2022届吉林省四平市高二第二学期数学期末统考试题含解析

2022届吉林省四平市高二第二学期数学期末统考试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．函数121x y x -=
+在()1,0处的切线与直线l :y ax =垂直，则a =（） A ．-3
B ．3
C ．13
D ．13- 【答案】A
【解析】
【分析】
先利用求导运算得切线的斜率，再由互相垂直的两直线的关系，求得a 的值。

【详解】 ''2
13()21(21)x y x x -==++Q 11,3x y =∴='∴ 函数在（1，0）处的切线的斜率是13
， 所以，与此切线垂直的直线的斜率是3,-
3.a ∴=- 故选A.
【点睛】
本题考查了求导的运算法则和互相垂直的直线的关系，属于基础题．
2．在正四棱锥P ABCD -中，2PA =，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60o ，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为（ ）
A ．90o
B ．60o
C ．45o
D ．30o
【答案】C
【解析】
试题分析：连接AC BD ，交于点O ，连接OE OP ，.因为E 为PC 中点，所以OE PA P ，所以OEB ∠即为异面直线PA 与BE 所成的角．因为四棱锥CD P -AB 为正四棱锥，所以PO ABCD ⊥平面，所以AO 为PA 在面ABCD 内的射影，所以PAO ∠即为PA 与面ABCD 所成的角，即60PAO ∠=︒，因为2PA =，所以11OA OB OE ===，．所以在直角三角形EOB 中45OEB ∠=︒，即面直线PA 与BE 所成的角为45o
故选C ．
考点：直线与平面所成的角，异面直线所成的角
【名师点睛】本题考查异面直线所成角，直线与平面所成的角，考查线面垂直，比较基础连接AC ，BD 交于点O ，连接OE ，OP ，先证明∠PAO 即为PA 与面ABCD 所成的角，即可得出结论．
3．已知向量(5,5),(0,3)a b =-=-v v ，则a v 与b v 的夹角为（ ）
A ．4π
B ．3π
C ．23π
D ．34
π 【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，由向量数量积的计算公式可得cos θ的值，据此分析可得答案．
【详解】
设a r 与b r 的夹角为θ，由a r 、b r 的坐标可得|a r |＝2，|b r |＝3，a r •b =-r
5×0+5×（﹣3）＝﹣15， 故2cos 2523θ=
=-⨯，()0q p Î， 所以34πθ=. 故选D
【点睛】
本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题． 4．将曲线22
132x y +=按13:12x x y y ϕ⎧=⎪⎪⎨⎪='⎩
'⎪变换后的曲线的参数方程为（ ） A ．3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩
B ．32x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩
C ．1cos 31sin 2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
D ．3cos 322
x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 【答案】D
【解析】
由变换ϕ：1',31'2x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
可得：3',2'x x y y =⎧⎨=⎩,代入曲线22132x y +=可得：()()2232132x y ''+=， 即为：22321,x y +=
令,2
x y sin θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(θ为参数)即可得出参数方程． 故选D.
5．下列命题中，真命题是 A ．若,x y R ∈，且2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1
B ．2,2x x R x ∀∈>
C ．0a b += 的充要条件是
1a b =- D ．00,0x x R e
∃∈≤ 【答案】A
【解析】
【分析】
逐一判断每一个选项的真假得解.
【详解】
对于选项A,假设x≤1，y≤1，所以x+y ≤2，与已知矛盾，所以原命题正确.
当x=2时，2x =x 2，故B 错误．
当a=b=0时，满足a+b=0，但a b =﹣1不成立，故a+b=0的充要条件是a b
=﹣1错误， ∀x ∈R ，e x ＞0，故∃x 0∈R ，00x e ≤错误，
故正确的命题是A ，
故答案为：A
【点睛】
（1）本题主要考查命题的真假的判断，考查全称命题和特称命题的真假，考查充要条件和反证法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）对于含有“至少”“至多”的命题的证明，一般利用反证法.
6．某班级有男生32人，女生20人，现选举4名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委.男生当选的人数记为ξ，则ξ的数学期望为（ ）
A ．1613
B ．2013
C ．3213
D ．4013
【答案】C
【解析】
分析：先写出ξ的取值，再分别求ξ的概率，最后求ξ的数学期望.
详解：由题得0,1,2,3,4.ξ=
413223140203220322032203220444445252525252
(0)(1)(2)(3),(4).C C C C C C C C C P P P P P C C C C C ξξξξξ==========，，，所以4132231402032203220322032204444452525252523201234.13
C C C C C C C C C E C C C C C ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 故答案为：C
点睛：（1）本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)离散型随机变量的数学期望1122.n n E x p x p x p ξ=+++L
7．下列命题中为真命题的是（ ）
A ．若10,2x x x
≠+≥ B ．命题：若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为：若1x ≠且1x ≠-，则21x ≠
C ．“=1a ”是“直线0x ay -=与直线0x ay +=互相垂直”的充要条件
D ．若命题2:,10p x R x x ∃∈-+<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+>
【答案】B
【解析】
分析：对四个命题，分别进行判断，即可得出结论．
详解：对于A ，0x ＞，利用基本不等式，可得12x x
+≥，故不正确； 对于B ，命题：若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为：若1x ≠且1x ≠-，则21x ≠
，正确；
对于C ，“1a =± ”是“直线0x ay -=与直线0x ay +=互相垂直”的充要条件，故不正确； 对于D ，命题命题2:,10p x R x x ∃∈-+<，则2
:,10p x R x x ⌝∀∈-+≥ ，故不正确．
故选：B ．
点睛：本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，属基础题．
8．设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= 图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，
且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．(0,2)
C ．(0,+∞)
D ．(1,+∞)
【答案】A
【解析】 试题分析：设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即。

