届高考理科数学六校第二次联考[最新版]

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08届高考理科数学六校第二次联考
理科数学试卷
命题学校：东莞中学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知{}
{}
R x x y y B R x x y y A ∈==∈==,,,22
，则=B A
A.{})4,2(),0,0(
B.{}4,0
C.),0[+∞
D. R 2. 已知α为第二象限的角，且53sin =
α，则=+)4
cos(π
α A
． B
C
．10- D
．10
3. 设10<<<a b ，则下列不等式成立的是
A. 12
<<b ab B. 0log log 2
12
1<<a b
C. 222<<a
b
D. 12
<<ab a
4. 已知函数c bx ax x f ++=23)(，其导数)('x f 的图象如右图，
则函数)(x f 的极小值是 A.c b a ++ B.c b a ++48 C.b a 23+ D.c
5. 在△ABC 中，若
C
c B b A a cos cos cos ==，则ABC ∆是 A.直角三角形 B. 等腰直角三角形
C.钝角三角形
D. 等边三角形
6. 函数2log +=x y a 在（－2，0）上是单调递增的，则此函数在)2,(--∞上是
A.单调递增
B.单调递减
C.先增后减
D.先减后增 7. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a ，b ，c 对应密文b a 23+，c b 4+，c 2.例如,明文1，2，3对应密文7，14，6. 当接收方收到密文16，30，14时，则解密得到的明文为 A.2，4，7 B.2，7，4 C.4，2，7 D.7，4，2
8. 数列{}n a 中，,11=a 14
1
1++=
+n n n a a a ，则7a = A. 409633373 B. 384134096 C. 40962574 D. 4096
777
4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分.
9. 已知命题:p x ∀∈R ，1cos ≤x ，则：p ⌝ .
10. 已知2tan =α，则
=+-α
αα
αcos sin cos sin .
11. 数列}{n a 中，0,262==a a ，且数列}1
1
{+n a 是等差数列，则4a =___________．
12. 已知函数22cos 2sin ++=x b x a y )0(≠ab 的一条对称轴方程为6
π
=
x
，则函数
（第4题图）
22cos 2sin ++=x b x a y 的位于对称轴6
π
=
x 左边的第一个对称中心
为 .
13. 给出下列四个命题：
①函数x y a =（0a >且1a ≠）与函数log x a y a =（0a >且1a ≠）的定义域相同； ②函数3y x =与3x y =的值域相同；
③函数11221x y =+-与2
(12)2
x x
y x +=⋅都是奇函数； ④函数2(1)y x =-与12x y -=在区间),0[+∞上都是增函数，
其中正确命题的序号是 .（把你认为正确的命题序号都填上） 14. 对于函数b x a ax x x f +-+-=
)2(3
1)(23
，若()f x 有六个不同的单调区间，则a 的取值范围为 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分12分）
已知函数()cos cos(),2
f x x x x R π
=++∈
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调增区间； （Ⅲ）若3
()4
f α=
，求sin 2α的值. 16. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*))(1(4
1
N n a S n n ∈-=
. （Ⅰ）求21,a a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.
17. （本小题满分14分）
设函数)(x f 的定义域为R ，对任意实数x 、y 都有)()()(y f x f y x f +=+，当0
>x 时0)(>x f 且6)2(=f . (Ⅰ) 求证：函数)(x f 为奇函数； (Ⅱ) 证明函数)(x f 在R 上是增函数；
(Ⅲ) 在区间［－4，4］上，求)(x f 的最值. 18. （本小题满分14分）
为庆祝东莞中学105周年，教师足球队与学生足球队进行一场足球对抗赛. 学生甲带着球，以9米/秒的速度向正南方向走，看到学生乙正好在他的正南方21米处，此时学生乙以6米/秒的速度向南偏东︒60方向走，学生甲想离学生乙最近的时候把球传给他.问经过多少时间后，两位学生相距最近，并求出两位学生的最近距离. 19. （本小题满分14分）
设21,x x 是函数)0(2
3)(22
3>-+=
a x a x
b x a x f 的两个极值点，且2||21=-x x . （Ⅰ）求a 的取值范围；
（Ⅱ）求b 的最大值. 20. （本小题满分14分）
已知等差数列{}n a 满足2
2
1310a a +≤，等比数列{}n b 前n 项和2n
n T a =-。

