05-2期中高数B答案

上海第二工业大学（试卷编号试卷编号：：A0640A A0640A））2005-2006学年第二学期期中考试《高等数学学年第二学期期中考试《高等数学(B)(B)(B)》试卷》试卷标准答案与评分细则一、填空题（3×10＝30分）1、以21x y e =，22xy xe =为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是440y y y ′′′−+=；2、微分方程sin 2y x ′′=的通解是121sin 24y x C x C =−++；3、设2U a b =+uv v v ，V ka b =+u r r r ，且1a =v ，2b =v ，a b ⊥v v，则当K =－2时，U V ⊥uv u v；4、设{}1,3,1a =−v ，{}2,1,3b =−v ，则以a v 、b v 为邻边的三角形面积为2；5、由xoz 面上的曲线x ze =绕x 轴旋转而成的旋转曲面的方程是222x y z e +=；6、过点()1,2,1M −−且与直线2341x t y t z t =−+⎧⎪=−⎨⎪=−⎩垂直的平面方程是380x y z −−−=；7、函数arctanyz =(){}22,90x y xy x +<≠且；8、()()()1,0,0lim1yx y xy →−=1；9、设函数x yz e =，则dz =2x xyye xedx dy y y−；10、空间曲线414x t =，313y t =，212z t =在2t =处的切线方程为8423842y x z −−−==。

二、解微分方程（7×3＝21分）1、求微分方程22dyxy x y dx=+满足初始条件12x y ==的特解。

解：原方程化为：dy x y dx y x =+，（1分）令y dy dUU U xx dx dx=⇒=+代入（1分）1dU U xU dx U +=+，即1UdU dx x =，（1分）两边积分得21ln 2U x C =+（1分）将yU x =代入()222ln y x x C =+，（1分）将12x y ==代入得2C =，（1分）特解：()222ln 2y x x =+。

（1分）2、求微分方程221x y xy x ′′′+=+的通解。

解：原方程化为：2111y y x x ′′′+=+，（1分）设,P y P y ′′′′==则，（1分）则原方程化为：2111P P x x′+=+，（1分）()112111111ln 2dx dx x xP e x e dx C x x C x x −⎛⎞∫∫=++=++⎜⎟⎝⎠∫，（2分）则1111ln 2y x x C x x′=++，（1分）()2211211111ln ln ln 242y x x C dx x x C x C x x ⎛⎞=++=+++⎜⎟⎝⎠∫。

（1分）3、求微分方程22xy y y e ′′′−−=的通解。

解：求Y ：2210r r −−=，112r =−，21r =，1212x x Y C e C e −=+；（3分）求*Y ：1λ=是特征方程单根，则1K =，设*x Y Axe =，将*Y 、*Y ′、*Y ′′代入原方程，得23A =，*23x Y xe =；（3分）通解：1*21223x x xy Y Y C e C e xe −=+=++。

（1分）三、求偏导数（7×3＝21分）1、()sin x yz e−=，求22z x ∂∂，22z y ∂∂，2z x y ∂∂∂。

解：()cos x y x y z e e x −−∂=∂，()cos x y x y ze e y−−∂=−∂，（2分）()()2222sin cos x y x y x y x yz e e e e x−−−−∂=−+∂，（2分）()()2222sin cos x y x y x y x yz e e e e y−−−−∂=+∂，（2分）()()222sin cos x y x y x y x y ze e e e x y−−−−∂=−∂∂。

（1分）2、()22xyz x y =−，求z x ∂∂，z y∂∂。

解：设22u x y =−，v xy =，则v z u =，（1分）()()()122222222ln xy xy z z u z vx y x y y x y x y x u x v x−∂∂∂∂∂=⋅+⋅=−+−−∂∂∂∂∂，（3分）()()()12222222ln xy xy z z u z vxy x y x x y x y y u y v y−∂∂∂∂∂=⋅+⋅=−−+−−∂∂∂∂∂。

