
3＝1.
[答案] y 2
－x 2
3
＝1
5．已知双曲线x 2
－y 2
＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则PF 1＋PF 2的值为________.
【导学号：71392077】
[解析] 不妨设P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2
＝PF 2
1＋PF 2
2，又因为|PF 1－PF 2|＝2，所以(PF 1－PF 2)2
＝4，可得2PF 1·PF 2＝4，则(PF 1＋PF 2)2
＝PF 2
1＋PF 2
2＋2PF 1·PF 2＝12，所以PF 1＋PF 2＝2 3.
[答案] 2 3
6．已知双曲线x 29－y 2
16＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________．
[解析] 由于双曲线x 29－y 2
16＝1的右焦点为F (5,0)，将x M ＝5代入双曲线可得|y M |＝16
3，
即双曲线上一点M 到右焦点的距离为16
3，故利用双曲线的定义可求得点M 到左焦点的距离为
2a ＋|y M |＝6＋163＝34
3
.
[答案]
343
7．已知双曲线x 216－y 2
25
＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2
＋
y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.
【导学号：71392078】
[解析] 设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝1
2
|PF ′|.
由双曲线方程知a 2
＝16，b 2
＝25， ∴c 2
＝a 2
＋b 2
＝16＋25＝41，
又|FN |＝|OF |2
－|ON |2
＝5，且由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝1
2
×8－5＝－1.
[答案] －1
8．若圆x 2
＋y 2
－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________．
[解析] 解方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋y 2
－4x －9＝0，
x ＝0，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，y ＝3
或⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝0，y ＝－3.
∵圆x 2
＋y 2
－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，
∴A (0，－3)，B (0,3)，且a ＝3,2c ＝18，
∴b 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1822
－32
＝72，
∴双曲线方程为y 29－x 2
72＝1.
[答案]
y 2
9
－
x 2
72
＝1 二、解答题
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，－4103；
(2)经过点(3,0)，(－6，－3)． [解] (1)当焦点在x 轴上时，
设所求标准方程为x 2
16－y 2
b
2＝1(b ＞0)，
把A 点的坐标代入，得b 2
＝－1615×1609
＜0，不符合题意；
当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 2
16－x 2
b
2＝1(b ＞0)，
把A 点的坐标代入，得b 2
＝9， ∴所求双曲线的标准方程为
y 2
16
－x 2
9
＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2
＝1(mn ＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝1
9，n ＝－1
3，
∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 2
3
＝1. 10．已知F 1，F 2是双曲线x 2
9－y 2
16＝1的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2
＝32，试求△F 1PF 2的面积.
【导学号：71392079】
[解] 双曲线的标准方程为x 29－y 2
16＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2
＝5.由双曲线的
定义，
得|PF 2－PF 1|＝2a ＝6，将此式两边平方，得PF 2
1＋PF 2
2－2PF 1·PF 2＝36，
∴PF 2
1＋PF 2
2＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得
cos∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－100
2PF 1·PF 2
＝0，
∴∠F 1PF 2＝90°，
∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝1
2
×32＝16.
[能力提升练]
1．设F 1，F 2是双曲线x 2
－y 2
24＝1的两个焦点，P 是双曲线上一点，且3PF 1＝4PF 2，则△PF 1F 2
的面积为________．
[解析] 由题意知PF 1－PF 2＝2a ＝2， ∴4
3PF 2－PF 2＝2， ∴PF 2＝6，PF 1＝8. 又F 1F 2＝10，
∴△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝90°， ∴S △PF 1F 2＝1
2×6×8＝24.
[答案] 24
2．设椭圆C 1的离心率为5
13，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的
两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为____．
[解析] 对于椭圆C 1，∵长轴长2a 1＝26，∴a 1＝13， 又离心率e 1＝c 1a 1＝
5
13
，∴c 1＝5. 由题意知曲线C 2为双曲线，且与椭圆C 1共焦点， ∴c 2＝5.
又2a 2＝8，∴a 2＝4，b 2＝c 2
2－a 2
2＝3，又焦点在x 轴上， 故曲线C 2的标准方程为x 216－y 2
9＝1.
[答案]
x 2
16
－y 2
9
＝1 3．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→
＝0，PF 1·PF 2＝2，则双曲线的标准方程为________．
[解析] 由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)．
由PF 1→·PF 2→
＝0，得PF 1⊥PF 2. 根据勾股定理得
PF 21＋PF 22＝(2c )2，即PF 21＋PF 2
2＝20.
根据双曲线定义，有PF 1－PF 2＝±2a . 两边平方并代入PF 1·PF 2＝2，得
20－2×2＝4a 2
，解得a 2
＝4，从而b 2
＝5－4＝1. 故双曲线的标准方程是x 2
4－y 2
＝1.
[答案]
x 2
4
－y 2
＝1
4．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图2­3­1所示的P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA ，PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程.
【导学号：71392080】
图2­3­1
[解] 矩形灾民区ABCD 中的点可分为三类，第一类沿道路PA 送药较近，第二类沿道路
PB 送药较近，第三类沿道路PA 和PB 送药一样远近．依题意，界线是第三类点的轨迹．
设M 为界线上的任一点，则PA ＋MA ＝PB ＋MB ，MA －MB ＝PB －PA ＝50(定值)， 所以界线是以A ，B 为焦点的双曲线的右支的一部分．
如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，设
所求双曲线方程的标准形式为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，因为a ＝25,2c ＝|AB |
＝1002
＋1502
－2×100×150×cos 60°＝507，
所以c ＝257，b 2
＝c 2
－a 2
＝3 750， 故双曲线的标准方程为x 2625－y 2
3 750
＝1.
注意到点C 的坐标为(257，60)，故y 的最大值为60，此时x ＝35，故界线的曲线方程为x 2625－y 2
3 750
＝1(25≤x ≤35，y >0).。