高中数学教学论文数列通项公式的求法集锦

数列通项公式的求法集锦
非等比、等差数列的通项公式的求法 ,题型繁杂 ,方法琐碎 ,笔者结合近几年的高|考情况 ,对数列求通项公式的方法给以归纳总结 . 一、累加法
形如1()n n a a f n --= (n =2、3、4…...) 且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求 ,那么用累加法求n a .有时假设不能直接用 ,可变形成这种形式 ,然后用这种方法求解 . 例1. 在数列{n a }中 ,1a =1 ,11n n a a n --=- (n =2、3、4……) ,求{n a }的通项公
式 .
解：∵111n a ==时，
213243121
23.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=⎫
⎪
-=⎪
⎪
-=⎬⎪⎪
-=-⎪⎭
时,
这n -1个等式累加得：112...n a a -=+++（n-1）
=
(1)
2
n n - 故21(1)222n n n n n a a --+=+= 且11a =也满足该式 ∴222
n n n a -+= (n N *
∈). 例2．在数列{n a }中 ,1a =1 ,12n n n a a +-= (n N *
∈),求n a .
解：n =1时, 1a =1212323
431
122
22.......2n n n n a a a a a a a a --≥-=⎫
⎪
-=⎪
⎪-=⎬⎪⎪⎪-=⎭
时,
以上n -1个等式累加得
21
122 (2)
n n a a --=+++ =12(12)12
n --- =22n - ,故12221n n
n a a =-+=- 且11
a =也满足该式 ∴21n
n a =- (n N *
∈) . 二、累乘法
形如
1
()n
n a f n a -= (n =2、3、4……) ,且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求 ,那么用累
乘法求n a .有时假设不能直接用 ,可变形成这种形式 ,然后用这种方法求解 . 例3．在数列{n a }中 ,1a =1 ,1n n a na += ,求n a .
解：由得
1
n n
a n a += ,分别取n =1、
2、3……(n -1),代入该式得n -1个等式累乘 ,即
324
1231........n n a a a a a a a a - =1×2×3×…×(n -1) =(n -1)!所以时 ,1
(1)!n a n a =-故(1)!n a n =-
且10!a = =1也适用该式 ∴(1)!n a n =- (n N *
∈). 例4．数列{n a }满足1a =
23 ,11
n n n
a a n +=
+ ,求n a . 解：由得
11
n n a n
a n +=
+ ,分别令n =1 ,2 ,3 ,….(n -1),代入 上式得n -1个等式累乘 ,即
324
1231
........n n a a a a a a a a - = 1231......234n n -⨯⨯⨯
所以
11
n a a n
= ,又因为123a =也满足该式 ,所以23n a n =
. 三、构造等比数列法
原数列{n a }既不等差 ,也不等比 .假设把{n a }中每一项添上一个数或一个式子构成新数列 ,使之等比 ,从而求出n a .该法适用于递推式形如1n a + =n ba c +或1n a + =()n ba f n +或1n a + = n n ba c +其中b 、c 为不相等的常数 ,()f n 为一次式 .
例5、 (06福建理22 )数列{n a }满足1a =1 ,1n a + =21n a + (n N *
∈) ,求数列{n a }的通项公式 .
解：构造新数列{}n a p + ,其中p 为常数 ,使之成为公比是n a 的系数2的等比数列 即1n a p ++ =2()n a p + 整理得：1n a + =2n a p +使之满足1n a + =21n a + ∴p =1 即{}1n a +是首||项为11a + =2 ,q =2的等比数列∴1n a + =1
22n -⋅ n a
=21n
-
例6、 (07全国II 理21 )设数列{n a }的首||项1(0,1)a ∈ ,n a =1
32
n a -- ,n =2、3、4……
(I )求{n a }的通项公式 .
解：构造新数列{}n a p + ,使之成为1
2
q =-
的等比数列 即n a p + =11()2n a p --+ 整理得：n a =113
22n a p ---满足n a =132
n a --
得 32p - =32 ∴p = -1 即新数列{}1n a -首||项为11a - ,12
q =-的
等比数列 ∴1n a - =1(1a -）112n --（） 故 n a =1(1a -）
1
12
n --（） +1
例7、 (07全国I 理22 )数列{n a }中 ,1a =2 ,1n a + =1)(2)n a + n N *
∈
(I )求{n a }的通项公式 .
解：构造新数列{}n a p + ,使之成为1q =的等比数列
1n a p ++ =1)()n a p + 整理得：1n a + =1)n a +2)p
使之满足条件 1n a + =1)n a +21)∴2)1)p =解得
p =∴{n a 是首||项为21q 的等比数列 ,由此得
n a (211)n - ∴n a 1)n 例8、数列{n a }中 ,1a =1 ,1n a + =23n n a + ,求数列的通项公式 .