分别令得又与的交点为
，故选A 。

考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.
9．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于（ ）．
A ．13
B ．35
C ．49
D ．63
【答案】C
【解析】 试题分析：依题意有21613{511
a a d a a d =+==+=，解得1a 1,d 2==，所以7172149S a d =+=. 考点：等差数列的基本概念.
【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为1a 和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-及前n 项和公式
11()(1)22
n n n a a n n S na d +-==+，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
10．设函数()2sin x f x e a x =-，()0,x π∈有且仅有一个零点，则实数a 的值为（ ）
A 42e π
B ．422e π
C ．222e π
D 22e π
【答案】B
【解析】
【分析】 先由题意得到方程2sin =x e a x 在()0,x π∈上仅有一个实根；令()sin =x e g x x ，得到函数()sin =x
e g x x
与直线2y a =在()0,x π∈上仅有一个交点；用导数的方法判断()sin =x e g x x
单调性，求出最值，结合图像，即可得出结果.
【详解】
因为函数()2sin x
f x e a x =-，()0,x π∈有且仅有一个零点； 所以方程2sin 0-=x e a x 在()0,x π∈上仅有一个实根； 即方程2sin =x e a x 在()0,x π∈上仅有一个实根；令()sin =x
e g x x
， 则函数()sin =x
e g x x
与直线2y a =在()0,x π∈上仅有一个交点； 因为()22sin cos ()sin cos sin sin -'==-x x x
e e x e g x x x x
， 由()0g x '>得sin cos 0->x ，因为()0,x π∈，所以4π
π<<x ；
由()0g x '<得sin cos 0-<x ，因为()0,x π∈，所以04x π
<<； 所以，函数()sin =x
e g x x 在04π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 因此4
4min ()4sin 4ππππ
⎛⎫=== ⎪⎝⎭e g x g e 作出函数()sin =x
e g x x
的大致图像如下：
因为函数()sin =x
e g x x
与直线2y a =在()0,x π∈上仅有一个交点， 所以4
min
2()2π==a g x e ，记得422π=a . 故选B
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的零点，通常将函数零点问题，转化为两函数图像交点的问题，结合图像求解即可，属于常考题型.
11．函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间为( ) A ．()0,?+∞ B ．(),0-∞ C ．()2,+∞ D ．(),2-∞-
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性满足“同增异减”的结论求解即可．
【详解】
由240x ->可得2x <-或2x >，
∴函数()f x 的定义域为()(),22,∞-∞-⋃+．
设()2
4t x x =-，则()t x 在(),2-∞-上单调递减， 又函数12
log y t =为减函数， ∴函数
()()
212log 4f x x =-在(),2-∞-上单调递增， ∴函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞-．
故选D ．
【点睛】
（1）复合函数的单调性满足“同增异减”的结论，即对于函数()()y f g x =来讲，它的单调性依赖于函数()y f t =和函数()t g x =的单调性，当两个函数的单调性相同时，则函数()()y f g x =为增函数；否则函数()()y f g x =为减函数．
（2）解答本题容易出现的错误是忽视函数的定义域，误认为函数的单调递增区间为(),0-∞． 12．王老师在用几何画板同时画出指数函数x y a =（1a >）与其反函数log a y x =的图象，当改变a 的取值时，发现两函数图象时而无交点，并且在某处只有一个交点，则通过所学的导数知识，我们可以求出当函数只有一个交点时，a 的值为（ ）
A ．e
B ．e e
C ．2e
D ．2e e
【答案】B
【解析】
【分析】
当指数函数与对数函数只有一个公共点00(,)x y 时，则在该点的公切线的斜率相等，列出关于0,a x 的方程.
【详解】 设切点为00(,)x y ，则000000,log ,1ln ln x a x y a y x a a x a ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪⋅=⋅⎪⎩
，解得：00,,,e x e y e a e ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故选B.
【点睛】
本题考查导数的运算及导数的几何意义，考查数形结合思想的应用，要注意根据指数函数与对数函数图象的凹凸性，得到在其公共点处公切线的斜率相等.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数
，存在，，则的
最大值为 .
【答案】
【解析】
试题分析：由题意得，，因为存在，，
所以，所以令，所以，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以时，函数取得最大值，所以的最大值为． 考点：分段函数的性质及利用导数求解函数的最值．
