方程的导出及其定解条件
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第一节 方程的导出及定解条件
课时：2
第一部分：弦振动方程的导出
一、问题的提出
给定一根两端固定张 紧的弦，在平衡位置 作微小的的横振动， 求弦上各点的振动情 况？
二、一些假设
1、弦非常的的细，可以看作是一条曲线， 弦是均匀的，线密度ρ为常数。 2、弦在垂直于平衡位置的两端做微小的 震动。 3、弦的伸缩满足hooke定律。
t
x x
x
t t x x 2 u ( x, t ) T dxdt F ( x, t )dxdt t x x 2
2u ( x, t ) 2 u ( x, t ) T F ( x, t ) 2 2 t x
或
2 2u 2 u f ( x, t ) 2 a 2 t x
x x
x
t t x x 2 u ( x, t ) T dx dt F ( x, t )dxdt 2 t x x
F ( x, t )为 其中：
时刻垂直于
x
轴的外力的线密度
x x
x
t t
t
2 u ( x, t ) dtdx 2 t
t t
十二、弦振动方程（不受外力）
x x x
t t
t
2 u ( x, t ) dtdx 2 t
t 2
t t
x x
x
2 u ( x, t ) T dxdt 2 x
t , x 的任意性
u ( x, t ) 2 u ( x, t ) T 2 t x 2
故
S
x x
x
dx x
说明张力与时间无关
在固定时间内的一小段弦 （x,x+∆x）的受力分析
T(x+∆x)
T(x)
在固定时间内的一小段弦（x,x+∆x）的受力 分析
u
T
1
2
T 0
x
水平方向合力为零
T ( x x) cos 2 T ( x) cos1 0
T ( x) cos 2 T ( x x) cos1 0
x x
x
u ( x, t t ) dx t
九、一段时间内某一段弦的动量 的增加量
x x
x
u ( x, t t ) u ( x, t ) [ ]dx t t
十、冲量与动量的变化量的关系
动量的变化量 冲量
x x
x
t t u ( x x, t ) u ( x, t t ) u ( x, t ) u ( x, t ) [ ]dx T dt t t t x x
t t
t
x x
x
2 u ( x, t ) T dxdt 2 x
u ( x, t t ) u ( x, t ) t t
t t
t
ห้องสมุดไป่ตู้2 u ( x, t ) dt t 2
u ( x x, t ) u ( x, t ) x x 2u ( x, t ) dx 2 x x x x
u ( x,0) ( x) t
称为初始条件。边界条件和初始条件统称为定解条件。
T ( x x) T ( x) 1 1 (tan 2 ) 1 1 (tan1 ) 2
2
0
而 tan2 (u / x)2 可以忽略不计，故
T ( x) T ( x x) 说明弦上各点的张力相等，不妨设为T
六、张力在垂直方向上的合力
u( x x, t ) u ( x, t ) T sin 2 T sin 1 T x x
十一、积分方程的化简
x x x
t t u ( x x, t ) u ( x, t ) u ( x, t t ) u ( x, t ) [ ]dx T dt t t t x x
x x
x
t t
t
2 u ( x, t ) dtdx 2 t
T / a2
2u 2 u a 0 2 2 t x
2
上述即是不受外力作用时弦振动所满足的方程
十三、有外力情况下弦振动方程
冲量与动量的变化量的关系
动量的变化量
2 u ( x, t ) dtdx t 2
x 点处 t
冲量
x x
x
t t
t
t t
t
七、在时间段内合力产生的冲量
t t
t
u ( x x, t ) u ( x, t ) T dt x x
其中的时间段为： (t , t t )
八、在某一时刻弦段的动量
时刻 t 时
时刻 t t 时
x x
x
u ( x, t ) dx t
其中：
f ( x, t )
F ( x, t )
在外力作用下弦振动所满足的方程
十四、一维波动方程的推广
二维情形：
2 2u 2u 2 u 2 ) f ( x, y, t ) 2 a ( 2 t x y
三维情形：
2 2u 2u 2u 2 u 2 2 ) f ( x, y, z, t ) 2 a ( 2 t x y z
三、利用的物理学原理
物体的冲量=物体动量的变化量
四、对于问题的分析 u
T
1
2
T 0
x
张力T在弦的振动过程中起到了关键的作用
五、张力T与时间的关系
在任意的时间内x轴上x到x+∆x的弦长为： x x 2 S 1 u / x dx x 因为u / x 很小，所以 (u / x) 2 可以忽略不计
第二部分：定解条件
一、初始条件与边界条件
1、边界条件：在上述的弦振动问题中，当弦的两端 被固定在 x 轴上时（例如：x 0, x l 两点）有
u (0, t ) 0 u(l , t ) 0
