数学分析 第13章_多变量函数的连续性复习

§2 R n 中的点列的极限
定义 2.1 E 有界. 若 ∀ε > 0, ∃N > 0, N ∈ N , m > N , X m − A < ε 定义 2.2 设 A, { X i } ∈ R , i = 1, 2,3,....... ，
n
•
设 E ∈ R , ∃r > 0, E ⊂ Br ( 0 ) ,也即是 E 集合中的向量都属于 Br ( 0 ) ，则称集合
解: 1) 2) 3) 4) 即不是开集,也不是闭集,有界集,是区域,边界是矩形的四条边. E = [ a, b ] × [ c, d ] ;
'
E 为开集,无界集,不是区域, E = R ,边界 x = 0, 或者y = 0 ;
' 2
E 不是开集, 是闭集, 无界集合,不是区域, E = E , 边界 ∂E = E ;
⎧ 1 ⎫ E ' = ⎨( x, y ) y = sin , x > 0 ⎬ ∪ {( x,y ) x = 0, −1 ≤ y ≤ 1} x ⎩ ⎭ ⎧ 1 ⎫ ∂E = ⎨( x, y ) y = sin , x > 0 ⎬ ∪ {( x,y ) x = 0, −1 ≤ y ≤ 1} x ⎩ ⎭
{ X i } ∈ R n , i = 1, 2,3,....... 收敛的充分必要条件为此叙列为基本列。
n
定理 2.5（Bolzano-Weierstrass） R 中任何有界的序列都可以抽出收敛的子列. 定义 2.4 假设 E ⊂ R ， 如果 E 中的任何点列都有收敛的子列， 则称 E 是 R 中一个列紧集。
0
R n , ∅ 为开集
设 { Eα } , α ∈ I 为开集，则 ∪ Eα 为开集,这里 I 为指标集合.
α ∈I
设 { Ei } , i = 1, 2,...n 为开集，则 ∩ Ei 为开集。
i =1
n
设 E ⊂ R , E = R \ E 为 E 的补集。
n C n n C n
由定义 1.2，有 ∀E ⊂ R , E ∪ E = R 。 定理 1.3 假设 α 为指标集合, 则下面结论成立.
2)
1 + x2 + y2 ( x , y )→( 0,0 ) x 2 + y 2 lim
解：
⎛ 1 ⎞ 1 + x2 + y2 = lim ⎜ 2 + 1⎟ = ∞ 2 2 2 ( x , y )→( 0,0 ) x + y ( x , y )→( 0,0 ) x + y ⎝ ⎠
lim
( x , y )→( 0,0 )
解：若 xy = 0 若 xy ≠ 0
x2 y 2 =0 ( x , y )→( 0,0 ) x 2 + y 2 lim
x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 1 lim = 0。 ，因此由夹逼定理 ≤ = xy ( x , y )→( 0,0 ) x 2 + y 2 2 xy 2 x2 + y 2
个集合覆盖集合 E。 典型例题 且 例 1 设 { X i } ∈ R , i = 1, 2,3,....... ，
n
∑
k =1
∞
X k +1 − X k 收敛， 证明： { X i } ∈ R n , i = 1, 2,3,.......
收敛。 证明: 因为
∑
k =1
∞
X k +1 − X k 收敛,由级数收敛的柯西收敛定理,我们得到
多变量函数的极限与连续性主要知识点、 结论、 典型例题
1. R n 中集合的基本概念和性质
.
