初中数学人教版九年级上册《2正多边形和圆》课件
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等于
360°
=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
6
因此亭子地基的周长 l=6×4=24(m)，
过点O作OP⊥BC于P.
2
在Rt△OPB中，OB＝4 m, PB＝
4
2
= =2（m）,
利用勾股定理，可得边心距 r = 42 − 2²=2 3 ,
1
1
亭子地基的面积 S l r 24 2 3 41.6(m2 ).
AD,BE交于点O，连接CO.
由题意得BD=CD=2，AE=EC=2,
AD垂直平分BC,BE垂直平分AC,
∴AO=CO,CO=BO，∴AO=CO=BO,
∴点O为等边三角形ABC的中心.
∵ ∠BOC=2∠BAC,∠BAC= 60°, ∴ △ABC的中心角∠BOC = 120°.
180°−∠
2
∵OB=OC, ∴ ∠OBC=∠OCB=
的半径，而不是内切圆的半径.
知识点1
边心距与弦心距的关系
边心距是正多边形的中心到正多边形一边的距离，此时的边心距也可以看
作正多边形的外接圆的圆心到多边形的边(即外接圆的弦)的距离，即边心
距也是弦心距，但弦心距不一定是边心距.
跟踪训练
如图所示，△AOB是正三角形，以点O为圆心，OA为半径作☉O，直径
360
的中心角.正n 边形的每个中心角都等于
.
n
O
G
D
H
F
C
知识点1
圆内接正多边形
把圆分成n(n≥3)等份，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n
边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆.
知识点1
圆的外切正n边形
把圆分成n(n≥3)等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点
的多边形是这个圆的外切正n边形.一定要注意正多边形的半径是指外接圆
同心圆；任意多边形不一定有外接圆和内切圆，但当多边形是正多边形时，
一定有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆.
知识点1
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
中心到正多
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形
称中心.
知识点1
以正四边形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？
EF是边AB，CD的垂直平分线，
E
A
B
∴OA=OB，OD=OC.
GH是边AD，BC的垂直平分线，
O
G
D
H
F
C
∴OA=OD，OB=OC.
∴OA=OB=OC=OD.
∴正方形ABCD有一个以点O为
圆心的外接圆.
知识点1
以正四边形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？
=
=
=
.
=
=
∴
∴六边形ABCDEF为圆内接正六边形.
知识点2
例 有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面
积 (结果保留小数点后一位).
抽象成
知识点2
解:如图，连接OB, OC.因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角
AC平分∠DAB及∠DCB，BD平
E
A
B
分∠ABC及∠ADC，
∴OE=OH=OF=OG.
O
G
H
∴正方形ABCD还有一个以点
O为圆心的内切圆.
D
F
C
知识点1
所有的正多边形是不是都有一个外接圆和一个内切圆？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
知识点1
任意三角形都有外接圆和内切圆，但是只有正三角形的外接圆和内切圆是
= 30°.
跟踪训练
已知边长为4的等边三角形ABC,求△ABC的中心角、半径、边心距、面积.
知识点1
正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心
对称图形吗？
知识点1
正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心
对称图形吗？
知识点1
正多边形的对称性
所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴
都通过正n边形的中心.n为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对
边形的中心角和内角互补.
知识点2
圆内接正多边形的辅助线
O
F
E
中心角一半
O
·
A
r
B
M
D
半径R
边心距r
R
C
1.连半径，得中心角；
2.作边心距，构造直角三角形.
M
B
边长一半
跟踪训练
已知边长为4的等边三角形ABC,求△ABC的中心角、半径、边心距、面积.
解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E,
径的 3倍；正方形的边长等于其外接圆半径的 2倍.
2.若已知正n边形的边长、周长、边心距、面积中的任意一项，则可求出
其他各项.
知识点2
3.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，所以在
进行与正多边形有关的计算时，可以把正多边形的计算转化到直角三角形
中，利用勾股定理等知识解决.
4.由正多边形的内角与外角互补，正多边形的中心角等于外角，可得正多
人教版 九年级数学上
24.3 正多边形
和圆（1）
圆内接四边形的性质：
1.对角互补；
2.四个内角的和是360°；
3.任一外角与其相邻的内角的对角相等(即外角等于内对角)．
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长
之间的关系.
3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.
2
2
知识点2
正n边形的中心角怎么计算？
360
n
正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？
2
a
R r .
2
2
2
边长为a，边心距为r的正n边形的面积如何计算？
1
1
S nar lr. 其中l为正n边形的周长.
2
2
知识点2
正多边形的有关结论
1.正六边形的边长等于其外接圆的半径；正三角形的边长等于其外接圆半
FC//AB，AO,BO的延长线分别交☉O于点D,E.求证：六边形ABCDEF为圆内接
正六边形.
解： ∵ △AOB是正三角形，
∴ ∠AOB=∠OAB=∠OBA =60° ,OB=OA,∴点B在☉O上.
∵FC//AB,∴ ∠FOA= ∠OAB =60°,∠COB=∠OBA= 60°,
∴ ∠AOB=∠BOC=∠COD= ∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°.
下面这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图
案中找出类似的图形吗?
知识点1
什么叫做正多边形？
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.
矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
不是，因为矩形不符合各边相等；
不是，因为菱形不符合各角相等；
各边相等
正多边形
各角相等
缺一不可
360°
=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
6
因此亭子地基的周长 l=6×4=24(m)，
过点O作OP⊥BC于P.
2
在Rt△OPB中，OB＝4 m, PB＝
4
2
= =2（m）,
利用勾股定理，可得边心距 r = 42 − 2²=2 3 ,
1
1
亭子地基的面积 S l r 24 2 3 41.6(m2 ).
AD,BE交于点O，连接CO.
由题意得BD=CD=2，AE=EC=2,
AD垂直平分BC,BE垂直平分AC,
∴AO=CO,CO=BO，∴AO=CO=BO,
∴点O为等边三角形ABC的中心.
∵ ∠BOC=2∠BAC,∠BAC= 60°, ∴ △ABC的中心角∠BOC = 120°.
180°−∠
2
∵OB=OC, ∴ ∠OBC=∠OCB=
的半径，而不是内切圆的半径.
知识点1
边心距与弦心距的关系
边心距是正多边形的中心到正多边形一边的距离，此时的边心距也可以看
作正多边形的外接圆的圆心到多边形的边(即外接圆的弦)的距离，即边心
距也是弦心距，但弦心距不一定是边心距.
跟踪训练
如图所示，△AOB是正三角形，以点O为圆心，OA为半径作☉O，直径
360
的中心角.正n 边形的每个中心角都等于
.
n
O
G
D
H
F
C
知识点1
圆内接正多边形
把圆分成n(n≥3)等份，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n
边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆.
知识点1
圆的外切正n边形
把圆分成n(n≥3)等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点
的多边形是这个圆的外切正n边形.一定要注意正多边形的半径是指外接圆
同心圆；任意多边形不一定有外接圆和内切圆，但当多边形是正多边形时，
一定有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆.
知识点1
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
中心到正多
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形
称中心.
知识点1
以正四边形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？
EF是边AB，CD的垂直平分线，
E
A
B
∴OA=OB，OD=OC.
GH是边AD，BC的垂直平分线，
O
G
D
H
F
C
∴OA=OD，OB=OC.
∴OA=OB=OC=OD.
∴正方形ABCD有一个以点O为
圆心的外接圆.
知识点1
以正四边形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？
=
=
=
.
=
=
∴
∴六边形ABCDEF为圆内接正六边形.
知识点2
例 有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面
积 (结果保留小数点后一位).
抽象成
知识点2
解:如图，连接OB, OC.因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角
AC平分∠DAB及∠DCB，BD平
E
A
B
分∠ABC及∠ADC，
∴OE=OH=OF=OG.
O
G
H
∴正方形ABCD还有一个以点
O为圆心的内切圆.
D
F
C
知识点1
所有的正多边形是不是都有一个外接圆和一个内切圆？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
知识点1
任意三角形都有外接圆和内切圆，但是只有正三角形的外接圆和内切圆是
= 30°.
跟踪训练
已知边长为4的等边三角形ABC,求△ABC的中心角、半径、边心距、面积.
知识点1
正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心
对称图形吗？
知识点1
正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心
对称图形吗？
知识点1
正多边形的对称性
所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴
都通过正n边形的中心.n为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对
边形的中心角和内角互补.
知识点2
圆内接正多边形的辅助线
O
F
E
中心角一半
O
·
A
r
B
M
D
半径R
边心距r
R
C
1.连半径，得中心角；
2.作边心距，构造直角三角形.
M
B
边长一半
跟踪训练
已知边长为4的等边三角形ABC,求△ABC的中心角、半径、边心距、面积.
解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E,
径的 3倍；正方形的边长等于其外接圆半径的 2倍.
2.若已知正n边形的边长、周长、边心距、面积中的任意一项，则可求出
其他各项.
知识点2
3.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，所以在
进行与正多边形有关的计算时，可以把正多边形的计算转化到直角三角形
中，利用勾股定理等知识解决.
4.由正多边形的内角与外角互补，正多边形的中心角等于外角，可得正多
人教版 九年级数学上
24.3 正多边形
和圆（1）
圆内接四边形的性质：
1.对角互补；
2.四个内角的和是360°；
3.任一外角与其相邻的内角的对角相等(即外角等于内对角)．
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长
之间的关系.
3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.
2
2
知识点2
正n边形的中心角怎么计算？
360
n
正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？
2
a
R r .
2
2
2
边长为a，边心距为r的正n边形的面积如何计算？
1
1
S nar lr. 其中l为正n边形的周长.
2
2
知识点2
正多边形的有关结论
1.正六边形的边长等于其外接圆的半径；正三角形的边长等于其外接圆半
FC//AB，AO,BO的延长线分别交☉O于点D,E.求证：六边形ABCDEF为圆内接
正六边形.
解： ∵ △AOB是正三角形，
∴ ∠AOB=∠OAB=∠OBA =60° ,OB=OA,∴点B在☉O上.
∵FC//AB,∴ ∠FOA= ∠OAB =60°,∠COB=∠OBA= 60°,
∴ ∠AOB=∠BOC=∠COD= ∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°.
下面这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图
案中找出类似的图形吗?
知识点1
什么叫做正多边形？
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.
矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
不是，因为矩形不符合各边相等；
不是，因为菱形不符合各角相等；
各边相等
正多边形
各角相等
缺一不可