湖南省长沙市2024届高三上学期统一检测文科数学试题

长沙市2024届高三年级统一模拟考试
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则（）
A. B. C. D.
2.在复平面内表示复数（，为虚数单位）的点位于其次象限，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
3.下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（）
A. B.
C. D.
4.某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于5分钟的概率为（）
A. B. C. D.
5.设，，表示不同直线，，表示不同平面，下列命题：
①若，，则；②若，，则；
③若，，则；④若，，，则.
真命题的个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.若，满意，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
7.已知，是双曲线的上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（）
A. B. C. D.
8.若，，，则的最小值为（）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
9.已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点.若
，则的图象对称中心可以是（）
A. B. C. D.
10.在中，，，，且是的外心，则（）
A. 16
B. 32
C. -16
D. -32
11.已知抛物线的焦点为，点在上，.若直线与交于另一点，则的值是（）
A. 12
B. 10
C. 9
D. 4.5
12.已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设曲线在点处的切线与直线垂直，则__________．
14.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则
__________．
15.在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成角的取值范围是
__________．
16.中，内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则面积的最大值是__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列的首项，，且对随意的，都有，数列满意，
.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）求使成立的最小正整数的值.
18.如图，已知三棱锥的平面绽开图中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求三棱锥的表面积和体积.
19.为了解某校学生参与社区服务的状况，采纳按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参与社区服务的时间的统计数据好下表：
超过1小时不超过1小时
男20 8
女12 m
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）能否有95%的把握认为该校学生一周参与社区服务时间是否超过1小时与性别有关？
（Ⅲ）以样本中学生参与社区服务时间超过1小时的频率作为该事务发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参与社区服务时间超过1小时的人数.
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
20.已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，，且
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点为、，过、分别作轴的垂直、，椭圆的一条切线与、交于、两点，求证：的定值.
21.已知函数， .
（Ⅰ）试探讨的单调性；
（Ⅱ）记的零点为，的微小值点为，当时，求证.
请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.
22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的参数方程为
（为参数），过原点且倾斜角为的直线交于、两点.
（Ⅰ）求和的极坐标方程；
（Ⅱ）当时，求的取值范围.
23.已知函数.
（Ⅰ）当，求的取值范围；
（Ⅱ）若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围.
长沙市2024届高三年级统一模拟考试
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
写出集合N，然后对集合M,N取交集即可得到答案.
【详解】,
则
故选：B.
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简洁题.
2.在复平面内表示复数（，为虚数单位）的点位于其次象限，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算将复数化简为a+bi的形式，然后依据复数对应点位于其次象限，即可得到m范围. 【详解】,
复数对应的点为（），若点位于其次象限，
只需m>0,
故选：C.
【点睛】本题考查复数的有关概念和复数的商的运算，属于基础题.
3.下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可知函数为奇函数，由奇函数和单调性对四个选项逐个进行检验即可得到答案.
【详解】由函数图象关于原点对称知函数为奇函数，
选项B，函数定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，故解除；
选项C，因为f(x)=f（-x）,函数为偶函数，故解除；
选项A，函数为奇函数且f’(x)=cosx-1可知函数在定义域上单调递减，故解除；
选项D，函数为奇函数，由指数函数单调性可知函数在定义域上单调递增，
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的推断方法，属于基础题.
4.某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于5分钟的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由于电台的整点报时之间的间隔60分，等待的时间不多于5分钟，依据几何概型的概率公式可求．
【详解】设电台的整点报时之间某刻的时间x，
由题意可得，0≤x≤60，
等待的时间不多于5分钟的概率为P＝＝，
故选：B．
【点睛】本题考查几何概型，先要推断概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于基础题．
5.设，，表示不同直线，，表示不同平面，下列命题：
①若，，则；②若，，则；
③若，，则；④若，，，则.
真命题的个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
利用线面平行和线线平行的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择．
【详解】对于①,由平行公理4,可知正确；
对于②，若a⊂α，明显结论不成立，故②错误；
对于③，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故③错误；
对于④，a∥β，a⊂α，b⊂β，a与b平行或异面，故④错误；
真命题的个数为1个，
故选：A.
【点睛】本题考查命题真假的推断，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础学问，考查空间想象实力，是中档题．
6.若，满意，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.
【详解】依据约束条件画出可行域如图，即y=2x-z,
由图得当z＝2x﹣y过点O（0，0）时，纵截距最大，z最小为0．
当z＝2x﹣y过点B（1，-1）时，纵截距最小，z最大为3．
故所求z＝2x﹣y的取值范围是
故选：A．
【点睛】本题考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值和范围，求
目标函数范围的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（肯定要留意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最终通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，从而得到范围.
7.已知，是双曲线的上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由双曲线方程得到渐近线方程和以为直径的圆的方程，设点P坐标，依据点P在渐近线上和圆上，得点P坐标，从而可得三角形的面积.
【详解】等轴双曲线的渐近线方程为，
不妨设点在渐近线上，则
以为直径的圆为
又在圆上，
解得，
，
故选：.
【点睛】本题考查双曲线方程和渐近线的简洁应用，考查三角形面积的求法，属于基础题.
8.若，，，则的最小值为（）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式即可干脆得到所求最小值.
【详解】，于是或（舍），
当时取等号，则a+b的最小值为4，
故选.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.
9.已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点.若
，则的图象对称中心可以是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
依据题意可得函数周期，从而得点B,C的坐标，，即是图象的对称中心. 【详解】因为P是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两最低点，
可知|BC的周期，半个周期为3，则得，，
由图像可知（-1,0），都是图象的对称中心，
故选：.
【点睛】本题考查函数的周期性和对称性，属于基础题.
10.在中，，，，且是的外心，则（）
A. 16
B. 32
C. -16
D. -32
【答案】D
【解析】
【分析】
利用数量积公式和投影的定义计算即可得到答案.
【详解】，又是的外心，
由投影的定义可知
则
故选.
【点睛】本题考查向量的数量积的运算，考查投影定义的简洁应用，属于基础题.
11.已知抛物线的焦点为，点在上，.若直线与交于另一点，则的值是（）
A. 12
B. 10
C. 9
D. 4.5
【答案】C
【解析】
【分析】
由点A在抛物线上得点A坐标，又F(2,0)，设直线AF方程并与抛物线方程联立，利用抛物线的定义即可得到弦长.
【详解】法一：因为在上，所以，解得或（舍去），故直线的方程为，由，消去，得，解得，，由抛物线的定义，得
，所以.
故选.
法二：直线过焦点，，又，所以，
故选.
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查利用抛物线定义求过焦点的弦长问题，考查学生计算实力.
12.已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本道题将零点问题转化成交点个数问题，利用数形结合思想，即可。

