山东省烟台市高三数学上学期期末考试试题理

2016-2017学年度第一学期高三期末自主检测
数学(理科)
注意事项：
1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．
2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．设集合U=R ，集合{}
{}
2
2A=log 1,230x x B x x x <=--≤，则()U C A B ⋂=
A ．[]2,3
B ．[]1,2-
C ．[]1,0-
D ．[][]1,02,3-⋃ 2．设0.01
92
,lg 2,sin
5
a b c π
===，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a >b >c B ．a >c >b
C ．b >a >c
D ．c >a >b
3．己知函数()2y f x x =-是偶函数，且()12f =，则()1f -= A ．2 B ．－2 C ．0 D ．1
4．已知l 为一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是 A ．若//,//l ααβ，则//l β
B ．若,l αβα⊥⊥，则l β⊥
C ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥
D ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ 5．已知()12
tan ,tan 25
ααβ=
-=-，那么()tan 2βα-的值为 A ．34- B ．112
- C ．98- D ．98
6．若变量,x y 满足430,
35250,1,
x y x y x -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，实数2z 是2x 和y 的等差中项，则z 的最大值为
A ．3
B ．6
C ．12
D ．15
7．在ABCD 中，已知AB=2，AD=l ，∠BAD=60°，若E ，F 分别是BC ，CD 的中点， 则BF DE uu u r uu u r
g =
A ．2
B ．－2
C ．
5
4
D ．54
-
8．给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数，若()0f x ''=方程有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()f x 的“拐点”
．已知函数()2sin cos f x x x x =+-的拐点是()()00,M x f x ，则直线OM 的斜率为
A ．2
B ．
1
2
C ．1
D ．
4
π 9．过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点F 作该双曲线一条渐近线的垂线交此渐
近线于点M ，若O 为坐标原点，△OFM 的面积是
2
12
a ，则该双曲线的离心率是
A ．2
B C 10.对任意实数a ，b ，定义运算⊕“”：,1
,,1
b a b a b a a b -≥⎧⊕=⎨-<⎩设()()()214f x x x =-⊕+，
若函数()y f x k =-有三个不同零点，则实数k 的取值范围是 A ．(]1,2- B. []0,1 C ．[)1,3-
D ．[)1,1-
二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分． 11．计算：0021
2
log sin15log sin 75-=
12．若抛物线y 2
=8x 的准线被圆心为抛物线的焦点的圆截得的弦长为6，则该圆的标准方程为
13．若函数()()
lg 23f x x x a =-+--的定义域为R ，则实数a 的取值范围是
14．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为 15．已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列，n S 为其前n
项和，
且)n a n N *=
∈．若不等式
1
8n n a n
λ
++≤
对任意n N *
∈恒成立，则实数λ的最大值为
三、解答题：本大题共6个小题，共75分． 16．(本小题满分12分) 已
知
函
数
()(
)()c o s 23c o s ,0
2f
x x x R ππωωω⎛⎫
=-+∈> ⎪⎝⎭
满足()()2,2f
m f
n =-=，且m n -的最小值为
2
π． (1)求ω的值，并求函数()f x 的单调递增区间； (2)将函数()f x 的图象向右平移
3
π
个单位得到函数g (x )的图象，已知a 为△ABC 中角A 的对边，若g (A)=1，a =4，求△ABC 面积的最大值．
17．(本小题满分12分)
如图，四棱锥V-ABCD 的底面是直角梯形，VA ⊥面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，VA=AD=CD=1
2
BC=a ,点E 是棱VA 上不同于A ，V 的点．
(1)求证：无论点E 在VA 如何移动都有AB ⊥CE ；
(2)设二面角A —BE —D 的大小为α，直线VC 与平面ABCD 所成的角为β，试确定点E
的位置使tan tan αβ=
18．(本小题满分12分)
在数列{}{},n n a b 中，()
11111,2,1,1n n n n a b a b b a n N *
++===+=+∈．
(1)求数列{}{},n n n n b a a b -+的通项公式；
(2)设n S 为数列的前n 项的和，求数列()1411n n S ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬
-+-⎪⎪⎩
⎭的前n 项和T n .
19．(本小题满分12分)
随着旅游业的发展，玉石工艺品的展览与销售逐渐成为旅游产业文化的重要一环．某 工艺品厂的日产量最多不超过15件，每日产品废品率p 与日产量x (件)之间近似地满
足关系式()22
,191220,1015
480
x x P x N x x *
⎧≤≤⎪⎪-=∈⎨+⎪≤≤⎪⎩，(日产品废品率=100%⨯日废品量日产量) 已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品亏损1千元．
(1)将该厂日利润y (千元)表示为日产量x (件)的函数；
(2)当该厂的日产量为多少件时，日利润最大?最大日利润是多少?
