运筹学单纯形法迭代原理课件
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《单纯形方法》课件
结论：单纯形方法在资源分配问题中具有广泛的应用前景，可以帮助企业实现资源的合理分配和优化利用，提 高生产效率和市场竞争力。
定义：通过选择一组资产，使得 在给定风险水平下，期望收益最 大化
方法：利用单纯形方法求解投资 组合优化问题
添加标题
添加标题
目标：实现投资组合的收益最大 化
添加标题
添加标题
实际应用：在金融领域中，用于 管理资产组合，降低风险并提高 收益
● a. 求解线性规划问题的有效方法 ● b. 广泛应用于经济、管理、工程等领域 ● c. 快速、准确、稳定，受到广泛认可
单纯形方法的应用前景： a. 在大数据时代，单纯形方法将更加高效 b. 在人 工智能领域，单纯形方法将与机器学习结合 c. 在未来，单纯形方法将不断 优化，提高求解速度和精度
● a. 在大数据时代，单纯形方法将更加高效 ● b. 在人工智能领域，单纯形方法将与机器学习结合 ● c. 在未来，单纯形方法将不断优化，提高求解速度和精度
单纯形方法在算法改进方面 的潜力
单纯形方法在优化领域的应 用前景
单纯形方法在实际问题中的 应用挑战
未来研究方向和可能的突破 点
汇报人：PPT
计算复杂度：对于大 规模问题，单纯形方 法的计算复杂度较高 ，可能需要较长的计 算时间。
单纯形方法在解决复杂问 题时的局限性
未来发展方向：与其他优 化算法的结合与改进
面临的挑战：提高算法的 稳定性和效率
未来展望：拓展应用领域， 推动相关领域的发展
单纯形方法的重要性： a. 求解线性规划问题的有效方法 b. 广泛应用于经济、 管理、工程等领域 c. 快速、准确、稳定，受到广泛认可
单纯形方法在资源分配问题中的应用：单纯形方法是一种线性规划方法，可以用于解决资源分配问题。通过构建和 求解线性规划模型，单纯形方法可以找到最优的资源分配方案，使得资源利用效率最高或满足特定的目标函数。
定义：通过选择一组资产，使得 在给定风险水平下，期望收益最 大化
方法：利用单纯形方法求解投资 组合优化问题
添加标题
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目标：实现投资组合的收益最大 化
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实际应用：在金融领域中，用于 管理资产组合，降低风险并提高 收益
● a. 求解线性规划问题的有效方法 ● b. 广泛应用于经济、管理、工程等领域 ● c. 快速、准确、稳定，受到广泛认可
单纯形方法的应用前景： a. 在大数据时代，单纯形方法将更加高效 b. 在人 工智能领域，单纯形方法将与机器学习结合 c. 在未来，单纯形方法将不断 优化，提高求解速度和精度
● a. 在大数据时代，单纯形方法将更加高效 ● b. 在人工智能领域，单纯形方法将与机器学习结合 ● c. 在未来，单纯形方法将不断优化，提高求解速度和精度
单纯形方法在算法改进方面 的潜力
单纯形方法在优化领域的应 用前景
单纯形方法在实际问题中的 应用挑战
未来研究方向和可能的突破 点
汇报人：PPT
计算复杂度：对于大 规模问题，单纯形方 法的计算复杂度较高 ，可能需要较长的计 算时间。
单纯形方法在解决复杂问 题时的局限性
未来发展方向：与其他优 化算法的结合与改进
面临的挑战：提高算法的 稳定性和效率
未来展望：拓展应用领域， 推动相关领域的发展
单纯形方法的重要性： a. 求解线性规划问题的有效方法 b. 广泛应用于经济、 管理、工程等领域 c. 快速、准确、稳定，受到广泛认可
单纯形方法在资源分配问题中的应用：单纯形方法是一种线性规划方法，可以用于解决资源分配问题。通过构建和 求解线性规划模型，单纯形方法可以找到最优的资源分配方案，使得资源利用效率最高或满足特定的目标函数。
运筹学第5章 单纯形法
0 0 1
在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或为由单位矩阵的 各列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基 本可行解。如果找不到单位矩阵或由单位矩阵的各列向量组成的基作 为初始可行基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细讲述。
8Leabharlann §1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验 所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
5
§1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划解之间的关系：
1.可行解与最优解： 最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解。
2. 可行解与基本解： 基本解不一定是可行解，可行解也不一定是基本解。
3. 可行解与基本可行解： 基本可行解一定是可行解，但可行解不一定是基本可行解。