【详解】有三个零点，有一个零点，故
，有两个零点，代入的解析式，得到，构造新函数
，绘制这两个函数的图像，如图可知
因而介于A,O之间，建立不等关系，解得a的范围为，故选A。

【点睛】本道题考查了函数零点问题，难度加大。

第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设曲线在点处的切线与直线垂直，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
对函数求导，利用导数的几何意义可得曲线在点(1,a)处的切线斜率，依据两条直线垂直斜率乘积为-1即可得a值.
【详解】，所以切线的斜率，
又切线与直线垂直
得，解得.
故答案为：1
【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.
14.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由三角函数定义可得和，然后利用正弦的二倍角公式计算即可得到答案.
【详解】由三角函数定义可得，，
所以.
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数定义和二倍角公式的应用，考查学生计算实力，属于简洁题.
15.在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成角的取值范围是
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由得为异面直线与所成角，求解即可.
【详解】在正方体中，连、，则，所以为异面直线与所成角，点与重合，
最大，且最大为，当点与无限接近时，趋近于零，故异面直线与所成角的取值范围是. 故答案为：
【点睛】本题考查异面直线所成角，求异面直线所成角先要利用三角形中位线定理以及平
行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解.
16.中，内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则面积的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理将已知化简可得角B，再由余弦定理和基本不等式得ac的最大值，即可得到面积的最大值.
【详解】由及正弦定理得，
，即，
又，于是可得，
即，.
在中，由余弦定理得，即，
又因为，，
由此可得，当且仅当时等号成立，
面积，
故面积最大值为.
故答案为：
【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理和三角形面积公式的应用，考查利用基本不等式求最值问题，属于常考题型.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列的首项，，且对随意的，都有，数列满意，
.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）求使成立的最小正整数的值.
【答案】（Ⅰ），;（Ⅱ）10
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由已知的递推关系式可知数列为等差数列，从而可得的通项公式，代入可得的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和法和等比数列的求和公式得到数列的前n项和,通过推断数列的单调性可得满意条件的n的值.
【详解】（Ⅰ）令得，，解得.
又由知，
故数列是首项，公差的等差数列，
于是，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.
于是.
令，易知是关于的单调递增函数，
又，，
故使成立的最小正整数的值是10.
【点睛】本题考查等差，等比数列的通项公式和等差，等比数列的前n项和公式的应用，以及数列单调性的推断，考查学生推理和计算实力.
18.如图，已知三棱锥的平面绽开图中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求三棱锥的表面积和体积.
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）表面积，体积
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意知和为等腰三角形，可取AC中点O，连接PO,OB，可证明平面然后利用面面垂直的判定定理即可得到证明；（Ⅱ）求各个面的面积之和即可到棱锥的表面积，由平面，利用棱锥的体积公式计算即可得到答案.
【详解】解：（Ⅰ）设的中点为，连接，.
由题意，得，，.
因为在中，，为的中点，所以.
因为在中，，，，
，所以.
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（Ⅱ）三棱锥的表面积，
由（Ⅰ）知，平面，所以三棱锥的体积为
.
【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直判定定理的应用，考查棱锥的表面积和体积的计
算，考查学生的空间想象实力和计算实力.
19.为了解某校学生参与社区服务的状况，采纳按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参与社区服务的时间的统计数据好下表：
超过1小时不超过1小时
男20 8
女12 m
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）能否有95%的把握认为该校学生一周参与社区服务时间是否超过1小时与性别有关？