20．(本小题满分13分)
已知椭圆()22
22C 10x y a b a b
+=>>：
的焦距为F 1，F 2为其左右焦点，M 为椭圆上一
点，且∠F 1MF 2=60
°，12
F MF S =
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点，求证：平行四边形OAPB 的面积为定值．
21．(本小题满分14分) 已知函数f (x )=ln x ． (1)判断函数()()1
g x af x x
=-
的单调性； (2)若对任意的x >0，不等式()x
f x ax e ≤≤恒成立，求实数a 的取值范围； (3)若120x x >>，求证：()()122221212
2f x f x x
x x x x ->-+.
高三数学理科参考答案及评分标准
一、选择题
D A B D B C D A B A 二、填空题
11.2- 12.22(2)25x y -+= 13.1a <-或5a > 14. 44
3
15. 25
三、解答题
16.解：（1）()cos 2cos()3
f x x x x π
ωωω==+ (2)
分
由题意可知，22
T π
=，所以T π=， 故
2,2π
πωω
==， …………………………4分
即()2cos(2)3
f x x π
=+
， 而()f x 在2[2,2],3
x k k k π
πππ+
∈-∈Z 上单调递增，
所以函数()f x 的单调递增区间为2[,],36
k k k ππ
ππ--∈Z . ……………6分
（2）由题意可得，()2cos[2()]2cos(2)333
g x x x π
ππ
=-
+=-，…………………7分 由()1g A =可得，2cos(2)13
A π
-=，而(0,)A π∈,
可得，3
A π
=
， …………………………………………………9分
由余弦定理得：2
2
162cos b c bc A bc +-==，
即2
2
162bc b c bc +=+≥，得16bc ≤，当且仅当b c =时“=”成立，………11分
所以1sin 24
ABC S bc A ∆=
=≤ …………………………………12分
故三角形面积的最大值为
17.解：(1)证明：连接AC ,在直角梯形ABCD 中，,,2AC AB BC a ==，
所以222
BC AC AB =+,所以AB AC ⊥， ……………1分
又因为VA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB AV ⊥, ……………2分 而AV AC A =I ,所以AB ⊥平面VAC ， ………………………………………3分
CE ⊂平面VAC ，
所以AB CE ⊥. ………………………………4分
（2）取BC 中点F ，以点A 为坐标原点，,AF AD AV ，所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，不妨设
(01)AE AV λλ=<<,
可得(,,0),(0,,0),(0,0,)B a a D a E a λ-，
故(,,0),(0,0,)AB a a AE a λ=-=u u u r u u u r
， …………5分
设(,,)x y z =m 为平面ABE 的一个法向量，则
=0,=0AB AE m m u u u r u u u r g g ，可得0
x y z -=⎧⎨
=⎩， 令1x =可得，(1,1,0)=m ， …………………………………………………………6分
又(0,),(,2,0)DE a a DB a a λ=-=-，，设(,,)x y z =n 为平面DBE 的一个法向量，
则020y z x y λ-+=⎧⎨-=⎩
，令1z =，可得(2,,1)λλ=n ，…………………………………7分
故
cos ,||||<>=
m n m n m n g ，即cos α=………………8分
因为AC 为VC 在平面A B C D 内的射影，所以C A V β∠=，在R t V A C ∆中，
t a n
2A V AC β=
==
, ………………………………………………………9分
所以tan tan 2αβ=，所以tan 1α=
，cos 2
α=，…………………………10分
1=2λ或12-， …………………11分
又01λ<<，所以1
2
λ=
，点E 为VA 的中点.……………………………………12分 18.解：（1）因为11n n a b +=+，11n n b a +=+，
所以11()n n n n b a b a ++-=--，
即数列{}n n b a -是首项为1，公比为1-的等比数列，
所以111(1)(1)n n n n b a ---=⋅-=-. (3)
分
11()2n n n n a b a b +++=++，且113a b +=，
所以数列{}n n a b +是首项为3，公差为2的等差数列，
故32(1)21n n a b n n +=+-=+. ………………………………………6分
（2）由1
21(1)
n n n n n a b n b a -+=+⎧⎨
-=-⎩，得1
1[1(1)]2n n b n -=++-，…………………………7分 221
[1(1)]24
n n n n S +=+--， ………………………………………9分
所以
2
11111
()41(1)2(2)42
n n S n n n n ==--+-++ ……………………10分
故1111111111(1)432435112n T n n n n =
-+-+-++-+--++L 3111
(