4. 基本解与基本可行解： 基本可行解一定是基本解， 但基本解不一定是基本可行解。
9
§1 单纯形法的基本思路和原理
2.最优解判别定理
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，如
果所有检验数 j≤0，则这个基本可行解是最优解。 下面我
们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量表示
的目标函数为: z z0 j xj jJ 由于所有的xj的取值范围为大于等于零，当所有的 j都小
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找
到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就
可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。
在此例中我们不妨找到
1 1 0 B3 1 0 0
为A的一个基，令这个基的非
1 0 1
基变量x１，s2为零。这时约束方程就变为基变量的约束方程：
第五章 单 纯 形 法
运筹学讲义-单纯形方法(ppt 78页)
为变量xj关于基B的判别数，j=1,2, -------, n。
7 2020/11/2
五、 单纯形方法
2、判别向量与判别数： （的b）判λ别N=向CN量-C，BB其-1中N为任对一应分基量Bλ的j=c所j-C有BB非-1基Aj变量XN 为-非---基-, 变n。量xj关于基B的判别数，j=m+1,m+2, ----（c）所有基变量的判别向量是零向量，所有基变
（一）人工变量消除法——M法 2、M法的辅助线性规划问题：
原问题：
Max z=c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn=b1 a21 x1+ a22x2+…… +a2nxn =b2
……
am1x1+am2x2+……+amnxn=bm x1,x2, ……,xn ≥ 0
函数值Z/ >0，则原问题无解。 [证明]（请同学们自己做一做）。 （3）辅助问题在最优基B下目标函数的值Z/=0，此时有 两种情况：第一种情况，若辅助问题的最优基B对应的 基变量中无人工变量，则该最优基也是原问题的可行 基，这时候只要在单纯形表中去掉人工变量所在的列 和最后一行，即可得到原问题的初始可行单纯形表。
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五、 单纯形方法
（三）单纯形方法：表上作业法
1、单纯形表的构造
方法1：C-CBB-1A=(CB,CN)-CBB-1(B,N) =(0,CN-CBB-1N)
两边同乘上X得：
（C-CBB-1A）X= (0,CN-CBB-1N)X，化简得： Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N) XN
3 X2 1.5 0.5 1 0.25 0
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五、 单纯形方法
2、判别向量与判别数： （的b）判λ别N=向CN量-C，BB其-1中N为任对一应分基量Bλ的j=c所j-C有BB非-1基Aj变量XN 为-非---基-, 变n。量xj关于基B的判别数，j=m+1,m+2, ----（c）所有基变量的判别向量是零向量，所有基变
（一）人工变量消除法——M法 2、M法的辅助线性规划问题：
原问题：
Max z=c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn=b1 a21 x1+ a22x2+…… +a2nxn =b2
……
am1x1+am2x2+……+amnxn=bm x1,x2, ……,xn ≥ 0
函数值Z/ >0，则原问题无解。 [证明]（请同学们自己做一做）。 （3）辅助问题在最优基B下目标函数的值Z/=0，此时有 两种情况：第一种情况，若辅助问题的最优基B对应的 基变量中无人工变量，则该最优基也是原问题的可行 基，这时候只要在单纯形表中去掉人工变量所在的列 和最后一行，即可得到原问题的初始可行单纯形表。
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五、 单纯形方法
（三）单纯形方法：表上作业法
1、单纯形表的构造
方法1：C-CBB-1A=(CB,CN)-CBB-1(B,N) =(0,CN-CBB-1N)
两边同乘上X得：
（C-CBB-1A）X= (0,CN-CBB-1N)X，化简得： Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N) XN
3 X2 1.5 0.5 1 0.25 0
运筹学之单纯形法.ppt
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
2.基本过程:
1）加入人工变量;
2）通过单纯形法的迭带,将虚拟的人 工变量从原来的基变量中替换出去, 变成非基变量,使每一个人工变量都 等于0.反之,如果不能都变为非基变 量,表明原问题无可行解.