(Ⅰ) 求a 的值以及数列{}n b 的通项公式；
(Ⅱ)试求345S a a a =++的最大值以及S 最大时数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ)若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和.
答题卷
第Ⅰ卷（本卷共计40分）
一、选择题：（共8小题，每小题5分，共计40分）
第Ⅱ卷（本卷共计110分）
二、填空题：（共6小题，每小题5分，共计30分）
9． 10．
11． 12．
13． 14．
三、解答题：（共6小题，共计80分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分12分）
17．（本小题满分14分）
19．（本小题满分14分）
参考答案
一、选择题
1. C
2. A
3. C
4. D
5.D
6. B
7. C
8. B 二、填空题
9.R x ∈∃，1cos >x 10.31 11.21 12.)2,12
(π
- 13. ①③ 14.（1，2） 三、解答题
15. 解：x x x x x f sin cos )2cos(cos )(-=+
+=π
1分
)sin 2
2
cos 22(2x x -= 2分
)4
cos(2π
+
=x ―――3分
（Ⅰ）)(x f 的最小正周期为ππ
21
2==T ； ―――6分 （Ⅱ）由2224
k x k π
ππππ+≤+
≤+ ， Z k ∈ 7分
得
372244
k x k ππππ+≤≤+， Z k ∈ 8分 )(x f 的单调增区间为37[2,2],44
k k k Z ππππ++∈ ―――9分 （Ⅲ）因为43)(=αf ，即3
cos sin 4
αα-= 10分
169
cos sin 21=-αα 11分
7
sin 216α∴= ―――12分
16.解：(Ⅰ)∵*))(1(4
1
N n a S n n ∈-=
∴当1=n 时，则11a S =得111
(1)4a a =- 1分
解得11
3
a =- ―――3分
当2=n 时，则由21221
(1)4
S a a a =+=- 4分
解得21
9
a = ――6分
(Ⅱ) 当2n ≥时，1111
(1)(1)44
n n n n n a S S a a --=-=--- ―――7分
11
(2)3n n a a n -∴=-≥ ―――8分
11
3
a =-，{}n a ∴中各项不为零 ―――9分
11
(2)3
n n a n a -∴
=-≥ ―――10分 {}n a ∴是以13-为首项，1
3-为公比的数列 ―――11分
1
()3
n n a ∴=- ―――12分
17. (Ⅰ) 证明：∵R y x ∈∀，，)()()(y f x f y x f +=+
∴ 令0==y x ，得)0()0()0(f f f += ―――1分 ∴0)0(=f ―――2分 令x y -=，得)()()0(x f x f f -+= ―――3分 即)()(x f x f -=-
∴函数)(x f 为奇函数 ―――4分 (Ⅱ) 证明：设R x x ∈∀21,，且21x x < ―――5分
则 )()()()()(121212x x f x f x f x f x f -=-+=- ―――6分 又∵当0>x 时0)(>x f
∴0)()()(1212>-=-x x f x f x f ―――7分 即)()(12x f x f > ―――8分 ∴函数)(x f 在R 上是增函数 ―――9分 (Ⅲ) ∵函数)(x f 在R 上是增函数
∴函数)(x f 在区间［－4，4］上也是增函数 ―――10分
∴函数)(x f 的最大值为)4(f ，最小值为)4(-f ―――11分 ∵6)2(=f
∴12)2()2()22()4(=+=+=f f f f ―――12分 ∵函数)(x f 为奇函数
∴12)4()4(-=-=-f f ―――13分 故，函数)(x f 的最大值为12，最小值为12-. ―――14分
18. 解：设甲现在所在位置为A ，乙现在所在位置为B ，运动t 秒后分别到达位置C 、D,如图可知CD 即为甲乙的距离.9,6,21AC t BD t AB === ――1分
1当7
3
t <
时,219,6,120BC t BD t CBD =-=∠= ――2分 2222cos120CD BC BD BC BD ∴=+- ――3分
221
(219)(6)2(219)6()2
t t t t =-+-⨯-⨯⨯-
226325244163(2)189t t t =-+=-+ ――5分 2t ∴=时，min 189321CD == ――7分
2当73t =时,C 、B 重合, 7
6143213CD BD ∴==⨯=> ――9分
3当7
3
t >时,921,6,60BC t BD t CBD =-=∠=
2222cos60CD BC BD BC BD ∴=+- ――10分
221
(921)(6)2(921)6()2
t t t t =-+-⨯-⨯⨯
226325244163(2)189189t t t =-+=-+> ――12分
min CD ∴>――13分
综上所述：经过2秒后两人距离最近为. ――14分
19. 解证：（I ）易得22')(a bx ax x f -+= ―――1分
)(,21x f x x 是 的两个极值点
0)(,'21=∴x f x x 是的两个实根，又0a >
a
b
x x a x x -=+<-=2121,0 ―――3分
∴a a b x x 4||2
2
21+=- ―――5分
∵2||21=-x x
)1(44444232222
a a a a
b a a
b -=-==+∴，即 ―――6分 1002≤<∴≥a b ―――8分 （Ⅱ）设,44)(322a a a g b -==则
)32(4128)(2'a a a a a g -=-= ―――10分
由13
20)(,320,0)('
'≤<<<<>a a g a a g 得由得 ―――11分
)132
()320()(，在单调递增，在，在a g ∴上单调递减 ―――12分
27
16
)32()]([max ==∴g a g ―――13分
∴b 的最大值是 9
3
4=b ―――14分
20.解：(Ⅰ)当2n ≥时，112n n T a --=-， 112(2)n n n n b T T n --∴=-=≥，―――1分
数列{}n b 为等比数列，1121b T a ==-=，故1a = ―――2分
12n n b -∴= ―――3分
(Ⅱ)设数列{}n a 公差d ，
根据题意有：2222131124410a a a a d d +=++≤， ―――4分 即：2211225a a d d ++≤
()345133S a a a a d =++=+，133
S
a d =
-，代入上式有： ―――5分 2
22
243232553393S S S d d d d Sd d ⎛⎫⎛⎫-+-+=
-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, ―――7分 即关于d 不等式22
4512450d Sd S -+-≤有解
()22144180450S S ∴∆=--≥ ―――8分 2225,15S S ∴≤≤
当15S =时，222
45121515450(2)02d d d d -⨯+-≤⇒-≤⇒=
1313
S
a d =-=- ―――9分
23n a n ∴=- ―――10分
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()1232n n n n c a b n -==-，记{}n c 前n 项和为n S ―――11分
123101221(1)21232(25)2(23)2
n n n n n S c c c c c n n ---∴=+++++=-++++-+- 12312(1)21232(25)2(23)2n n n S n n -=-++++-+- ―――12分 1231111(2)(2222)(23)22(12)1(2)(23)212
5(1)232n n
n n n
n n
S n n n --+∴=+-+++++--=+-+--=+-- ―――13分 ()151232n n n S n +∴=+--⋅ ―――14分
注：尊敬的各位读者，本文是笔者教育资料系列文章的一篇，由于时间关系，如有相关问题，望各位雅正。

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