空间向量与立体几何.板块六.用空间向量解锥体问题(2).学生版
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【例9】如图，在底面是正方形的四棱锥 中， 面 ， 交 于点 ， 是 中点， 为 上一点．
⑴求证： ；
⑵确定点 在线段 上的位置，使 //平面 ，并说明理由．
⑶当二面角 的大小为 时，求 与底面 所成角的正切值．
【例10】在四棱锥 中，侧面 底面 ， ， 为 中点，底面 是直角梯形， ， =90°， ， ．
⑴证明： 平面 ；
⑵求平面 与平面 夹角的大小．
【例7】如
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）求二面角 的大小．
【例8】如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， ，点 是棱 的中点．
⑴求直线 与平面 的距离；
⑵若 ，求二面角 的平面角的余弦值．
【例1】如图，在四面体 中， ， ， ，且
．
⑴设 为 的中点．证明：在 上存在一点 ，使 ，并计算 的值；
⑵求二面角 的平面角的余弦值．
【例2】如图，四棱锥 中， 平面 ，
， ， ，
⑴求证： ；
⑵求点 到平面 的距离．
【例3】已知三棱锥 中， 平面 ， ， ， 为 上一点， ， ， 分别为 ， 的中点．
⑴证明： ；
⑵求 与平面 所成角的大小．
【例4】如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ，
， ， 为棱 上的一点，平面 平面 ．
⑴证明： ；
⑵求二面角 的大小．
【例5】如图，已知四棱锥 的底面为等腰梯形， ， 垂足为 ， 是四棱锥的高， 为 中点．
⑴证明：
⑵若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【例6】如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ， ， ， 分别是 ， 的中点．
⑴求证： 平面 ；
⑵求证： 平面 ；
⑶设 为侧棱 上一点， ，试确定 的值，使得二面角 为45°．
【例11】如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为直角梯形， ， ． 为 中点， 为 中点．
⑴求证： ；
⑵求二面角 的余弦值；
⑶若四棱锥 的体积为 ，求 的长．
⑴求证： ；
⑵确定点 在线段 上的位置，使 //平面 ，并说明理由．
⑶当二面角 的大小为 时，求 与底面 所成角的正切值．
【例10】在四棱锥 中，侧面 底面 ， ， 为 中点，底面 是直角梯形， ， =90°， ， ．
⑴证明： 平面 ；
⑵求平面 与平面 夹角的大小．
【例7】如
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）求二面角 的大小．
【例8】如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， ，点 是棱 的中点．
⑴求直线 与平面 的距离；
⑵若 ，求二面角 的平面角的余弦值．
【例1】如图，在四面体 中， ， ， ，且
．
⑴设 为 的中点．证明：在 上存在一点 ，使 ，并计算 的值；
⑵求二面角 的平面角的余弦值．
【例2】如图，四棱锥 中， 平面 ，
， ， ，
⑴求证： ；
⑵求点 到平面 的距离．
【例3】已知三棱锥 中， 平面 ， ， ， 为 上一点， ， ， 分别为 ， 的中点．
⑴证明： ；
⑵求 与平面 所成角的大小．
【例4】如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ，
， ， 为棱 上的一点，平面 平面 ．
⑴证明： ；
⑵求二面角 的大小．
【例5】如图，已知四棱锥 的底面为等腰梯形， ， 垂足为 ， 是四棱锥的高， 为 中点．
⑴证明：
⑵若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【例6】如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ， ， ， 分别是 ， 的中点．
⑴求证： 平面 ；
⑵求证： 平面 ；
⑶设 为侧棱 上一点， ，试确定 的值，使得二面角 为45°．
【例11】如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为直角梯形， ， ． 为 中点， 为 中点．
⑴求证： ；
⑵求二面角 的余弦值；
⑶若四棱锥 的体积为 ，求 的长．