高考科学复习解决方案(理科数学)——真题与模拟单元重组卷习题 重组一 集合与常用逻辑用语 Word版含答案

重组一 集合与常用逻辑用语
测试时间：120分钟
满分：150分
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．设集合A ＝{x |x 2
－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝
⎛⎭⎪⎫－3，－32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，3
答案 D
解析 由题意得，A ＝{x |1<x <3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x >
3
2
，则A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.选D.
2．已知全集U ＝Z ，A ＝{x |x 2
－5x <0，x ∈Z }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合等于( )
A ．{－1,2} B.{－1,0} C ．{0,1} D.{1,2}
答案 B
解析 x 2
－5x <0的解为0<x <5，所以集合A ＝{1,2,3,4}，(∁U A )∩B 是指不在集合A 中，但在集合B 中的全集中的元素，即－1,0，所以图中的阴影部分表示的集合等于{－1,0}，故选B.
3．命题“∀n ∈N *
，∃x ∈R ，使得n 2
<x ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *
，∃x ∈R ，使得n 2
≥x B ．∀n ∈N *
，∀x ∈R ，使得n 2
≥x C ．∃n ∈N *
，∃x ∈R ，使得n 2
≥x D ．∃n ∈N *
，∀x ∈R ，使得n 2
≥x 答案 D
解析 命题的否定是条件不变，结论否定，同时存在量词与全称量词要互换，因此命题“∀n ∈N *
，∃x ∈R ，使得n 2
<x ”的否定是“∃n ∈N *
，∀x ∈R ，使得n 2
≥x ”．故选D.
4．已知A ＝⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫
x x ＋1x －1≤0，B ＝{－1，0,1}，则card(A ∩B )＝( ) A ．0 B.1 C ．2 D.3
答案 C
解析 由A ＝{x |－1≤x <1}可得A ∩B ＝{－1,0}，所以A ∩B 的元素个数为2. 5．集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{x |x 2
－5x <0}，若A ∩B ＝B ，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥5 B.a ≥4 C ．a ＜5 D.a ＜4
答案 A
解析 B ＝{x |x 2
－5x <0}＝{x |0<x <5}，A ∩B ＝B 说明B 是A 的子集，故a ≥5. 6．设非空集合P ，Q 满足P ∩Q ＝P ，则( ) A ．∀x ∈Q ，有x ∈P B ．∀x ∉Q ，有x ∉P C ．∃x 0∉Q ，使得x 0∈P D ．∃x 0∈P ，使得x 0∉Q 答案 B
解析 因为P ∩Q ＝P ，所以P ⊆Q ，所以∀x ∉Q ，有x ∉P ，故选B.
7．“a >－2”是“函数f (x )＝|x －a |在(－∞，1]上单调递减”的( ) A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为“函数f (x )＝|x －a |在(－∞，1]上单调递减”⇒a ≥1，所以“a >－2”是“函数f (x )＝|x －a |在(－∞，1]上单调递减”的必要不充分条件，故选B.
8．已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，x >sin x ，则下列判断
正确的是( )
A ．p 为真 B.綈p 为真 C ．p ∧q 为真 D.p ∨q 为假
答案 B
解析 由三角函数y ＝sin x 的有界性，－1≤sin x 0≤1，所以p 假；对于q ，构造函数y
＝x －sin x ，求导得y ′＝1－cos x ，又x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，所以y ′>0，
y 为单调递增函数，有y >y |x
＝0
＝0恒成立，即∀x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，x >sin x ，所以q 真．判断可知，B 正确．
9．设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2
≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
y ≥x －1，y ≥1－x ，
y ≤1，
则p
是q 的( )
A ．必要不充分条件 B.充分不必要条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 作出(x －1)2＋(y －1)2
≤2表示区域D ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
y ≥x －1，y ≥1－x ，
y ≤1
表示的区域E ，如图所示，因为E ⊆D ，所以p 是q 的必要不充分条件，选A. 10．下列说法正确的是( )
A ．命题“∀x ∈R ，e x >0”的否定是“∃x ∈R ，e x
>0”
B ．命题“已知x ，y ∈R ，若x ＋y ≠3，则x ≠2或y ≠1”是真命题
C ．“x 2
＋2x ≥ax 在x ∈上恒成立”⇔“(x 2
＋2x )min ≥(ax )min 在x ∈上恒成立” D ．命题“若a ＝－1，则函数f (x )＝ax 2
＋2x －1只有一个零点”的逆命题为真命题 答案 B
解析 A 项，应为“∃x ∈R ，e x
≤0”，故A 错误；B 项，其逆否命题是“若x ＝2且y ＝1，则x ＋y ＝3”，为真命题，故原命题为真命题，故B 正确；C 项，应为“(x 2
＋2x －ax )min ≥0在上恒成立”，故C 错误；D 项，函数f (x )＝ax 2
＋2x －1只有一个零点等价于a ＝0或
⎩⎪⎨⎪⎧
a ≠0，
Δ＝4＋4a ＝0
⇒a ＝－1，故D 错误，选B.