)8412n n =-+++ 232384812
n n n +=-++ ………………………12分
19.解：（1）由题意可知，当19x ≤≤时，2
1822(1)12x x y x p px x
-=--=-， (2)
分
当1015x ≤≤时，2
152(1)8160
x x y x p px =--=-， ……………………4分 所以该厂日利润2
3
182,191215,10158160
x x x x
y x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-≤≤⎪⎩. …………………………5分
（2）当19x ≤≤时，令22
248216
0(12)
x x y x -+'==-，解得6x =（18x =删）， ……6分
当16x ≤<时，0y '>，函数单调递增， 当69x <≤时，0y '<，函数单调递减，
而6x =时，max 6y =， …………………………………………………………………8分
当1015x ≤≤时，令2
15308160
x y '=-=，解得10x =， (9)
分
当1015x ≤≤时，0y '<，函数单调递减， 所以当10x =时，max 25
2
y =， …………………………11分
由于
2562>，所以当该厂的日产量为10件时，日利润最大，为25
2
千元. ……12分 20.解：（1
）由题意可知，c =
12||,||MF x MF y ==，
在12
F MF ∆
中，22282cos601sin 602
x y a x y xy xy ⎧
⎪+=⎪⎪+-=⎨⎪
⎪=⎪⎩o
o ，…………………………………2分 解得2
4a =，………………………………………………………………………4分 所以2
2
2
2b a c =-=
所以椭圆方程为22
142
x y +=.………………………………………………………5分
（2）联立22142
y kx m
x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，消y 可得222(21)4240k x kmx m +++-=， …………6分
22222=4)4(21)(24)8(42)0km k m k m ∆-+-=+->（，
所以2
2
42m k <+，
设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222424
,2121km m x x x x k k --+==++，…………………8分 212122242()2+22121
k m m
y y k x x m m k k -+=++==++，
而1212(,)OP OA OB x x y y =+=++，所以22
42(,)2121
km m
P k k -++…………………9分
因为点P 在椭圆上，所以22221412(+)=1421221
km m k k -++）（， 整理可得：22
1
2
m k =+，满足0∆>，………………………………………………10分
又12|||AB x x =-=
= (11)
分
设O 到直线AB 的距离为d
，则2d ==
=， (12)
分
所以||OAPB
S AB d =⋅=
=. ……………13分
21. 解：（1）∵()ln f x x =，∴1
()ln g x a x x
=-
， 故2211()a ax g x x x x
+'=+= …………………………………………………………2分
因为0x >，所以当0a ≥时，()0g x '>，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a <时，当1
(0,),()0x g x a
'∈->，函数()g x 单调递增， 当1
(,+),()0x g x a
'∈-
∞<，函数()g x 单调递减； ……………………………4分 （2）∵对任意0x >，不等式对任意的0x >，不等式()e x f x ax ≤≤恒成立，
∴ln e x x a x x ≤≤在0x >上恒成立，进一步转化为max min ln e ()()x x a x x
≤≤， (5)
分
设2ln 1ln (),()x x
h x h x x x
-'=
=，当(0,e)x ∈时，()0h x '>；当(e,+)x ∈∞时，()0h x '<，∴当e x =时，max 1
()e
h x =． (7)
分
设22
e e e e (1(),()x x x x x x t x t x x x x
--'===)
，当(0,1)x ∈时，()0t x '<， 当(1,+)x ∈∞时，()0t x '>，所以1x =时，min ()e t x =，…………………………9分 即
1e e a ≤≤，所以实数a 的取值范围为1
[,e]e
………………………………………10分
11 （3）当120x x >>时，122221212()()2f x f x x x x x x ->-+等价于112
2122
22ln ()1x x x x x x ⋅->+．………11分 令t =12x x 1>，设222()ln 1t u t t t -=-+，则2222
1)(+21)()(1)t t t u t t t --'=+（， ∵当1t ∈+∞（，）
时，2210,+210t t t ->->，∴()0u t '> ………………………13分 ∴()u t 在1+∞（，）
上单调递增，∴()(1)=0u t u >， ∴122221212
()()2f x f x x x x x x ->-+． ………………………………………………………14分。