【方法点晴】本题主要考查了分段函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性与极值、最值，着重考查了学生分析、解答问题的能力，同时考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，先确定的范围，构造新函数，求解新函数的单调性及其极值、最值，即可求解结论的最大值．
14．直线1l ：(3)453m x y m ++=-，2l ：2(5)8x m y ++=.则“7m ≠-”是“1l 与2l 相交”的__________条件. (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)
【答案】必要不充分
【解析】
分析：先根据直线相交得m 条件，再根据两个m 条件关系确定充要性.
详解：因为1l 与2l 相交，所以(3):42:(5)17.m m m m +≠+∴≠-≠-且
所以“7m ≠-”是“1l 与2l 相交”的必要不充分条件.
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 15．540的不同正约数共有______个．
【答案】24
【解析】
【分析】
将540进行质因数分解为23540235=⨯⨯，然后利用约数和定理可得出540的不同正约数个数.
【详解】
将540进行质因数分解为23540235=⨯⨯，
因此，540的不同正约数共有()()()12131124+⨯+⨯+=.
故答案为：24.
【点睛】
本题考查合数的正约数个数的计算，一般将合数质因数分解，并利用约数和定理进行计算，也可以采用列举法，考查计算能力，属于中等题.
16．已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，且(22)0.4P ξ-≤≤=，则(2)P ξ>=__________．
【答案】0.1
【解析】
分析：随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，且()220.4P ξ-≤≤=，利用正态分布的性质，答案易得．
详解：随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，且()220.4P ξ-≤≤=，
， 12[122]0.32
P P ξξ∴=--≤≤=（＞）（）， 故答案为：0.1．
点睛：本题考查正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，解题的关键是正确正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，由曲线的对称性求出概率，本题是一个数形结合的题，识图很重要．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目成绩和物理、化学等六门选考科目成绩构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为,,,,,,,A B B C C D D E +++
共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,50],[31,40],[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校高一年级共1500人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩基本服从正态分布(60,144)N ．
（Ⅰ）求化学原始分在区间(48,84)的人数；
（Ⅱ）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，求这4人中至少有2人成绩在[61,80]的概率； （III ）若小明同学选择物理、化学和地理为选考科目，其中物理、化学成绩获得A 等的概率都是45
，地理成绩获得A 等的概率是34
，且三个科目考试的成绩相互独立.记X 表示小明选考的三个科目中成绩获得A 等的科目数，求X 的分布列.
（附：若随机变量2~(,)N u ξσ()2ξN μ,σ~，则()0.682P u u σξσ-<<+=，
(22)0.954P u u σξσ-<<+=，.()P μ3σξμ3σ0.997-<<+=）
【答案】（Ⅰ）1227人（Ⅱ）328
625
（III ）见解析 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据正态分布的区间及对称性质，利用3σ原则及数据即可得化学原始分在区间(48,84)的概率，进而求得改区间内的人数；
（Ⅱ）先求得再区间[61,80]内学生所占比例，即可得随机抽取1人成绩在该区间的概率，由独立重复试验的概率公式，即可求得4人中至少有2人成绩在改区间的概率；
（III ）根据题意可知随机变量X 的可能取值为0,1,2,3. 根据所给各科目获得A 等的概率，由独立事件的乘法公式可得各可能取值对应的概率，即可得分布列. 【详解】
（Ⅰ）因为化学考试原始分基本服从正态分布(60,144)N ，即2
(60,12)N ， 所以(4884)(4872)(7284)P P P ξξξ<<=<<+<<
1
0.682(0.9540.682)0.8182
=+-=，所以化学原始分在区间(48,84)的人数为15000.8181227⨯=人.
（Ⅱ）由题意得，位于区间[61,80]内所占比例为16%24%40%+=， 所以随机抽取1人，其成绩在[61,80]内的概率为
25
， 所以随机抽取4人，相当于进行4次独立重复试验. 设这4人中至少有2人成绩在[61,80]为事件A ，则
13
44233328()1()()()555625
P A C =--=.
（III ）随机变量X 的可能取值为0,1,2,3. 则2111
(0)()54100P X ==⨯
=，
1224111311(1)()55454100P X C ==⨯⨯⨯+⨯=，1
224134140(2)()55454100P X C ==⨯⨯⨯+⨯=，
24348
(3)()54100
P X ==⨯=.
所以X 的分布列为
【点睛】
离散型随机变量分布列的求法，属于中档题.
18．（本小题满分13分）已知函数()ln ()=-∈f x ax x a R 。

