2023-2024学年四川省内江市隆昌市知行中学九年级(上)第一次月考数学试卷(含详解)

2023-2024学年四川省内江市隆昌市知行中学九年级（上）第一次月考数
学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）
1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x（x﹣1）＝x2﹣2B．2x2﹣3y＝0
C．x2+1＝0D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．2C．2D．6
5．（3分）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简为（ ）
A．2c B．2b﹣c C．2a﹣2c D．﹣2a
6．（3分）把方程x2﹣4x﹣3＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，a，b的值分别是（ ）A．2，7B．2，5C．﹣2，7D．﹣2，5
7．（3分）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ）
A．m＝4B．m＝3C．m＝5D．m＝6
8．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）A．k≤5B．k≤5且k≠1C．k＜5且k≠1D．k＜5
9．（3分）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（ ）A．2020B．2021C．2022D．2023
10．（3分）有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则x满足的方程是（ ）
A．（1+x）2＝242
B．（2+x）2＝242
C．2（1+x）2＝242
D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝242
11．（3分）设a＝﹣2，则代数式a3+4a2﹣a+6的值为（ ）
A．6B．4C．2+2D．2﹣2
12．（3分）在《代数学》中记载了求方程x2+8x＝33正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c＝0时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为（ ）
A．2B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．（5分）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ．14．（5分）若代数式有意义，则字母x的取值范围是 ．
15．（5分）设x，y为实数，且y＝2+，则（x﹣2y）2023的值是 ．
16．（5分）非零实数a，b满足a2﹣a﹣2023＝0，b2﹣b﹣2023＝0，则的值是 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共44分．解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）17．（8分）计算：
（1）；
（2）+（π﹣2023）0．
18．（8分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0．
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x；
19．（8分）已知，，求下列代数式的值：
（1）a2b+ab2；
（2）．
20．（10分）关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0有实根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1、x2是方程的两个实根，且，求m的值．
21．（10分）社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车区，要铺花砖，其余部分是通道，且宽度相等．已知铺花砖的面积为640平方米．
（1）求通道的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．为了维护消费者利益，物价部门规定，每个车位租金不得超过500元，要想让停车场的月租金收入为14400元，每个车位的月租金应上涨多少元？
四、填空题（本题4个小题，每小题6分，满分共计24分）
22．（6分）已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣5）2+n ＝0的解是 ．
23．（6分）已知x+y＝﹣6，xy＝4，则代数式的值是 ．
24．（6分）如果a+b+，那么a+2b﹣3c＝ ．
25．（6分）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 ．
五、解答题（本大题3个小题，每小题12分，共36分．解题必须写出必要文字说明或推演步骤．）26．（12分）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如．善于思考的小明进行了以下探索：若设＝
（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】．