分析：该数列不同于以上几个数列 ,该数列中含3n
是变量 ,而不是常量了 .故应构造新数列{3}n n a λ+ ,其中λ为常数 ,使之为公比是n a 的系数2的等比数列 .
解：构造数列{3}n n a λ+ ,λ为不为0的常数 ,使之成为q =2的等比数列 即1
13
n n a λ+++ =2(3)n n a λ+ 整理得：1n a + =1
2(233
)n n n a λλ++-
满足 1n a + =23n
n a + 得1
2333n
n n λλ+-= ∴1λ=-新数列{3}n n a -是首||项为
113a - =2- ,q =2的等比数列 ∴3n n a - =122n --⨯ ∴n a =32n n -
例9、 (07天津文20 )在数列{n a }中 ,1a =2 ,1n a + =431n a n -+ ,求数列的通项n a .
解：构造新数列{}n a n λ+ ,使之成为q =4的等比数列 ,那么1(1)n a n λ+++
=4()n a n λ+
整理得：1n a + =43n a n λλ+-满足1n a + =431n a n -+ ,即331n n λλ-=-+得
1λ=-∴新数列{}n a n -的首||项为111a -= ,q =4的等比数列
∴14n n a n --= ∴14n n a n -=+
四、构造等差数列法
数列{n a }既不等差 ,也不等比 ,递推关系式形如11()n n n a ba b f n ++=++ ,那么把两边同除以1
n b
+后 ,想法构造一个等差数列 ,从而间接求出n a .
例10． (07石家庄一模 )数列{n a }满足1221n n n a a -=+-(2)n ≥且481a = .求(1)1a 、
2a 、3a (2)是否存在一个实数λ ,使此数列{
}2
n n a λ
+为等差数列 ?假设存在求出λ的值及n a ；假设不存在 ,说明理由 .
解：(1)由4a =43221a +- =81 得3a =33；又∵3a =32221a +- =33得2a =13；
又∵2a =21221a +- =13 ,∴1a =5
(2)假设存在一个实数λ ,使此数列{
}2
n n a λ
+为等差数列 即1122n n n n a a λλ--++- = 122n n n a a λ--- = 212
n n
λ
-- = 112n λ+- 该数为常数 ∴λ =1- 即1{}2n n a -为首||项111
22
a -= ,d =1的等差数列 ∴
12
n n
a - =2 +(1)1n -⨯ =n +1 ∴n a =(1)21n n +⨯+ 例11、数列{n a }满足1n a + = 12(2)n n a +-+- (n N *
∈) ,首||项为12a =- ,求数列{n a }的通项公式 .
解：1n a + = 1
2(2)
n n a +-+- 两边同除以1
(2)
n +-得
11(2)n n a ++- =(2)n
n
a - +1
∴数列{
}(2)n n a -是首||项为12
(2)-- =1 ,d =1的等差数列∴(2)n n
a - =1 +(1)1n n -⨯=
故n a =(2)n
n -
例12．数列{n a }中 ,1a =5 ,且1331n n n a a -=+- (n =2、3、4…… ) ,试求数列{n a }的通项公式 .
解：构造一个新数列{
}3n n
a λ
+ ,λ为常数 ,使之成为等差数列 ,即11
33n n n n a a d λλ
--++=+ 整理得133n n n a a d λ-+=+ +3λ ,让该式满足1331n n n a a -=+-∴取
33n n d ⋅= ,21λ=-得12λ=- ,d =1 ,即{}3n n a λ+是首||项为111
3
232
a -
= ,公
差d =1的等差数列 .
故1
312(1)1322
n n a n n -
=+-⨯=+ ∴n
a =11()322n n +⋅+ 例13、 (07天津理21 )在数列{n a }中 ,1a =2 ,且11(2)2n n n n a a λλλ++=++- (n N *
∈ )其中λ＞0 ,()I 求数列{n a }的通项公式 . 解：1
n λ
+的底数与n a 的系数相同 ,那么两边除以1
n λ
+得
1
1
1
1
221n n
n n
n n
n n
a a λλλλ++++=
++
-
即1
11
221n n
n n n n
a a λ
λ
+++--=
+∴2{
}n
n n
a λ
-是首||项为
12
0a λ
-= ,公差d =1的等
差数
列 . ∴20(1)1n
n n
a n n λ
-=+-=- ∴(1)2n n n a n λ=-+ .