（Ⅲ）以样本中学生参与社区服务时间超过1小时的频率作为该事务发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参与社区服务时间超过1小时的人数.
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）没有95%把握（Ⅲ）4人
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由已知得该校女生人数，利用分层抽样的原则列等式得m值，由列联表中的数据可得n值；（Ⅱ）由列联表计算的值，比照临界值，即可得出结论；（Ⅲ）由列联表中的数据可得学生一周参与社区服务时间超过1小时的概率，从而得到6名学生中一周参与社区服务时间超过1小时的人数.
【详解】解：（Ⅰ）由已知，该校有女生400人，故，得
从而.
（Ⅱ）作出列联表如下：
超过1小时的人数不超过1小时的人数合计
男20 8 28
女12 8 20
合计32 16 48
.
所以没有95%的把握认为该校学生一周参与社区服务时间是否超过1小时与性别有关.
（Ⅲ）依据以上数据，学生一周参与社区服务时间超过1小时的概率，
故估计这6名学生一周参与社区服务时间超过1小时的人数是4人.
【点睛】本题考查概率的计算，考查独立性检验学问的运用，考查学生的计算实力，属于中档题．
20.已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，，且
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点为、，过、分别作轴的垂直、，椭圆的一条切线与、交于、两点，求证：的定值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由和离心率以及进行计算即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）由已知可得点M和点N的坐标，然后将切线l方程与椭圆方程联立，利用0可得，利用的夹角公式进行计算可得到为定值.
【详解】（Ⅰ），，得.
又，，解得，，
故所求椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）由题可知，的方程为，的方程为.
直线与直线、联立得、，
所以，.
所以.
联立得.
因为直线椭圆相切，所以，
化简得.
所以，
所以，
故为定值.
（注：可以先通过计算出此时，再验证一般性）
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆相切问题和椭圆中的定值问题，考查学生推理和计算实力，属于中档题.
21.已知函数， .
（Ⅰ）试探讨的单调性；
（Ⅱ）记的零点为，的微小值点为，当时，求证.
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）对函数f(x)求导，分和a<0进行探讨，可得函数单调性；（Ⅱ）对函数g(x)求导，分析单调性，由零点存在性定理可确定的零点即微小值点，从而得到a与的等量关系，将等量关系代入中，利用函数f(x)的单调性即可得到证明.
【详解】解：（Ⅰ）.
若，则，在上单调递增；
若，则必有一正一负两根，且正根为.
当，，在上单调递增；
当，，在上单调递减.
综上可知，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（Ⅱ），，
所以在单调递增.
又，，
故存在零点，且在区间上单调递减，在区间上单调递增，即为的微小值点，
故.
由知，，
所以，
又，所以.
由（Ⅰ）可知，时，在单调递增，
因此.
【点睛】本题考查利用导数探讨函数的单调性，极值问题，考查导数的综合应用，考查分类探讨思想和推理实力，属于中档题.
请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.
22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的参数方程为
（为参数），过原点且倾斜角为的直线交于、两点.
（Ⅰ）求和的极坐标方程；
（Ⅱ）当时，求的取值范围.
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）结合消去参数，得到极坐标方程，即可。

（2）将直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，得到，用表示
，结合三角函数的性质，计算范围，即可。

【详解】（Ⅰ）由题意可得，直线的极坐标方程为.
曲线的一般方程为，
因为，，，
所以极坐标方程为.
（Ⅱ）设，，且，均为正数，
将代入，
得，
当时，，
所以，
依据极坐标的几何意义，，分别是点，的极径.
从而：.
当时，，
故的取值范围是.
【点睛】本道题考查了极坐标方程的转化以及极坐标方程的性质，难度较大。

23.已知函数.
（Ⅰ）当，求的取值范围；
（Ⅱ）若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）结合a取不同范围，去肯定值，计算a的范围，即可。

（2）结合函数性质,计算的最大值,结合题意,建立关于a的不等式，计算a的范围，即可。

【详解】（Ⅰ），
若，则，得，即时恒成立；
若，则，得，即；
若，则，得，此时不等式无解.
综上所述，的取值范围是.
（Ⅱ）由题意知，要使不等式恒成立，
只需.
当时，，.
因为，
所以当时，.
于是，解得.
结合，所以的取值范围是.
【点睛】本道题考查了肯定值不等式的解法，难度较大。