定义 1.1 设 E ⊂ R ， A ∈ E , ∃r > 0, Br ( A ) ⊂ E ，则 A 为 E 的内点。E 的内点的集合记为
n
E 0 ,若 E = E 0 ，称 E 为开集。
定理 1.1 对于任何集合 E， E 为开集. 定理 1.2 开集有如下运算性质： 1) 2) 3) 定义 1.2
n
'
⎛∨⎞ ⎝ ⎠
f ( X ) − l < ε ，则成 f 当 X → A 极限存在，记 lim f ( X ) = l
X →A
定理 3.1 1) 极限唯一性： lim f ( X ) = l 存在，则极限是唯一的；
X →A
2)
函数局部有界性：若 lim f ( X ) = l ，则 ∃δ > 0, X ∈ Bδ ⎜ A ⎟ , 有 f ( X ) ≤ M . X →A 函数极限的保序性：若 lim f ( X ) = l , l > 0, ∃δ > 0, X ∈ Bδ ⎜ A ⎟ , 有f(x)>0; X →A 函数极限的保序性：若 ∃δ > 0, X ∈ Bδ ⎜ A ⎟ , 有f(x)>0,并且 lim f ( X ) = l ， X →A 则l ≥ 0。
i →∞ i →∞
Байду номын сангаас
定理 3.5（柯西定理） D ⊂ R ， f : D → R ， A ∈ D ， lim f ( X ) = l 的充要条件
n
'
X →A
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀X 1 , X 2 ∈ D, 0 < X 1 − A < δ , 0 < X 2 − A < δ ，都有：
f ( X1 ) − f ( X 2 ) < ε
i =1 n n
n
定义 1.4 （聚点） E ⊂ R , A ∈ R , 若对于任意 r > 0 ，总有 Br ⎜ A ⎟ 中有 E 中的点，则 A 为 E 的聚点。 定义 1.5 集合 E 的所有聚点的集合为导集,记为 E . 定理 1.6 E 为闭集的充分必要条件 E ⊂ E 。
'
⎛∨⎞ ⎝ ⎠
m
∀ε > 0, ∃N , ∀k > N , ∀m > 0, ∑ X k +1 − X k < ε ,
k =1
因此 X m +1 − X k <
∑
k =1
m
X k +1 − X k < ε , 由定理 2.4,结论得证.
4
3．多变量函数的极限
定义 3.1 设 D ⊂ R , f : D → R, A ∈ E , ∀ε > 0, ∃δ > 0, X ∈ D ∩ Bδ ⎜ A ⎟ 有：
5
定理 3.6 若 lim f ( x, y ) , lim lim f ( x, y ) 存在，则必相等。
y → y0 x → x0 x →0 y → 0
推论 3.1 推论 3.2 典型例题 例1 1)
若
( x , y )→( 0,0)
x →0 y → 0
lim
f ( x, y ) ， lim lim f ( x, y ) ， lim lim f ( x, y ) 存在，则三者必相等。
n
则称 { X i } ∈ R , i = 1, 2,3,....... 有极限，记 lim X m = A
n
m →∞
定理 2.1 1) 2) 3) 4) 若 { X i } ∈ R , i = 1, 2,3,....... 的极限存在，则极限唯一
n
若 { X i } ∈ R , i = 1, 2,3,....... 极限存在，则数列有界
X →A x→ A n
定理 3.4（归结原理）假设 D ⊂ R ， f : D → R ， A ∈ D ， lim f ( X ) = l ⇔ D 中任何收
'
X →A
敛于 A 的点列，且 X i ≠ A, I = 1, 2,..... 若 lim X i = A, 都有： lim f ( X i ) = l
m →∞ i →∞
(
)
(
)
定义 2.3 设 { X i } ∈ R , i = 1, 2,3,....... ， ∀ε > 0, ∃N , ∀m, k > N , X m − X k < ε 称
n
3
{ X i } ∈ R n , i = 1, 2,3,....... 为 R n 中的基本列。
定理 2.4 (柯西收敛)
∀x , y∈En
n →∞
则 ∩ En 只含有唯一点。
n =1
∞
定义 3.6 假设 E ⊂ R ，若
n
{wα ,α ∈Γ} , Γ 为指标集合，为开集族，假设 E ⊂ ∪ w
α ∈Γ
α
，则称
{wα , α ∈ Γ} 为集合 E 的开覆盖。
定理 2.7 假设 E ⊂ R 列紧集，
n
{wα ,α ∈Γ} 为集合 E 的开覆盖，则 {wα ,α ∈Γ} 中可以有限
'
E 不是开集, 是闭集, E 为空集, ∂E = E ;
'
y
o
x
图 2.3 例 1 中 4)的示意图 5) E 不是开集, 不是闭集, 无界,不是区域,
2
1.5
1
y = sin
0.5
1 x
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
图 2.4 例 1 中 4)的示意图
1) E = [ a, b ) × [ c, d ) ;
2) E = {( x, y ) xy ≠ 0} ; 3) E = {( x, y ) xy = 0} ; 4) E = {( x, y ) x, y均为整数} ;
1 ⎧ ⎫ 5) E = ⎨( x, y ) y = sin , x > 0 ⎬ x ⎩ ⎭
n
若 lim X m = A ， lim Ym = B ，则 lim ( X m ± Ym ) = A ± B
m →∞ m →∞
m →∞
若 lim X m = A ，则 lim λ X m = λ A, λ ∈ R .