五、取倒数法
有些关于通项的递推关系式变形后含有1n n a a +项 ,直接求相邻两项的关系很困难 ,但两边同除以1n n a a +后 ,相邻两项的倒数的关系容易求得 ,从而间接求出n a . 例14、数列{n a } ,1a = 1- ,11n n n
a a a +=
- n N *
∈ ,求n a = ? 解：把原式变形得11n n n n a a a a ++-⋅= 两边同除以1n n a a +得
1
111n n a a +=+ ∴1
{
}n
a 是首||项为1- ,d =1-的等差数列故11(1)(1)n n n a =-+--=-∴1n a n =- .
例15、 (06江西理22 )数列{n a }满足132a =
,且11321
n n n na a a n --=+- (2n ≥n N *∈ )()I 求数列{n a }的通项公式 .
解：把原式变形成112(1)3n n n n a a n a na --+-= 两边同除以1n n a a +得 即
111233n n n n a a --=+ …… ⑴构造新数列{}n
n
a λ+ ,使其成为公比q = 13的等比
数列 即
111()3n n n n a a λλ--+=+整理得：112
33
n n n n a a λ--=- 满足⑴式使2233λ-= ∴1λ=-
∴数列{
1}n
n
a -是首||项为11113a -=- ,q = 13的等比数列
∴11111()()333
n n
n n a --=-=- ∴331n n n
n a ⋅=- . 例16． (06江西文22 )各项均为正数的数列{n a }满足：13a = ,且
111
22n n
n n n n a a a a a a +++-=-
n N *∈求数列{n a }的通项公式 .
解：把原式变形为1112(2)n n n n n n a a a a a a +++-=- 两边同除以1n n a a +得
11212n n n n a a a a ++-=- 移项得：11112()n n n n
a a a a ++-=- 所以新数列1{
}n n a a -是首||项为11118
333
a a -=-=- q =2的等比数列 . 故
211
23
n n n a a +-=-⨯ 解关于n a
的方程得11(23n n a += .
六．利用公式1(2)n n n a S S n -=-≥求通项
有些数列给出{n a }的前n 项和n S 与n a 的关系式n S =()n f a ,利用该式写出
11()n n S f a ++= ,两式做差 ,再利用11n n n a S S ++=-导出1n a +与n a 的递推式 ,从而求出
n a .
例17.(07重庆21题)各项均为正数的数列{n a }的前n 项和为n S 满足1S ＞1且6n S =
(1)(2)n n a a ++ n ∈N * 求{n a }的通项公式 .
解：由11a S = =
111
(1)(2)6
a a ++解得1a =1或1a =2 ,由11a S =＞1 ,因此1a =2又由11n n n a S S ++=- =1111
(1)(2)(1)(2)66
n n n n a a a a ++++-++得
11()(3)n n n n a a a a +-+-- =0 ∵n a ＞0 ∴13n n a a --=
从而{n a }是首||项为2 ,公差为3的等差数列 ,故{n a }的通项为n a =2 +3(n -1) =3n -1.
例18.(07陕西理22)各项全不为0的数列{k a }的前k 项和为k S ,且k S =11
2
k k a a +(k ∈N *)其中1a =1 ,求数列{k a }的通项公式 .
解：当k =1时 ,11a S = =121
2a a 及1a =1得2a =2； 当k ≥2时 , 由k a =1
k k S S -- =1111
22
k k k k a a a a +--得11()k k k a a a +-- =2k a ∵k a ≠0∴
11k k a a +-- =2
从而21m a - =1 +(m -1)2 =2m -1 2m a =2 +(m -1)2 =2m (m ∈N *
) 故k a =k (k ∈N *
).
例19.(07福建文21)数列{n a }的前n 项和为n S ,1a =1 ,12n n a S += ( n ∈N *
),求{n a }
的通项公式 .
解：由1a =1 ,212a S = =2 ,当n ≥2时n a =1n n S S -- =
11()2n n a a +-得1n n
a
a + =3 ,因此{n a }是首||项为2a =2 ,q =3的等比数列 .故n a =2
23n -⨯ (n ≥2),而1a =1
不满足该式 所以n a =2
13
(2)
n n -⎧⎨
⨯≥⎩ (n=1)2 .
例20.(06全国Ⅰ理22)该数列{n a }的前n 项和1412
2333
n n n S a +=-⨯+ (n =1、2、3……) 求{n a }的通项公式 .
解：由14122333n n n S a +=
-⨯+ (n =1、2、3……)…①得11a S = =14124333
a -⨯+ 所以1a =2 再1n S - =1412
2333
n n a --⨯+ (n =2、3… )…②
将①和②相减得：n a =1n n S S -- =1141()(22)33
n n
n n a a +---⨯-
整理得1124(2)n n n n a a --+=+ (n =2、3… )因而数列{2n n a +}是首||项为
124a +=,q =4
的等比数列 .即2n n a + =1
44n -⨯ =4n
,因而42n n n a =- .