（Ⅰ）当1=a 时，求曲线()=y f x 在2=x 处切线的斜率； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）当0>a 时，求()f x 在区间(0,]e 上的最小值。

【答案】（Ⅰ）12（Ⅱ）当0≤a 时，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；当0>a 时，函数()f x 的单调递减区间为1(0,)a ，单调递增区间为1(,)+∞a （Ⅲ）当1
0<<a e 时，()f x 在区间(0,]e 上的最小值为1-ae ，当
1
≥
a e ，()f x 在区间(0,]e 上的最小值为1ln +a
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用导数几何意义求切线斜率：当1=a 时，
1
()ln ,()(0)-'=-=
>x f x x x f x x x ，故
曲线()=y f x 在2=x 处切线的斜率为12（Ⅱ）因为11
()(0)
-'=-=>ax f x a x x x ，所以按a 分类讨论：当0≤a 时，()0f x '<，递减区间为(0,)+∞；当0>a 时，在区间
1(0,)a 上，()0'<f x ，在区间1
(,)
+∞a 上，()0'>f x ，单调递减区间为1(0,)a ，单调递增区间为1
(,)
+∞a ；（Ⅲ）根据（Ⅱ）得到的结论， 当1>e a ，即10<<
a e 时，()f x 在区间(0,]e 上的最小值为()f e ，()1=-f e ae ；当1≤e a ，即1≥a e 时，()f x 在区间(0,]e 上的最小值为1()f a ，11
()1ln 1ln =-=+f a
a a
试题解析：解：（Ⅰ）当1=a 时，
1
()ln ,()(0)-'=-=
>x f x x x f x x x ， 2分
故曲线()=y f x 在2=x 处切线的斜率为1
2 3分
（Ⅱ）
11()(0)-'=-
=>ax f x a x x x 。