(一)、大M法：
2.4 单纯形法补遗
2.4.1 进基变量的相持及其突破
Y
结束
N
沿边界找新
的基本可行解
2.1 单纯形法的基本思想
单纯形法的三种形式：1）方程组形式； 2）表格形式；3）矩阵形式。
2.1.1 方程组形式的单纯形法
maxZ=3X1 +5X2
X1
+X3
=8
2X2 +X4 =12
3X1+4X2
+X5 =36
X1 … X5 0
解：(1)、确定初始可行解
B=(a3 a4 a5)=I Z -3X1-5X2 =0 X3 =8- X1 X4=12-2X2
此时可以确定X5为离基变量
Z
+1/2X4 +X5 =42
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4 =6
X1 -2/3X4+1/3X5=4
令X4 =X5 =0
X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2, 5=1, Z值不
再增大了,X值是最优基本解
即:X*=(4,6)T,Z*=42
X6
X7
CB XB -36 M -M -6 -M -4 0
0
M
0
0
0
X3 100
2
3
1
00
0
2.基本过程:
1）加入人工变量;
2）通过单纯形法的迭带,将虚拟的人 工变量从原来的基变量中替换出去, 变成非基变量,使每一个人工变量都 等于0.反之,如果不能都变为非基变 量,表明原问题无可行解.
(一)、大M法：
2.4 单纯形法补遗
2.4.1 进基变量的相持及其突破
Y
结束
N
沿边界找新
的基本可行解
2.1 单纯形法的基本思想
单纯形法的三种形式：1）方程组形式； 2）表格形式；3）矩阵形式。
2.1.1 方程组形式的单纯形法
maxZ=3X1 +5X2
X1
+X3
=8
2X2 +X4 =12
3X1+4X2
+X5 =36
X1 … X5 0
解：(1)、确定初始可行解
B=(a3 a4 a5)=I Z -3X1-5X2 =0 X3 =8- X1 X4=12-2X2
此时可以确定X5为离基变量
Z
+1/2X4 +X5 =42
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4 =6
X1 -2/3X4+1/3X5=4
令X4 =X5 =0
X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2, 5=1, Z值不
再增大了,X值是最优基本解
即:X*=(4,6)T,Z*=42
X6
X7
CB XB -36 M -M -6 -M -4 0
0
M
0
0
0
X3 100
2
3
1
00
0
第1章-线性规划及单纯形法-课件(1)
✓ x1、 x2 0
IБайду номын сангаас
设备
1
原材料 A 4
原材料 B 0
利润
2
II 资源限量
2 8 台时
0
16kg
4
12kg
3
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
该计划的数学模型
✓ 目标函数 ✓ 约束条件
Max Z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x1
✓ 美国航空公司关于哪架飞机用于哪一航班和哪些 机组人员被安排于哪架飞机的决策。
✓ 美国国防部关于如何从现有的一些基地向海湾运 送海湾战争所需要的人员和物资的决策。
✓ ……
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
二、线性规划问题的数学模型
✓ 1、一般形式 ✓ 2、简写形式 ✓ 3、表格形式 ✓ 4、向量形式 ✓ 5、矩阵形式
1、唯一最优解
max Z 2 x 1 3 x 2
2 x 1 2 x 2 12 ⑴
x1 4 x1
2 x2
8 16
⑵ ⑶
4 x 2 12 ⑷
x 1 0 , x 2 0
1 234 56
x2
⑶ ⑷
(4，2)
0 1 234 5678
x1
⑵
⑴
✓最优解：x1 = 4,x2 = 2，有唯一最优解Z=14。
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
三、线性规划模型的标准形式
✓ 1、标准形式 ✓ 2、转换方式