m →∞ m →∞
n
定理 2.2 若 { X i } ∈ R , i = 1, 2,3,....... ， X i = xi1 , xi 2 ,.....xin , A = a1 , a2 ,.....an ， 则 lim X m = A 的充分必要条件 lim xil = al , l = 1, 2,....., n 。
'
定义 1.6 定义集合的外点和边界：点集合 E ⊂ R ， E
n
( )
c 0
中的点为 E 的外点，E 的外点的
全体为 E 的外部，既不是 E 的外点，也不是 E 的内点，称为 E 的边界，记为 ∂E
1
对于任何集合 E，显然都有： R = E ∪ E
n
0
( )
c 0
∪ ∂E
定义 1.7 若非空的开集 E 是连通的,即 E 中任意两点之间可以有一条完全含于 E 的不间断曲 线连接,则称 E 为开区域. 定义 1.8 开区域连同边界所组成的区域为闭区域. 典型例题 例 1：判断下列点集是开集，闭集，有界集，区域，导集，边界
⎛∨⎞ ⎝ ⎠
3)
⎛∨⎞ ⎝ ⎠
4)
⎛∨⎞ ⎝ ⎠
定理 3.2 1) 2)
假设 lim f ( X ) = l , lim g ( X ) = m, 则由下面结论成立：
X →A X →A
X →A
lim ( f ( X ) + g ( X ) ) = l + m ； lim ( f ( X ) g ( X ) ) = lm; ；
x →0 y → 0 y →0 x →0 y →0 x →0
若 lim lim f ( x, y ) ，lim lim f ( x, y ) 存在但不相等，则
( x , y )→( 0,0)
lim
f ( x, y ) 不存在。
求下列函数的极限
x2 y 2 ( x , y )→( 0,0 ) x 2 + y 2 lim
X →A
3)
⎛ f (X )⎞ l lim ⎜ ⎟ = ,m ≠ 0 。 X →A ⎜ g ( X ) ⎟ ⎝ ⎠ m ⎛∨⎞ ⎝ ⎠
定理 3.3 （夹逼定理） 假设 ∃δ > 0, X ∈ Bδ ⎜ A ⎟ , 有f(x)≤ h(x) ≤ g(x)，并且
X →A
lim f ( X ) = l , lim g ( X ) = l , 则 lim h(x)=l 。
⎛ ⎞ c 1. ⎜ ∩ Eα ⎟ = ∪ Eα ; α ⎝α ⎠
定义 1.3 定理 1.4 1) 2)
n C
c
⎛ ⎞ c 2. ⎜ ∪ Eα ⎟ = ∩ Eα α ⎝α ⎠
c
设 E ⊂ R , E 为开集，则称 E 为闭集。
设 { Eα } , α ∈ I 为闭集，则 ∩ Eα 为闭集。
α ∈I
设 { Ei } , i = 1, 2,...n 为闭集，则 ∪ Ei 为闭集。
n n n
定理 3.5 E ⊂ R 为列紧集的充分必要条件是有界闭集。 下面我们讨论 R 集合的闭区间套和有限覆盖定理。 定理 2.6 1) 2) 假设 En , n = 1, 2,3,......., n,..... 是 R 中的非空闭集，并且满足下面条件：
n n
En ⊃ En +1 , n = 1, 2,3,......., n,....... d n = sup x − y , n = 1, 2,3,......., n,....... ， lim d n = 0