11．已知命题p ：“∃x ∈R ，使得e x
≤2x ＋a ”为假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2－2ln 2) B.(－∞，2－2ln 2]
C ．(2－2ln 2，＋∞)
D.某网店统计了连续三天售出商品的种
类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都
售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．设该网店第一天售出但第二天未售出的商品有m 种，这三天售出的商品最少有n 种，则m ，n 分别为( )
A ．18,30 B.16,28 C ．17,29 D.16,29
答案 D 解析
设第一天售出的商品为集合A ，则A 中有19个元素，第二天售出的商品为集合B ，则B 中有13个元素，第三天售出的商品为集合C ，则C 中有18个元素．由于前两天都售出的商品有3种，则A ∩B 中有3个元素，后两天都售出的商品有4种，则B ∩C 中有4个元素，所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝16种．这三天售出的商品种数最少时，第一天和第三天售出的种类重合最多，由于前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，故第一天和第三天都售出的商品可以有17种，即A ∩C 中有17个元素，如图，即这三天售出的商品最少有2＋14＋3＋1＋9＝29种．
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．命题“实数的平方都是正数”的否定是________________________． 答案 至少有一个实数的平方不是正数
解析 全称命题的否定一定是特称命题．“实数的平方都是正数”是全称命题，只是省略了“所有”两字．
14．已知命题p ：x 2
－5x ＋4≤0；命题q ：13－x <1，若(綈q )∧p 是真命题，则x 取值范
围是________．
答案
解析 若p 真，则1≤x ≤4；若q 真，则x <2或x >3.
∵(綈q )∧p 为真，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
1≤x ≤4，
2≤x ≤3
∴2≤x ≤3.
15．设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，n ∈N *
，若X ⊆S n 把X 的所有元素的乘积称为X 的容量
(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．若n ＝4，则S n 的所有奇子集的容量之和为________．
答案 7
解析 若n ＝4，则S n 的所有奇子集为{1}，{3}，{1,3}，故所有奇子集的容量之和为7.
16．已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2
}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，且M ∩N ＝∅，则b 的取值范围是________．
答案 (－∞，－3)∪(32，＋∞)
解析 如图，y ＝9－x 2
的图象是半圆，当直线y ＝x ＋b 与半圆无公共点时，截距b ＞32或b ＜－3，故b 的取值范围是(－∞，－3)∪(32，＋∞)．
三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}． (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围． 解 (1)要使A ∩B ＝∅，
则需满足下列不等式组⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＋3≤5，
a ≥－1，(3分)
解此不等式组得－1≤a ≤2， 即a 的取值范围是．(5分)
(2)要使A ∪B ＝B ，即A 是B 的子集，(6分) 则需满足a ＋3＜－1或a ＞5，(8分) 解得a ＞5或a ＜－4，
即a 的取值范围是{a |a ＞5或a ＜－4}．(10分) 18．(本小题满分12分)已知p ：
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －432≤4，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若綈p 是綈q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．
解 綈p ：⎝
⎛⎭
⎪⎫x －432＞4，x ＜－2或x ＞10，设A ＝{x |x ＜－2或x ＞10}，(3分)
綈q ：x 2
－2x ＋1－m 2
＞0，x ＜1－m 或x ＞1＋m ，设B ＝{x |x ＜1－m 或x ＞1＋m }．(6分) 因为綈p 是綈q 的必要非充分条件，所以B ⊆A 且B ≠A ， (8分)
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－m ≤－2，1＋m ≥10(等号不同时成立)，(11分)
∴m ≥9.(12分)
19．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2
－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2
－2mx ＋m 2
－9≤0}，m ∈R .
(1)若m ＝3，求A ∩B ；
(2)已知命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数m 的取值范围． 解 (1)由题意知，A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3}．(4分) 当m ＝3时，B ＝{x |0≤x ≤6}，∴A ∩B ＝．(5分) (2)由q 是p 的必要条件知，A ⊆B ，(7分)
结合(1)知⎩
⎪⎨
⎪⎧
m －3≤－1，m ＋3≥3，解得0≤m ≤2，(10分)
故实数m 的取值范围是．(12分)
20．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |ax 2
＋x ＋1＝0，x ∈R }，且A ∩{x |x ≥0}＝∅，求实数a 的取值范围．
解 当a ＝0时，
A ＝{x |x ＋1＝0，x ∈R }＝{－1}，
此时A ∩{x |x ≥0}＝∅；(3分) 当a ≠0时， ∵A ∩{x |x ≥0}＝∅，
∴A ＝∅或关于x 的方程ax 2
＋x ＋1＝0的根均为负数．(4分) ①当A ＝∅时，关于x 的方程ax 2
＋x ＋1＝0无实数根， ∴Δ＝1－4a ＜0，解得a ＞1
4
.(7分)
②当关于x 的方程ax 2
＋x ＋1＝0的根x 1，x 2均为负数时，
有⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝1－4a ≥0，
x 1
＋x 2
＝－1a ＜0，
x 1x 2
＝1a ＞0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤14
，
a ＞0，
即0＜a ≤1
4
.(10分)
综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ≥0}．(12分)
21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |(x －1)(x －2a －3)＜0，a ∈R }，函数y ＝
lg
x －a 2＋2a －x
(a ∈R )的定义域为集合B .
(1)若a ＝1，求A ∩(∁R B )；
(2)若a ＞－1且“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
解 (1)若a ＝1，则集合A ＝{x |(x －1)(x －5)＜0}＝(1,5)，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪
⎪
x －3
2－x ＞0＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x －3
x －2＜0＝(2,3)，(3分) 所以∁R B ＝(－∞，2]∪∪(本小题满分12分)已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x
为减函数；命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，f (x )＝x ＋1x ＞1c 恒成立．如果p ∨q 为真，p ∧q 为假，求c 的取值
范围．
解 由p 得0＜c ＜1.(2分) 由q 得1c ＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋1x min ＝2，又c ＞0，
∴c ＞1
2
，(4分)
因为p ∨q 为真，p ∧q 为假， 所以p 和q 一真一假．(6分) 即⎩⎪⎨⎪⎧
0＜c ＜1，c ≤1
2
或⎩⎪⎨⎪
⎧
c ≥1，c ＞1
2
，(10分)
解得0＜c ≤1
2
或c ≥1.
∴c 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12∪[1，＋∞)．(12分)。