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
1、标准形式
maZx cjxj
xj
aijxj 0
bi
运筹学4单纯形法迭代原理演示课件
5. 基变换
主行和主列的交叉元素称为主元素al,m+t
p 1 ..p .l ..p .m p 1..p l . 1 ,p m t,p l ..p m . 20
cj
CB XB b
c l c1 c2
…
cm
x1 x2
…x l
xm
cm+1
c m… t cn
xm+1
x…
xn
m t
c1 x1 b1 1 0 .0.. 0 a1,m1 a 1 ., m.. t a1n
X(0)(b 1,b2,.b .m .,0 ,,.0 .)T .,
8
2.建立判别准则
判断：初始基本可行解或经过若干次迭代后得到的新基 本可行解—当前解—是否为最优解？
一般（经过若干次迭代），对于基B，用 非基变量表出基变量的表达式 为：
Axb BB xNN xb
xBB1bB1NN x 典式
n
xi bi' ai'jxj, jm1
于是，若某线性规划只有唯一的一个最 优解，这个最优解所对应的点一定是可行域 的一个顶点；若该线性规划有多个最优解， 那么肯定在可行域的顶点中可以找到至少一 个最优解。
3
转移条件？
转移结果？
使目标函数值得到改善
得到LP最优解，目标函数达到最优值
2．需要解决的问题：
(1)为了使目标函数逐步变优，怎么转移？ (2)目标函数何时达到最优——
x ik 1 x ik a i',m tx m k 1 t,i 1 ,.m .,i. l,
xk1 l
0
x 离基变量： l
X(k)(x1 k,x2 k,.x .m k.,0 ,,.0 .)T ., X ( k 1 ) ( x 1 k 1 ,x .l k 1 1 .,0 ,.x l k 1 1 ,0 .0 .,x . m k 1 t,0 ,.0 ) T .是 解.可！,行
运筹学-第1章 3-单纯形法
解: 1 2 3 0 A p1 p 2 p3 p 4 , 则 B p1 p 4 0 3 1 1
选 XB = (x1 x4)T 令x2 = x3 = 0 则 初始基可行解：X = (3
0
0
4)T
5
（2）人工变量法（大M法） 若给定问题标准化后，系数矩阵中不存在m个线性无关的单
以alk为主 元进行初 等行变换
xm a mm 1 x m 1 amk x k a mn x n bm xj 0 j 1,2, , n
0 0 0 a1m1 a1k a1n b1 1 1 0 0 a2m1 a2k a2n b2 0 A 0 0 1 0 alm 1 alk aln bl 0 0 0 1 amm 1 amk amn bm
解就是原问题的最优解
若变化后的问题中含有非零的人工变量则元问题无可行
解
7
2.最优性检验和解的判别
x i bi a im 1 x m 1 , ,a in x n i 1, , m代入目标函数 Z
c1 x1 c2 x 2 c n x n c1 (b1 a1m 1 x m 1 a1n x n ) c2 (b2 a 2 m 1 x m 1 a 2 n x n ) cm (bm a mm 1 x m 1 a mn x n ) c m 1 x m 1 c n x n ci bi
（1）因为所有 Xj ≥0，当所有σ j<0 时，则 Z≤Z0,则该基可行解 对应最优解； （2）因为所有 Xj ≥ 0 ，当 σ j≤ 0 且存在 σ j ＝0 （ j=m+1,„,n) 时，则该线性规划问题有无穷多最优解； （ 3 ）对基可行解 X0, 若存在某个 σ k>0, 且所有 aik≤0(Pj≤0), i=1,2,„,m，则该问题无界（无界解）； （4）因为所有Xj≥0，当存在σ j>0时，则该基可行解不是最优 解，需要寻找另一个基可行解；
选 XB = (x1 x4)T 令x2 = x3 = 0 则 初始基可行解：X = (3
0
0
4)T
5
（2）人工变量法（大M法） 若给定问题标准化后，系数矩阵中不存在m个线性无关的单
以alk为主 元进行初 等行变换
xm a mm 1 x m 1 amk x k a mn x n bm xj 0 j 1,2, , n
0 0 0 a1m1 a1k a1n b1 1 1 0 0 a2m1 a2k a2n b2 0 A 0 0 1 0 alm 1 alk aln bl 0 0 0 1 amm 1 amk amn bm