4分
①当0≤a 时，由于0>x ，故10,()0'-<<ax f x 。

所以， ()f x 的单调递减区间为(0,)+∞。

5分
②当0>a 时，由()0'=f x ，得
1
=
x a 。

在区间1(0,)a 上，()0'<f x ，在区间1(,)
+∞a 上，()0'>f x 。

所以，函数()f x 的单调递减区间为1(0,)a ，单调递增区间为1
(,)+∞a 。

7分
综上，当0≤a 时，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；当0>a 时，函数()f x 的单调递减区间为1
(0,)a ，单调递增区间为1
(,)
+∞a 。

8分
（Ⅲ）根据（Ⅱ）得到的结论，
当1>e a ，即1
0<<
a e 时，()f x 在区间(0,]e 上的最小值为()f e ，()1=-f e ae 。

10分 当1≤e a ，即1≥a e 时，()f x 在区间(0,]e 上的最小值为1()f a ，11
()1ln 1ln =-=+f a
a a 。

12
分
综上，当
10<<
a e 时，()f x 在区间(0,]e 上的最小值为1-ae ，当
1
≥
a e ，()f x 在区间(0,]e 上的最小值为1ln +a 。

13分
考点：利用导数求切线斜率，利用导数求单调区间，利用导数求函数最值
19．已知点M 为抛物线2:4C y x =上异于原点O 的任意一点，F 为抛物线的焦点，连接MF 并延长交抛物线C 于点N ，点N 关于x 轴的对称点为A . （1）证明：直线MA 恒过定点；
（2）如果FM OM λ=，求实数λ的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2
）λ≥ 【解析】 【分析】
（1）设()()
22
11()4,404,4M t t t N t t ≠，，计算得到114t t =-
，直线AM 的方程为()24141
t y x t =++，得到答案. （2）计算()
2
2
4218116t t t
λ-=++，设2
181m t =-<，讨论0m =，0m <，01m <<三种情况，分别计算
【详解】
（1）设(
)(
)
2
21
1()4,404,4M t t t N t t ≠，，因为()1,0F ，所以()()22
11,14,441,4MF t t FN t t =--=-u u u u r u u u r ，
由M F N ，，三点共线得()()
22
111444140t t t t -⋅+-⋅=，化简得114t t
=-
， 即211,4N t t
⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此可得211,4A t t ⎛⎫
⎪⎝⎭，所以直线AM 的方程为()2244441
t y t x t t -=-+， 即()24141
t
y x t =++，因此直线MA 恒过定点()1,0-.
（2）()
()
22
2
2
2
2
42
2
42
4116181161616FM t t t t t t t
OM
λ-+-=
=
=+++，0λ≥，令2181m t =-<， 如果0m =，则1λ=； 如果0m ≠，则
2114910
m m
λ=+⋅
+-， 当0m <时，96m m +
≤-，3m =-时等号成立，从而2314λ≤<，即31λ≤<； 当01m <<时，函数9
10y m m
=+
-在()0,1上单调递减，当1m =时，0y =，故0y >， 故1
0910
m m
>+-，所以21λ>，故1λ>. 综上，实数λ的取值范围为3λ≥. 【点睛】
本题考查了抛物线中直线过定点问题，求参数范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 20．已知直线l 与抛物线2:4C y x =交于M ，N 两点，点Q 为线段MN 的中点.
（I ）当直线l 经过抛物线C 的焦点，6MN =时，求点Q 的横坐标； （Ⅱ）若5MN =，求点Q 横坐标的最小值，井求此时直线l 的方程. 【答案】（I ）2；（Ⅱ）3
2