称为边界条件； 2、初始条件：弦在初始时刻 t 0 的位置和速度为
u( x,0) ( x)
课时：2
第一部分：弦振动方程的导出
一、问题的提出
给定一根两端固定张 紧的弦，在平衡位置 作微小的的横振动， 求弦上各点的振动情 况？
二、一些假设
1、弦非常的的细，可以看作是一条曲线， 弦是均匀的，线密度ρ为常数。 2、弦在垂直于平衡位置的两端做微小的 震动。 3、弦的伸缩满足hooke定律。
t
x x
x
t t x x 2 u ( x, t ) T dxdt F ( x, t )dxdt t x x 2
2u ( x, t ) 2 u ( x, t ) T F ( x, t ) 2 2 t x
或
2 2u 2 u f ( x, t ) 2 a 2 t x
x x
x
t t x x 2 u ( x, t ) T dx dt F ( x, t )dxdt 2 t x x
F ( x, t )为 其中：
时刻垂直于
x
轴的外力的线密度
x x
x
t t
t
2 u ( x, t ) dtdx 2 t
t t
十二、弦振动方程（不受外力）
x x x
t t
t
2 u ( x, t ) dtdx 2 t
t 2
t t
x x
x
2 u ( x, t ) T dxdt 2 x
t , x 的任意性
u ( x, t ) 2 u ( x, t ) T 2 t x 2
故
S
x x
x
dx x
说明张力与时间无关
在固定时间内的一小段弦 （x,x+∆x）的受力分析
T(x+∆x)
T(x)
在固定时间内的一小段弦（x,x+∆x）的受力 分析
u
T
1
2
T 0
x
水平方向合力为零
T ( x x) cos 2 T ( x) cos1 0
T ( x) cos 2 T ( x x) cos1 0
x x
x
u ( x, t t ) dx t
九、一段时间内某一段弦的动量 的增加量
x x
x
u ( x, t t ) u ( x, t ) [ ]dx t t
十、冲量与动量的变化量的关系
动量的变化量 冲量
x x
x
t t u ( x x, t ) u ( x, t t ) u ( x, t ) u ( x, t ) [ ]dx T dt t t t x x
t t
t
x x
x
2 u ( x, t ) T dxdt 2 x
u ( x, t t ) u ( x, t ) t t
t t
t
ห้องสมุดไป่ตู้2 u ( x, t ) dt t 2
u ( x x, t ) u ( x, t ) x x 2u ( x, t ) dx 2 x x x x
u ( x,0) ( x) t
称为初始条件。边界条件和初始条件统称为定解条件。
T ( x x) T ( x) 1 1 (tan 2 ) 1 1 (tan1 ) 2
2
0
而 tan2 (u / x)2 可以忽略不计，故
T ( x) T ( x x) 说明弦上各点的张力相等，不妨设为T
六、张力在垂直方向上的合力
u( x x, t ) u ( x, t ) T sin 2 T sin 1 T x x
十一、积分方程的化简
x x x
t t u ( x x, t ) u ( x, t ) u ( x, t t ) u ( x, t ) [ ]dx T dt t t t x x
x x
x
t t
t
2 u ( x, t ) dtdx 2 t
T / a2
2u 2 u a 0 2 2 t x
2
上述即是不受外力作用时弦振动所满足的方程
十三、有外力情况下弦振动方程
冲量与动量的变化量的关系
动量的变化量
2 u ( x, t ) dtdx t 2
x 点处 t
冲量
x x
x
t t
t
t t
t
七、在时间段内合力产生的冲量
t t
t
u ( x x, t ) u ( x, t ) T dt x x
其中的时间段为： (t , t t )
八、在某一时刻弦段的动量
时刻 t 时
时刻 t t 时
x x
x
u ( x, t ) dx t
其中：
f ( x, t )
F ( x, t )
在外力作用下弦振动所满足的方程
十四、一维波动方程的推广
二维情形：
2 2u 2u 2 u 2 ) f ( x, y, t ) 2 a ( 2 t x y
三维情形：
2 2u 2u 2u 2 u 2 2 ) f ( x, y, z, t ) 2 a ( 2 t x y z
三、利用的物理学原理
物体的冲量=物体动量的变化量
四、对于问题的分析 u
T
1
2
T 0
x
张力T在弦的振动过程中起到了关键的作用
五、张力T与时间的关系
在任意的时间内x轴上x到x+∆x的弦长为： x x 2 S 1 u / x dx x 因为u / x 很小，所以 (u / x) 2 可以忽略不计
第二部分：定解条件
一、初始条件与边界条件
1、边界条件：在上述的弦振动问题中，当弦的两端 被固定在 x 轴上时（例如：x 0, x l 两点）有
u (0, t ) 0 u(l , t ) 0
称为边界条件； 2、初始条件：弦在初始时刻 t 0 的位置和速度为
u( x,0) ( x)