解就是原问题的最优解
若变化后的问题中含有非零的人工变量则元问题无可行
解
7
2.最优性检验和解的判别
x i bi a im 1 x m 1 , ,a in x n i 1, , m代入目标函数 Z
c1 x1 c2 x 2 c n x n c1 (b1 a1m 1 x m 1 a1n x n ) c2 (b2 a 2 m 1 x m 1 a 2 n x n ) cm (bm a mm 1 x m 1 a mn x n ) c m 1 x m 1 c n x n ci bi
（1）因为所有 Xj ≥0，当所有σ j<0 时，则 Z≤Z0,则该基可行解 对应最优解； （2）因为所有 Xj ≥ 0 ，当 σ j≤ 0 且存在 σ j ＝0 （ j=m+1,„,n) 时，则该线性规划问题有无穷多最优解； （ 3 ）对基可行解 X0, 若存在某个 σ k>0, 且所有 aik≤0(Pj≤0), i=1,2,„,m，则该问题无界（无界解）； （4）因为所有Xj≥0，当存在σ j>0时，则该基可行解不是最优 解，需要寻找另一个基可行解；
运筹学课件1-3单纯形法原理
§1.3 单纯形法原理
理论方法 算法步骤 单纯形表
算例
第1页
一、基本概念
考虑线性规划标准形式 max z CX s .t . AX b X 0 ：
其中A为m×n阶矩阵
可行解：满足AX=b,且X≥0的解称为可行解。 可行域：全部可行解的集合称为可行域。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解称为最 优解。 基：设B是系数矩阵A的一个m×n阶的满秩子矩阵， 称B是(LP)的一个基。
－5 0 0
2.5 0 4 4 0 3
1.5 17.5 22 19
－3 0 0 0
问：基解中零的个数至少有多少个？ 至少n-m个
例3
x1=0, x3=0 x2=3, x4=-2 是基解，但不 是可行解
D
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
第12页
三、几个基本定理
引理 线性规划问题的可行解为基可行解的充要条件 是它的正分量所对应的系数列向量线性无关。
证： （2）充分性
若向量 P1 , P2 , , Pk 线性无关，
则必有 k m
T
当 k m 时， P1 , P2 , , Pm 构成基
从而 X ( x1 , , x m , 0 , , 0 ) 为相应的基可行解
若X
(X
(0)
(0)
证。
(0)
不是基可行解
(0)
,由定理 2 知 X
到通过 X
) CX ) CX
理论方法 算法步骤 单纯形表
算例
第1页
一、基本概念
考虑线性规划标准形式 max z CX s .t . AX b X 0 ：
其中A为m×n阶矩阵
可行解：满足AX=b,且X≥0的解称为可行解。 可行域：全部可行解的集合称为可行域。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解称为最 优解。 基：设B是系数矩阵A的一个m×n阶的满秩子矩阵， 称B是(LP)的一个基。
－5 0 0
2.5 0 4 4 0 3
1.5 17.5 22 19
－3 0 0 0
问：基解中零的个数至少有多少个？ 至少n-m个
例3
x1=0, x3=0 x2=3, x4=-2 是基解，但不 是可行解
D
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
第12页
三、几个基本定理
引理 线性规划问题的可行解为基可行解的充要条件 是它的正分量所对应的系数列向量线性无关。
证： （2）充分性
若向量 P1 , P2 , , Pk 线性无关，
则必有 k m
T
当 k m 时， P1 , P2 , , Pm 构成基
从而 X ( x1 , , x m , 0 , , 0 ) 为相应的基可行解
若X
(X
(0)
(0)
证。
(0)
不是基可行解
(0)
,由定理 2 知 X
到通过 X
) CX ) CX
单纯形法原理讲解ppt课件
第4步 基变换
换入基变量：
z 0 2 x 1 3 x 2 0 1 x 1 2 x 2
1,2 0, x1, x2 均可换入。
一般选取 max对1, (应2)的变量
（即选最大非负检验数对应的变量）
换入变量 x 2
换出变量