，220x y --=或220x y +-=. 【解析】
（Ⅰ）设()11,M x y ，()22,N x y ，由抛物线的定义得出124x x +=，再利用中点坐标公式可求出线段MN 的中点Q 的横坐标；
（Ⅱ）设直线l 的方程为x ty m =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，利用弦长公式并结合条件5MN =，得出()
2
225161m t t =
-+，再利用韦达定理得出点Q 的横坐标关于t 的表达式，
可求出点Q 的横坐标的最小值，求出此时t 和m 的值，可得出直线l 的方程． 【详解】
（Ⅰ）设()11,M x y ，()22,N x y ，所以1226MN x x =++=，所以12
22
Q x x x +==； （Ⅱ）设直线:l x ty m =+，由2
4x ty m
y x =+⎧⎨
=⎩
， 得2
440y ty m --=，所以124y y t +=，124y y m =-.
所以MN =5=.
所以()
2
225161m t t =
-+，
所以()12122x x t y y m +=++=()
2
22
25
422381t m t t +=
+≥+， 所以12322Q x x x +=≥，此时1
2
t =±，1m =，所以:220l x y --=或220x y +-=. 【点睛】
本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的弦长的最值问题，解决这类问题的常用办法就是将直线与圆锥曲线的方程联立，利用韦达定理设而不求的思想进行求解，难点在于化简计算，属于中等题． 21．已知定义在R 上的函数f （x ）＝｜x ﹣m ｜+｜x ｜，m ∈N*，存在实数x 使f （x ）＜2成立． （1）求实数m 的值；
（2）若α≥1，β≥1，f （α）+f （β）＝4，求证：4
1
α
β
+
≥1．
【答案】（1）m ＝1；（2）见证明 【解析】 【分析】
（1）要使不等式2x m x -+<有解，则2m <，再由m N +∈，能求出实数m 的值； （2）先求出3αβ+=，从而4
1
141
()()3αβα
βαβ
+
=++，由此利用基本不等式，即可作出证明．
(1)因为|x －m|＋|x|≥|(x －m)－x|＝|m|， 所以要使不等式|x －m|＋|x|<2有解，则|m|<2， 解得－2<m<2.因为m ∈N *，所以m ＝1.
(2)证明：因为α≥1，β≥1，所以f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝4， 即α＋β＝1， 所以
(
)41
141141553333βααβα
βαβαβ⎛⎛⎫⎛⎫+
=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当4=
β
α
α
β
，即α＝2，β＝1时等号成立， 故
4
1
α
β
+
≥1.
【点睛】
本题主要考查了绝对值三角不等式的应用，以及不等式的证明，其中解答中认真审题，主要基本不等式的性质的合理运用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题．
22．已知关于x 的方程222440x ax a a -+-+=（a R ∈）的两根为αβ、，且3αβ+=，求实数a 的
值. 【答案】32a =或12
【解析】 【分析】
分0∆≥与∆<0两种情况分类讨论，当0∆≥时，由根与系数关系求解，当∆<0时，设m ni α=+，则
m ni β=-，根据根与系数关系求解.
【详解】
①当0∆≥即1a ≥时，
由()2
2020
a a αβαβ+=>⎧⎪⎨=-≥⎪⎩可知两根都是非负实根， αβαβ∴+=+3
322
a a ==⇒=；
②当∆<0即1a <时，此时方程两根为共轭虚根， 设m ni α=+，则m ni β=-，
()222
222m a m n a αβαβ+==⎧⎪∴⎨=+=-⎪⎩
αβ∴+=1
2232
a a =-=⇒=
；
综上，
3
2
a 或
1
2
.
【点睛】
本题主要考查了实系数的一元二次方程的解法，分类讨论的思想，属于中档题.。