七．重新构造新方程组求通项法
有时数列{n a }和{n b }的通项以方程组的形式给出 ,要想求出n a 与n b 必须得重新构造关于n a 和n b 的方程组 ,然后解新方程组求得n a 和n b .
例21. (07辽宁第21题 )：数列{n a } ,{n b }满足1a =2 ,1b =1且11
113114413144
n n n n n n a a b b a b ----⎧
=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩
(2n ≥ ),求数列{n a } ,{n b }的通项公式 .
解析：两式相加得112n n n n a b a b --+=++ 那么{n n a b +}是首||项为113a b += ,d =2的等差数列 ,故n n a b + =3 +2(n -1) =2n +1 (1)
而两式相减得n n a b - =
111122n n a b --- =111
()2
n n a b --- 那么{n n a b -}是首||项为11a b - =1 ,q =12的等比数列 ,故n n a b - =1
1()2
n - (2)
联立(1)、(2)得121
1()2
n n n n n a b n a b -+=-⎧⎪
⎨-=⎪⎩ 由此得11()22n n a n =++ ,11()22n n b n =+- .
[分析]该题条件新颖,给出的数据比较特殊 ,两条件做加法、减法后恰好能构造成等差或等比数列 ,从而 再通过解方程组很顺利求出{n a }、{n b }的通项公式 .假设改变一下数据 ,又该怎样解决呢 ?下面给出一种通法 .
例22.在数列{n a }、{n b }中1a =2 ,1b =1 ,且11267n n n n n n
a a
b b a b ++=-⎧⎨=+⎩ (n ∈N +
)求数列{n a }
和{n b }的通项公式 .
解析：显然再把1n a +与1n b +做和或做差已无规律可循 .不妨构造新数列{n n a b λ+}其中为
0λ≠的常数 .那么11n n a b λ+++ =26(7)n n n n a b a b λ-++ =(2)n a λ+ +(76)n b λ-
=76(2)()2n n a b λλλ-++
+令76
2
λλλ-=+得1λ =2或2λ =3 那么{n n a b λ+}为首||项11a b λ+ ,q =λ +2的等比数列 .
即1λ =2时 ,{2n n a b +}是首||项为4 ,q =4的等比数列 ,故2n n a b + =4×1
4
n - =4n
； 2λ =3时 ,{3n n a b +}是首||项为5 ,q =5的等比数列 ,故3n n a b + =5×1
5
n - =5n
联立二式2435
n
n n n
n n a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得3425n n n a =⨯-⨯ ,54n n
n b =- . 注：该法也可适用于例21 ,下面给出例21的该种解法 解：构造新数列{n n a b λ+} ,那么
n n
a b λ+ =
131
()44
n a λ-+ +
113
()44
n b λ-+ +
(1)λ+
=
11313(1)43n n a b λλλλ--++⎡⎤
+++⎢⎥+⎣⎦
令133λ
λλ
+=
+得1λ =1或2λ =1-即1λ =1时 ,新数列{n n a b +}中 ,n n a b + =112n n a b --++
∴ (n n a b + )11()2n n a b ---+= 新数列{n n a b +}是首||项为113a b += ,d =2的等差数列 ∴n n a b + =32(1)n +- =21n +………(1) 当2λ =1-时 ,新数列{n n a b -}是首||项为11a b + =1 ,q =
1
2
的等比数列 ∴n n a b - =1
12n -⎛⎫
⎪
⎝⎭
(2)
联立(1)、(2) 1
2112n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪⎨⎛⎫-=⎪ ⎪
⎝⎭⎩
得1122n n a n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ,1122n
n b n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ .
例23.在数列{n a }、{n b }中 ,111a b == ,且115157n n n n n n
a a
b b a b ++=+⎧⎨=+⎩ (n ∈N +
) ,求{n a }、{n b }
的通项公式 .
解：构造新数列{n n a b λ+} ,那么
11n n a b λ+++ =(5)n a λ+ +(157)n b λ+ =157(5)5n n a b λλλ+⎡
⎤++⎢⎥+⎣⎦
,令
1575λ
λλ
+=
+得1λ =3-或2λ =5 {n n a b λ+}为首||项11a b λ+ ,q =λ +5的
等比数列
即1λ = -3时 ,{3n n a b -}是首||项为113a b - =2- ,q =5 +λ =2的等比数列 ,故3n n a b - =1
22
n --⨯ =2n
-；
当2λ =5时 ,{5n n a b +}是首||项为115a b + =6 ,q =λ +5 =10的等比数列 ,故
5n n a b + =6×110n -
联立二式1
325610
n
n n n n n a b a b -⎧-=-⎪⎨+=⨯⎪⎩得13910524n n n a --=⨯-⨯ ,13
31024n n n b --=⨯+ .。