（1）若，当a、b、m、n均为整数时，则a＝ ，b ＝ ．（均用含m、n的式子表示）
（2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化简＝ （直接写出结果）．
27．（12分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，
∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求x﹣y的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，求边c的最大值；
（3）若已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a﹣b+c的值．
28．（12分）阅读材料，用配方法求最值．
已知a，b为非负实数，∵0，
∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立．示例：当x＞0时，求的最小值；
解：，当，即x＝2时，y的最小值为5．
（1）若m＞0，的最小值为 ；
（2）探究：当x＞0时，求的最小值；
（3）如图，已知P为双曲线（x＜0）上任意一点，过点P作PB⊥x轴，PA⊥y轴且C（0，﹣4），D（6，0），求四边形ABCD的面积的最小值，并求此时A，B的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）
1．解：A．x（x﹣1）＝x2﹣2，整理得：x﹣2＝0，是一元一次方程，故选项A不符合题意；
B.2x2﹣3y＝0有两个未知数，故选项B不符合题意；
C．x2+1＝0是一元二次方程，故选项C符合题意；
D.是分式方程，故选项D不符合题意．
故选：C．
2．解：A．与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．与不能合并，所以B选项不符合题意；
C．×＝××＝2，所以C选项不符合题意；
D．÷＝＝，所以D选项符合题意．
故选：D．
3．解：A、，故A能与合并；
B、，故B能与合并；
C、，故C不能与合并；
D、，故D能与合并；
故选：C．
4．解：由题意可得，
大正方形的边长为＝2，小正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为：×（2﹣）＝2，
故选：B．
5．解：由数轴得a＜b＜0＜c，
∴b﹣a＞0，a﹣c＜0，
∴
＝|b﹣a|﹣|a﹣c|﹣|b|
＝b﹣a+a﹣c+b
＝2b﹣c．
故选：B．
6．解：x2﹣4x﹣3＝0，
x2﹣4x＝3，
x2﹣4x+4＝3+4，
（x﹣2）2＝7，
所以a＝﹣2，b＝7，
故选：C．
7．解：∵＝2和最简二次根式是同类二次根式，∴3m﹣7＝2，
解得m＝3．
故选：B．
8．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，∴Δ＝42﹣4（k﹣1）≥0，k﹣1≠0，
解得k≤5且k≠1．
故选：B．
9．解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，m2+m﹣2023＝0，
∴m2+m＝2023，
∴m2+2m+n
＝m2+m+（m+n）
＝2023﹣1
＝2022．
故选：C．
10．解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴两个人可感染2x个人，
故一轮感染后，患流感人数为：2+2x，
同理：（2+2x）个人可感染x（2+2x）个人，
故两轮感染后，患流感人数为：2+2x+x（2+2x）＝2（1+x）2，∴2（1+x）2＝242，
故选：C．
11．解：∵a＝﹣2，
∴（a+2）2＝（）2，即a2+4a＝1，
∴a3+4a2﹣a+6＝a（a2+4a）﹣a+6
＝a×1﹣a+6
＝6．
故选：A．
12．解：如图2，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为：
39+（）2×4＝39+25＝64，
∴该方程的正数解为﹣×2＝3．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m2﹣2＝2且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．解：由代数式有意义，得
．
解得x≥﹣3且≠1，
故答案为：x≥﹣3且≠1．
15．解：∵x，y为实数，且，
∴，
∴x＝3，
∴y＝2，
∴（x﹣2y）2023
＝（3﹣2×2）2023
＝（﹣1）2023
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
16．解：非零实数a，b满足a2﹣a﹣2023＝0，b2﹣b﹣2023＝0，
∴当a≠b时，实数a、b是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个不同根．
由根与系数的关系可知a+b＝1，ab＝﹣2023．
∴．
当a＝b时，实数a、b是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个相等根．
．
故答案为：2或．
三、解答题（本大题共5个小题，共44分．解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17．解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝．
