课件10：1.1.2 四种命题~1.1.3 四种命题间的相互关系

图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题
3个命题中，真命题的个数是 ( )
A．3
B．2 C．1 D．0
【解析】原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它 的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y ＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命 题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3 个命题中真命题只有1个． 【答案】C
3．命题“若x＞1，则x＞0”的逆命题是__________， 逆否命题是________________． 【答案】若x＞0，则x＞1 若x≤0，则x≤1
4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否 命题、逆否命题中，真命题的个数为________． 【解析】逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”； 否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”； 逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”； 全为真命题． 【答案】4
活学活用 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、 否命题、逆否命题，然后判断它们的真假： (1)正数a的平方根不等于0； (2)平行于同一条直线的两条直线平行．
解：(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.是真命 题． 逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．是假命题． 否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.是假命题． 逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．是真命题．
(2)原命题：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直 线平行．是真命题． 逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条 直线．是真命题． 否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直 线不平行．是真命题． 逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于 同一条直线．是真命题.
题型二 四种命题真假的判断
例2 有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；
(3)“若x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；
(4)“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是
( B)
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】(1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性， 其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题； (2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为 假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题； (3)该命题的否命题为“若x＞3，则x2－x－6≤0”，很明显 为假命题； (4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假 命题．
1.1.2 四种命题~ 1.1.3 四种命题间的相互关系
知识点一 四种命题 提出问题 观察下列四个命题： (1)若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形； (2)若一个四边形是矩形，则其两对角线相等； (3)若一个四边形两条对角线不相等，则这个四边形不是 矩形； (4)若一个四边形不是矩形，则其两对角线不相等．
导入新知 1．四种命题的概念 一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论 分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个 命题叫做互逆命题，如果是另一个命题的条件的否定 和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，
如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样 的两个命题叫做 互为逆否命题，把第一个叫做原命题时， 另三个可分别称为原命的 逆命题 、 否命题 、 逆＋f(－b)． 即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题． 法二：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)． ∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．
这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾． 因此假设不成立，故a＋b≥0.
类题通法 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在 直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证 明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真 命题．
活学活用 证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2. 证明：将“若 m2＋n2＝2，则 m＋n≤2”视为原命题， 则它的逆否命题为“若 m＋n＞2，则 m2＋n2≠2”． 由于 m＋n＞2，则 m2＋n2≥12(m＋n)2＞12×22＝2， 所以 m2＋n2≠2.故原命题的逆否命题为真命题， 从而原命题也为真命题．

(2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0； 逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2； 否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0； 逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
类题通法 (1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条 件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结 论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进 行否定即得逆否命题． (2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否 命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．
逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相 等．真命题.
题型三 等价命题的应用 例3 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数， a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞， ＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜ f(－a)＋f(－b)”． 若a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
常考题型 题型一 四种命题的概念 例1 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们 的逆命题、否命题与逆否命题． (1)全等三角形的对应边相等； (2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.
解：(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形 三边对应相等； 逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角 形全等； 否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边 对应不相等； 逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个 三角形不全等．
类题通法 解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题 与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题 也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个 即可．
活学活用 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断 它们的真假． (1)在△ABC中，若BC＞AC，则A＞B； (2)相等的两个角的正弦值相等．
解：(1)逆命题：在△ABC中，若A＞B，则BC＞AC.真命题． 否命题：在△ABC中，若BC≤AC，则A≤B.真命题． 逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则BC≤AC.真命题． (2) 逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等． 假命题． 否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等． 假命题．
问题：命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有 什么关系？ 提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结 论是命题(2)的条件； 对于命题(1)和(3)，其中一个命题的条件和结论分别是 另一个命题的条件的否定和结论的否定； 对于命题(1)和(4)，其中一个命题的条件和结论分别是 另一个命题的结论的否定和条件的否定．
2．四种命题结构
化解疑难 1．用p和q分别表示原命题的条件和结论，用 p和 q 分别表示p，q的否定． 2．四种命题是相对的，一个命题是什么命题不是固定 不变的.
知识点二 四种命题之间的关系 提出问题 问题：我们同样观察知识点一中的四个命题，你能说 出其中任意两个命题之间的相互关系吗？
提示：命题(2)(3)是互为逆否命题，命题(2)(4)是互 否命题，命题(3)(4)是互逆命题．
随堂演练
1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是 ( )
A．若a∉A，则b∉B
B．若a∈A，则b∉B
C．若b∈B，则a∉A
D．若b∉B，则a∉A
【解析】命题“若p，则q”的否命题是“若 p，则 q”， “∈”与“∉”互为否定形式． 【答案】B
2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的
5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c＞0 无解”． (1)写出命题p的否命题； (2)判断命题p的否命题的真假．
解：(1)命题p的否命题为：“若ac＜0，则二次不等式 ax2＋bx＋c＞0有解”． (2)命题p的否命题是真命题． 判断如下：因为ac＜0， 所以－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0 有实根⇒ax2＋bx＋c＞0有解． 所以该命题是真命题．
导入新知 1．四种命题之间的关系
2．四种命题的真假性之间的关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有 相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假 性 没有关系．
化解疑难 互逆命题、互否命题、互为逆否命题反映的是两个命 题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的 任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且 唯一.