x3 使换入的变量越大越x好4 同时，新的解要可行。
x5
本节通过一个引例，可以了解利用 单纯形法求解线性规划问题的思路，并 将每一次的结果与图解法作一对比，其 几何意义更为清楚。
引例（上一章例）
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
x1 2x2 x3
8
4x1
x4
16
4 x2
x5 12
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
x 2 min( 8 / 2 x 2 为换入变量，应换出 x 5变为量换。 出变量
因此，基由 B(P3 P4 P5) 变为 B(P 3 P 4 P 2)
转第2步：基变量用非基变量表示。
第3步：最优性判断
检验数
存在正，按第4步换基继续迭代
均非正，停止
（这时的解即是最优解）
x x
3
3
转
2
第x 4 x22 4步x 24
0 4 0 0 1
显然 ，P3, P4, P5 可构成初等可行基B 。
1 0 0
令： B(P3,
P4,P5)
0
1
0
x3, x4, x5 为基变量
0 0 1
第2步 求出基可行解
基变量用非基
x3
是否是 最优x4解？x5
8 x1 164x1 12
2变令x2量 非表 基示 变， 量并 为
运筹学课件 单纯形法的迭代原理
运筹学教程
检验数σ1和σ2均大于0，所以表中的基可行解不是最优解。
k max{ j |
j
0}
σ1>σ2，选择最大正检验数对应的系数列为主元列， 主元列对应的非基变量X1为换入变量；
bi bl min | a ik 0 a ik a lk
，
xl-11, xl+11,…………xm1, xj1所对应的向量，
经过重新排列后加行b列形成的增广矩阵为：
p1 1 0 .... ....... . p l 1 0 0 pj a1 j a2 j a l 1 j a lj a l 1 j a mj p l 1 0 0 ... .......... . pm .... 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 . 1 bl 1 bl b l 1 . bm b b1 b2
5 x 2 15 5 x 2 x 3 15 6 x 1 2 x 2 24 6 x 1 2 x 2 x 4 24 st . st . x1 x 2 5 x1 x 2 x 5 5 x1 , x 2 0 x1 5 0
完成一次迭代，得到新的基可行解和相 应的目标函数值
运筹学教程
该迭代过程直至下列情况之一发生时停止
检验数行全部变为非正值； （得到最优解）或
主元列≤ 0（无界）
运筹学教程
例题：使用单纯形法求解线性规划问题
max Z 2 x 1 x 2
max Z 2 x 1 x 2 0 x 3 0 x 4 0 x 5
运筹学教程
Cj CB 0 2 0 1 基 X3 X1 X5 x2 b 15 15/2 4 7/2 1 6/4
运筹学-单纯形法1课件
例2:
cj CB XB 0 x3 0 x4
σj 0 X3 1 x1
σj
maxZ x 1 x 2
s.t.
2x 1 x1
x2 x2
100 50
x1,x2 0
1
1
00
bi x1 x2 x3 x4
100 -2 1
1
0
50 [ 1 ] -1 0 1
11
0
0
200 0 -1 1 2
50 1 -1 0 1
唯一最优解；
• a4<0,a5<0, a6≥0
无穷多最优解；
• a6≥0,a4≤0, a5≤0, a4=0或a5=0
无界；
• a6≥0,a5>0,a2≤0, a3≤0
无可行解；
• a4≤0,a5≤0, x4或x2为人工变量, a6≥0 ；
非最优，继续换基: X3换入，x2换出
• x1为人工变量, a6>0 • a4>0,a4>a5;a6/a1>2→a1>0
0 -M -M
x5 x6 x7 θ
0 0 04 -1 1 0 1
0 0 13
-M 0 0 x2入, x6出
1 -1 0 1 -1 1 0 -
3 -3 1 1
3M -1/2
0 1/2
-4M 0 1/2 -1/2 0 1/3 -1/2 1/6
x1入, x7出 9 3/2
3/2 -M-3/2 -M+1/2 x3入, x1出
28.09.2024
11
练习: 列出初始单纯形表，并求解第2小题 的最优解
P55，2.2（1） 2.