（3分）3、22,y z f x y x ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠，f 具有二阶连续偏导数，求z y ∂∂，2z y x∂∂∂。

解：()12121122z f y f yf f y x x∂′′′′=⋅−+⋅=−+∂，（3分）21112221222222211122222211222124z y y y f x f f f x f y x x x x x y y f xyf f f x x x ∂⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞′′′′′′′′′=−⋅+⋅−−+⋅+⋅−⎜⎟⎜⎢⎥⎢⎥∂∂⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣⎦⎛⎞′′′′′′′=−−+−⎜⎟⎝⎠。

（4分）四、解答题（7×3＝21分）1、求函数()33222z x y x y =+−+得极值点和极值。

解：234x f x x ′=−，234y f y y ′=−，（1分）解方程组22340340xy f x x f y y ⎧′=−=⎪⎨′=−=⎪⎩，得驻点()0,0，40,3⎛⎞⎜⎟⎝⎠，4,03⎛⎞⎜⎟⎝⎠，44,33⎛⎞⎜⎟⎝⎠，（1分）由于64xx f x ′′=−，64yy f y ′′=−，0xy f ′′=（1分），于是在点()0,0处：2160AC B −=>，且40A =−<，()0,0为极大值点，极大值为0；（1分）在点40,3⎛⎞⎜⎟⎝⎠处：2160AC B −=−<，40,3⎛⎞⎜⎟⎝⎠不是极值点；（1分）在点4,03⎛⎞⎜⎟⎝⎠处：2160AC B −=−<，4,03⎛⎞⎜⎟⎝⎠不是极值点；（1分）在点44,33⎛⎞⎜⎟⎝⎠处：2160AC B −=>，且40A =<，44,33⎛⎞⎜⎟⎝⎠为极小值点，极小值为6427−。

（1分）2、求曲面22z x y =+得一个切平面，使此切平面与直线2122x z y z +=⎧⎨+=⎩垂直。

解：直线2122x z y z +=⎧⎨+=⎩的方向向量{}121022,2,1012i j kS n n =×==−−r r r ur uu r u v ，（2分）设()22,,F x y z z x y =−−，2x F x ′=−，2y F y ′=−，1z F ′=，（1分）切平面的法向量{}2,2,1n x y =−−v，（1分）要使切平面与已知直线垂直，则由S n ⁄⁄u v v ，即221221x y −−==−−，（1分）则1x y ==，2z =，在点()1,1,2处，2x F ′=−，2y F ′=−，1z F ′=，（1分）切平面方程：2(1)2(1)(2)0x y z −−−−+−=，即2220x y z +−−=。

（1分）3、在坐标平面与平面9x y z ++=所围成的四面体内作一长方体，使它的一个顶点与原点三条棱分别落在,,x y z 轴上，且原点所在顶点的对角顶点在平面9x y z ++=上，求当此长方体的三条棱分别为多少时，此长方体的体积最大，最大体积为多少？解：设落在平面9x y z ++=上的长方体顶点为(),,x y z ，则目标函数：Vxyz =，约束条件：9x y z ++=，（2分）设()(),,,9L x y z xyz x y z λλ=+++−，（1分）则有：0090x y z L yz L xz L xy L x y z λλλλ⎧′=+=⎪⎪′=+=⎪⎨′⎪=+=⎪′⎪=++−=⎩，（1分）得：3x y z ===，由实际意义知()3,3,3为最大值点，即长方体的长、宽、高都为3时，体积最大，最大值为27。

五、证明题（7分）设ln 0y z z y −=，证明：0z zz y x y∂∂⋅−⋅=∂∂。

证：设(),,ln y z F x y z z y =−，（1分）1x F z ′=，1y F y ′=，2z x zF z+′=−，（3分）x z F z z x x z F ′∂=−=∂+′，()2y z F z z y y x z F ′∂=−=∂+′，（2分）()20z z z z z y z y x y x z y x z ∂∂⋅−⋅=⋅−⋅=∂∂++。

（1分）。