18．解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x，
3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x+2＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣．
19．解：（1）∵a＝+1，b＝﹣1，
∴a+b＝2，ab＝3﹣1＝2，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝2×2＝4；
（2）＝＝＝＝4．
20．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0有实根，∴Δ＝[﹣（2m+3）]2﹣4（m2+2）≥0，
整理得：12m+1≥0，
解得：，
∴当时，关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0有实根；
（2）由根与系数的关系得：x1+x2＝2m+3，，
∵，
∴，
整理得：m2﹣12m﹣13＝0，
解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去）或m＝13，
∴m＝13．
21．解：（1）设通道的宽为x米，
根据题意，得（52﹣2x）（28﹣2x）＝640，
∴x2﹣40x+204＝0，
∴（x﹣6）（x﹣34）＝0，
∴x＝6或x＝34（不符合实际，舍去），
答：通道的宽是6米；
（2）设每个车位的月租金上涨a元，停车场的月租金收入为14400元，根据题意，得，
整理，得a2﹣440a+16000＝0，
解得，a＝400或a＝40，
∵400+200＞500，
∴a＝400不符合题意，舍去，
∴a＝40（元），
故每个车位的月租金应上涨40元时，停车场的月租金收入为14400元．
四、填空题（本题4个小题，每小题6分，满分共计24分）
22．解：∵关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，∴关于（x﹣5）的方程m（x+a﹣5）2+n＝0的解满足x﹣5＝﹣3或x﹣5＝1，解得x1＝2，x2＝6．
故答案为：x1＝2，x2＝6．
23．解：∵x+y＝﹣6＜0，xy＝4＞0，
∴x＜0，y＜0，
＝
＝
＝
＝3．
故答案为：3．
24．解：原等式可变形为：
a﹣2+b+1+|﹣1|＝4+2﹣5
（a﹣2）+（b+1）+|﹣1|﹣4﹣2+5＝0
（a﹣2）﹣4+4+（b+1）﹣2+1+|﹣1|＝0
（﹣2）2+（﹣1）2+|﹣1|＝0；
即：﹣2＝0，﹣1＝0，﹣1＝0，
∴＝2，＝1，＝1，
∴a﹣2＝4，b+1＝1，c﹣1＝1，
解得：a＝6，b＝0，c＝2；
∴a+2b﹣3c＝6+0﹣3×2＝0．
25．解：∵a﹣b2＝4，
∴b2＝a﹣4，
∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14
＝a2﹣3a+12+a﹣14
＝a2﹣2a﹣2
＝a2﹣2a+1﹣1﹣2
＝（a﹣1）2﹣3，
∵1＞0，
又∵b2＝a﹣4≥0，
∴a≥4，
∵1＞0，
∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，
∴当a＝4时，原式取最小值为6，
故答案为：6．
五、解答题（本大题3个小题，每小题12分，共36分．解题必须写出必要文字说明或推演步骤．）
26．解：（1）（m+n）2＝m2+2mn+5n2，
∵a+b＝（m+n）2，且a、b、m、n均为整数，
∴a＝m2+5n2，b＝2mn，
故答案为：m2+5n2；2mn；
（2）（m+n）2＝m2+2mn+3n2，
∵x+4＝（m+n）2，
∴，
又∵x、m、n均为正整数，
∴或，
即m＝1，n＝2，x＝13或m＝2，n＝1，x＝7；
（3）原式＝
＝
＝，
故答案为：+．
27．解：（1）x2+2xy+2y2+2y+1＝0，
∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）＝0，
∴（x+y）2+（y+1）2＝0，
∵（x+y）2≥0，（y+1）2≥0，
∴x+y＝0，y+1＝0，
∴x＝1，y＝﹣1，
∴x﹣y＝2；
（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
∵三角形两边之和＞第三边，
∴c＜a+b，c＜3+4，
∴c＜7，
又∵c是正整数，
∴△ABC的边c的值4，5，6；
∴△ABC的边c的最大值6．
（3）∵a﹣b＝4，即a＝b+4，代入得：
（b+4）b+c2﹣6c+13＝0，
（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，
（b+2）2+（c﹣3）2＝0，
∴b+2＝0，c﹣3＝0，
∴b＝﹣2，c＝3，a＝2，
∴a﹣b+c＝7．
28．解：（1）∵m＞0
∴m+≥2＝2，
当m＝时，m+有最小值2，此时m＝，
故答案为：2；
（2）由y＝得到：y＝x++3，
∵x＞0，
∴y＝x++3≥2+3＝5，
当x＝即x＝1时，y＝的最小值是5；
（3）设P（x，﹣），则AC＝﹣+4，DB＝6﹣x，
四边形ABCD的面积S＝AC•BD＝（﹣+4）（6﹣x）＝﹣﹣2x+15，
∵x＜0，
∴﹣x＞0，
∴﹣﹣2x≥2＝12，
当﹣＝﹣2x时，﹣﹣2x有最小值12，此时x＝﹣3，
∴四边形ABCD的面积的最小值为12+15＝27，此时A（0，2），B（﹣3，0）．。