28.09.2024
12
单纯形表
运筹学-单纯形法ppt课件
基本解中最多有m个非零分量。
基本解的数目不超过
C个nm。
n!
m!n
m!
定义 在线性规划问题的一个基本可行解中，如果所有的基变量都取正值，则 称它为非退化解，如果所有的基本可行解都是非退化解。称该问题为非退化的 线性规划问题；若基本可行解中，有基变量为零，则称为退化解，该问题称为 退化的线性规划问题。
Cnm
上述结论说明: 线性规划的最优解可通过有限次运算在基可行解中获得.
；.
8
2 单纯形法
(1)单纯形法的引入 例1
Max Z=40X1 +50X2
X1 +2X2 +X3
=30
3X1 +2X2 +X4 =60
2X2 X1 … X5 0
+X5 =24
；.
9
解：(1)、确定初始可行解
B = ( P3 P4 P5 ) = I
表
示
0 10 I C N B C -1 B N B -1 N-C B B -B 1-1 -C B B -B 1b -b 1
BN I b
CB CN 0
0
I
B-1N
B-1
B-1b
0
CN -CB B-1N
-CB B-1
CBB-1b
；.
27
对应I 式的单纯形表—— I 表(初始单纯形表)
价值系数cj
a2m1
amm1
a1m2 a2m2
amm2
a1n a2n amn
非 基 向 量
X B x1 x2 xm T
X N xm1 xm2 xn T
基变量
非基变量
；.
3
AX b
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非基变量取0，算出基变量，搭配在一起构成 初始基本可行解：
X(0)(b 1,b2,.b .m .,0 ,,.0 .)T .,
运筹学单纯形法迭代原理
8
2.建立判别准则
判断：初始基本可行解或经过若干次迭代后得到的新基 本可行解—当前解—是否为最优解？
一般（经过若干次迭代），对于基B，用非 基变量表出基变量的表达式 为：
Axb BB xNN xb
xBB1bB1NN x 典式
n
xi bi' ai'jxj, jm1
i1,2 ,m
n
若BI, xi 运b筹i 学单纯形法ai迭jx代j原理
9
jm1
用非基变量表示目标函数的表达式：
n
m
n
m
n
Z c jx j cjxj cjxj cixi cjxj
j1
m
j1
n
jm1
i1
n
ci(bi' ai'jxj) cjxj
i1
jm1
jm1
m
mn
n
cibi'
ciai'jxj cjxj
jm1
n
xi bi' ai'jxj
jm1
i1
i1jm1
jm1
m
nm
n
cibi'
ciai'jxj cjxj
i1
jm1i1
jm1
典式
m
n
m
cibi' (cj ciai'j)xj
三 单纯形法 迭代原理
运筹学单纯形法迭代原理
1
三. 单纯形法的基本思想
1、顶点的逐步转移
• 即从可行域的一个顶点（基本可行解） 开始，转移到另一个顶点（另一个基本可 行解）的迭代过程，转移的条件是使目标 函数值得到改善（逐步变优），当目标函 数达到最优值时，问题也就得到了最优解。
运筹学单纯形法迭代原理
X(k)(x1 k,x2 k,.x .m k.,0 ,,.0 .)T .,
n
xi bi' ai'jxj
jm1
xj 0; j m 1,...,n
xik bi'
xm t 0
xj0;jm 1,..m . ,t1,m t1,..n.,
x ba x x a x k1 ' ' i 运筹学单纯i形法迭代i,原m理t mt
➢LP限制条件有“=”类型的约束
——直接在左端加上人运筹工学单变纯形法量迭代。原理
7
在引入人工变量后，与原先的约束方程不完全等价，为此， 需要在目标函数上做些“修正”——大M法或两阶段法
x1
x2
a1m1xm1 a1nxn b1 a2m1xm1 a2nxn b2
