9教案 双星问题

3．探索未知天体
例3．某双星系统由可见星A和不可见的暗星B构成。如图。 天体演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它 将有可能成为黑洞。
若观测到可见星A的速率为v＝2.7×105m/s，周期为T ＝4.7π×104s，质量m1＝6ms，ms＝2.0×1030kg，引力常量 为G＝6.67×10－11N·m2/kg2 。判断暗星B有可能是黑洞吗？
A．线速度大小相等 B．角速度相等 C．向心力之比3:1 D．半径之比1:3
解析：当两球随轴作稳定转动时，联系它们的同一细线 提供的向心力是相等的。 同轴转动中的角速度也是相等的ω1=ω2。 从这两点分析可知： 两球的运动可等效为双星模型 由模型特点可知：
正确选项是BD。
将两球运动等效为双星模型，几乎可以“秒杀”该题。
其中
解得
则相邻两星体之间的距离
点评 一、三星系一统主要模型有两种：
“二绕一”模型和“三角形”模型。 二、 两种模型下的处理方法：
1、画出运动示意图 2、某一星体做圆周运动的向心力是由 其它星体对该星体万有引力的合力提供
3、根据几何关系，找准半径，问题迎刃而解。
2．四星系统
例5．质量相等的四颗星组成的四星系统，四 星系统离其他恒星较远，可忽略其他星体对四 星系统的引力作用.已观测到稳定的四星系统存 在两种基本结构: 一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形 的四个顶点上，各星均围绕正方形对角线的交 点做匀速圆周运动，运动周期为T1。
解：设双星A、B轨道半径和质量分别为r1、r2和m1、m2， 两星间距为r
因为
由 由
可表示出
r2
m1 m2
vT 2
可表示出 r
m1 m2 m2
vT 2
A星做圆周运动的条件：
将r1和r代入上式可得：
设m2＝nms（n＞0），并将m1=6ms 代入上式 得：
m23
m1 m2 2
nms 3 6ms nms 2
Gm
2 2
m1 m2 L
V2
Gm12
m1 m2 L
规律：速度与质量成反比
5、双星运动特点
（1）双星做匀速圆周运动的周期、频率、 角速度相等。
（2）轨道半径与物体的质量成反比。 （3）线速度大小与物体的质量成反比。 （4）在双星运动中，万有引力始终与速
度垂直，转动中两星体速率不变。
区分两个距离：
另一种是三颗星位于边长为a的等边三角形的顶 点，并沿等边三角形的外接圆运行，运动周期为 T2，第四颗星位于三角形的中心不动。
求两种形式下，星体运动的周期之比T1/T2
解析：根据题意，画出两种模式示意图，如图。 第一种模式，星体1在其它三个星体对其万有引力的 共同作用下，以正方形中心为圆心，做匀速圆周运动， 则
由v2≥c得：
黑洞半径满足的条件是R ≤2CG2M 这是判断普通天体是否变成黑洞的根据之一
三、模型拓展
在双星问题中，除了双星系统外， 三星、四星系统也比较常见，虽然这些 多星系统不能直接套用“双星”模型的 结论，但其处理思路是相似的，可以作 为“双星”模型的延伸。
1．三星系统
例4．质量均为m的三颗星组成三星系统，忽略其 它星体的引力作用。三星系统有两种结构：一是 三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同 一半径为R的圆轨道上运行；一是三颗星位于等边 三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的 圆形轨道运行。求
双星模型专题
一、双星模型 二、模型应用 三、模型拓展
一、双星模型
学
1、双星模型概念
习
2、确定双星的旋转半径
重
3、圆周运动与双星运动的关系
点
4、双星运动的角速度和周期
5、双星运动特点
1、双星模型介绍
双星系统由宇宙中两颗相距较近的天体构成， 忽略系统外其它星体的引力。也叫孤星系统。
系统内各子星均绕着天体中心连线上某一点 （几何点）做匀速圆周运动。周期相等。
（1）万有引力定律中的r为两天体之间的距离
（2）向心力公式中的r为所研究天体做圆周 运动的轨道半径。
二、模型应用
1．地—月双星系统中的应用 2．一线穿珠中的应用 3．探知未知天体
1．地—月双星系统中的应用
例1．月球与地球质量之比约为1∶80，若
月球和地球可视为一个由两质点构成的双 星系统，二者都围绕月地连线上某点O做 匀速圆周运动．则月球与地球绕O点运动
其中
解得Leabharlann 在第二种模式下，对星体1有： 其中
解得
四星系统中星体的运动与三星系统、双星系 统很相似，处理思路也十分类似，仅是提供向心力 的来源更复杂些。
从上面例题分析可看出“双星”模型起到了一 个很好的示范作用，几个例题均是它的应用、变式 和延伸。
在物理学习中，将一类问题迁移到一个问题 中，从而建立一个模型，对提高学生分析、解决 问题的能力很有帮助。
向心力由万有引力提供。
双星模型示意图
2、确定双星的旋转半径
已知双星的质量m1、m2和距离L，求双星的半径r1 =? r2 =? 解：对双星分别利用向心力公式
规律：半径与质量成反比
3、圆周运动与双星运动的关系
说出双星半径表达式？
拓展： 当m1>>m2时， m1 +m2→ m1 ， m2/m1 →0 你能得出什么结论？
r1=0，r2=L 物理含义是什么？
双星系统中，若质量差别很大，则质量较大的天 体，可认为是不转的，只有小质量的天体转动。 例如：月球绕地球，地球绕太阳运动，都可以看 成是双星模型的近似。
4、双星运动的角速度、周期、速度
Gm1 m2
L3
T 2
L3
Gm1 m2
v1 m2 v2 m1
v1
练习两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下， 绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距
离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。（引力常量为G）
的线速度大小之比约为（ ）C
A．1∶6400 C．80∶1
B．1∶80 D. 6400∶1
v1
Gm
2 2
m1 m2 L
V2
Gm12
m1 m2 L
线速度与质 量成反比
半径之比为多少？可否看成月球运动，地球不动？
2．一线穿珠中的应用
例2．小球A和B用细线连接，可以在光滑的水平杆上无摩擦 地滑动，它们的质量之比mA:mB＝3:1。当共同绕着竖直轴转动 且与杆达到相对静止时，如图，A、B两球转动的( )
nms 6 12
n
又因为
v3T
2G
6.941030 kg
3.5ms
所以 n 6 12
3.5
n
显然，该式中n有大于2的解，故暗星B有可能是黑洞．
4、一种特殊天体—黑洞
GM 天体的第一宇宙速度 v1 R
天体的第二宇宙速度 v2 2v1
2GM R
当天体的第二宇宙速度大于或等于光速c 时，该天 体就成为黑洞。
（1）第一种形式下，星体运动的线速度和周期 （2）设两种形式中星体的运动周期相同，第二种 形式下星体之间的距离为多少？
解：（1）按题意画出三星运动示意图，如图
根据星体1做圆周运动的条件： 解得线速度 星体运动的周期
（2）设圆周运动的半径为r，模型如图，
对星体1，星体2、3对其的万有引 力的合力，提供它做匀速圆周运动 所需的向心力，即