xm am x m1 m1 amnxn bm xj 0 ( j 1,21
i1
n
Z 0
n
n
Z0 (cj zj)xjZ0 jxj
Z
Z0 jxj
jm1
jm1
jm1
运筹学单j 纯形法迭检代验原理数
10
n
Z Z0 jxj
m
其中 Z0 cibi',
i 1
jm1
j cj zj,
m
z j ciai'j
i 1
（1）最优性判别定理 j 0,jm1,..n.,
3
转移条件？
转移结果？
使目标函数值得到改善
得到LP最优解，目标函数达到最优值
2．需要解决的问题：
(1)为了使目标函数逐步变优，怎么转移？ (2)目标函数何时达到最优——
判断标准是什么？
运筹学单纯形法迭代原理
4
解LP问题单纯形法的基本思路：
初始可行基：设法在约
束矩阵 ARmn 中
构造出一个m阶单位阵
（2）有无穷多个“最优解”的判别定理 j 0 且mt 0
运筹学单纯形法迭代原理
11
n
3、进行基变换
Z Z0 jxj
jm1
（1）进基变量的确定——原则：正检验数（或最大正检验
数）所对应的变量进基，目的是使目标函数得到改善。
xmt
（2）离基变量的确定——在保持解的可行性的前提下， 使目标函数较快增大。
14
Z(k1) Z0
n
jxj
Z0
xk
mt mt
jm1
Z 0 Z(k)
从而，目标函数得到了改善。
运筹学单纯形法迭代原理
15
第四节 单纯形表
运筹学单纯形法迭代原理
初始基本可行解 检验数
进基变量：检验数
运筹离学单基纯形变法迭量代原：理 最小比值准则
5
1.确定初始基本可行解
LP:
n
maxz cjxj
j1
n
s.t. j1
Pj xj
b
xj 0( j 1,2,3,n)
希望在化LP的标准形 式时，A中都含有一 个m阶单位阵。
？ x1
x2
a1m1xm1 a1n xn b1 a2m1xm1 a2n xn b2
x k 1 mt
从而，x 最大可取到 m t
a x 运筹学m单纯i i形n法迭a代ix'原,mi理kt
a' i,mt
0
k l ' l ,m t
13
xik1xikai',mtxmt
x k 1 mt
xlk a'
l ,m t
x ik 1 x ik a i',m tx m k 1 t,i 1 ,.m .,i. l,
2
顶点转移的依据？
根据线性规划问题的可行域是凸多边形 或凸多面体，一个线性规划问题有最优解， 就一定可以在可行域的顶点上找到。
于是，若某线性规划只有唯一的一个最
优解，这个最优解所对应的点一定是可行域
的一个顶点；若该线性规划有多个最优解，
那么肯定在可行域的顶点中可以找到至少一
个最优解。
运筹学单纯形法迭代原理
k' i i,mt mt
12
xik1xikai',mtxmt 0
n
Z Z0 jxj
jm1
a' i,m t < =
xm t
xik ai',mtxmt
若mt 0且pm' t 0
则该LP无最优解。
>
当
a' i,mt
0 时，为使
xikai',mtxmt 0，需要
最小比 值原则
xmt
x
k i
a' i,m t
xm amm1xm1 amnxn bm
xj 0 ( j 1,2,,n)
运筹学单纯形法迭代原理
6
➢观察法
——观察系数矩阵中是否含有现成的单位阵？
➢LP限制条件中全部是“≤”类型的约束
——将新增的松弛变量(+)作为初始基变量，对应的 系数列向量构成单位阵；
➢LP限制条件有“≥”类型的约束
——左端新增剩余变量(-)后，再加上一个非负的新 变量—人工变量。
xk1 l
0
x 离基变量： l
X(k)(x1 k,x2 k,.x .m k.,0 ,,.0 .)T ., X ( k 1 ) ( x 1 k 1 ,x .l k 1 1 .,0 ,.x l k 1 1 ,0 .0 .,x . m k 1 t,0 ,.0 ) T .是 解.可 ！,行
运筹学单纯形法迭代原理 是否还是基本解？是