2021届河北省张家口市、沧州市高三下学期二模数学试题(解析版)

2021届河北省张家口市、沧州市高三下学期二模数学试题
一、单选题
1．已知集合{}
23A x R x =∈-<，{||13}B x Z x =∈-<，则A B =（ ）
A ．{1,0,1,2,3}-
B ．{1,0,1,2}-
C ．{0,1,2,3}
D ．{1,0,1}-
【答案】B
【分析】根据绝对值不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为|1|324x x -<⇒-<<，所以{1,0,1,2,3}B =-，{1,0,1,2}A B =-， 故选：B.
2．设a R ∈且0a ≠，若复数3(1)ai +是实数，则2a =（ ） A ．9 B ．6 C ．3 D ．2
【答案】C
【分析】对给定式子进行运算，利用复数为0的充要条件求解即得. 【详解】因为(
)2
3
3
2
3
(1)133()()133ai ai ai ai a a a i +=+++=-+-，
所以330a a -=，又0a ≠，所以23a =. 故选：C
3．若,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，2sin cos 5
αα+=tan α=（ ） A ．2- B ．2
C ．
2
11
D ．211
-
【答案】A
【分析】对等式进行平方运算，用同角三角函数关系式中平方和关系进行代换，最后利用同角三角函数关系式中的商关系进行求解即可. 【详解】
222
2
2
22
4sin cos 4sin cos (2sin cos )4sin cos 4sin cos sin cos αααα
αααααααα
+++=++==+
22
4tan 14tan 9
tan 15
ααα++=+，所以211tan 20tan 40αα+-=，解得tan 2α或
2tan 11α=
，又,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以tan 2α.
故选：A
4．双曲线2221(0)3y x a a
-=>的一个焦点到渐近线的距离为（ ）
A
．
a
B
C
D ．2
【答案】C
【分析】根据点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】
设双曲线的一条渐近线方程为y =， 右焦点坐标为(,0)c ，又223a c +=，
则焦点到渐近线的距离为d =
=
=
故选：C.
5．设平面向量(1,0)a =，若2a b ⋅=，1
cos ,3
a b 〈〉=，则||b =（ ） A ．2 B ．3 C ．9
D ．6
【答案】D
【分析】根据平面向量夹角公式，结合平面向量模的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】121
cos ,||633
||||1||a b a b b a b b ⋅〈〉==⇒=⇒=⋅⋅.
故选：D
6．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.我国在2020年进行了第七次人口普查登记，到2021年4月以后才能公布结果.人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯(T .R .Malthus ，1766—1834)提出的模型：0rt
y y e =⋅，其中t 表示经过的时间，0y 表示0t =时的人口数，r 表示人口的年平均增长率.以国家统计局发布的2000年第五次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口12.43亿人(不包括香港､澳门和台湾地区)和2010年第六次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口13.33亿人(不包括香港､澳门和台湾地区)为依据，用马尔萨斯人口增
长模型估计我国2020年末(不包括香港､澳门和台湾地区)的全国总人口数约为（ ）(213. 33177.6889=，212.43154.5049=) A ．14.30亿 B ．15.20亿 C ．14.62亿 D ．15.72亿
【答案】A
【分析】利用给定公式计算出10r e ，然后以2010年底的人口数为基数求t =10时的值即为所求.
【详解】由马尔萨斯模型，得1013.3312.43r e =，即1013.33
12.43
r
e =
， 所以我国2020年末的全国总人口数21013.33177.688913.3314.3012.4312.43
r
y e ===≈(亿). 故选：A.
7．在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC .所有棱长都为1，E ，F 分别为棱BC 和11AC 的中点，若经过点A ，E ，F 的平面将三棱柱111ABC A B C -分割成两部分，则这两部分体积的比值为（ ） A ．
5
24
B ．
917
C ．
724
D ．
717
【答案】D
【分析】如图，平面AEF 与11B C 交于点G ，根据题意可以判断1GC F ECA -为三棱台，根据棱柱的体积公式和棱台体积公式进行求解即可. 【详解】解析：如图，平面AEF 与11B C 交于点G ，且1111
4
C G C B =，故1GC F ECA -为三棱台，
因为133
112ABC
S
=⨯⨯=
133
2AEC
S ==
1
133
4832
FGC S
=⨯=
， 所以棱台1GC F ECA -的体积：
(
)
1111113
3
GC F
GC F ECA
ECA
V S S
S
S
CC =
+⋅+⋅
=⨯=，
三棱柱111
ABC A B C -的体积14
ABC V S CC =⋅=11717V V V ==-， 故选：D.
【点睛】关键点睛：根据已知判断1GC F ECA -为三棱台是解题的关键. 8．对于任意[0,1]x ∈，总存在三个不同的实数[1,3]y ∈-，使得2102
y x
x x
y e ae -+--
=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2
47,2e e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
B ．2
97,2e e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
C ．279,2e e ⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．2
38,e e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
【答案】B
【分析】对等式进行变形，根据等式特征构造两个分别,x y 关于函数，根据所给区间，利用导数求出每个函数的单调性及取值范围， 【详解】由2102y x
x x y e
ae -+--
=，得212y x x y e a e -=+，设()2x x f x a e
=+，21()e y g y y -=.
因为1'()2e
x x
f x -=
，故当
[0,1]x ∈时，'()0f x ， 所以函数()f x 在[0,1]x ∈上单调递增，所以1(),2f x a a e ⎡⎤∈+
⎢⎥⎣⎦
. 因为1'()(2)y g y e y y -=-，故当(1,0)y ∈-时，'()0g y <，当(0,2)y ∈时，'()0g y >， 当(2,3)y ∈时，'()0g y <，所以函数()g y 在(1,0)y ∈-上单调递减，在(0,2)y ∈上单调递增，
在(2,3)y ∈上单调递减，且2
249
(1)(2)(3)g e g g e e
-=>=
>=， 函数21()e y y z g y -==在[1,3]y ∈-上的图象如下图所示：
要总存在三个不同的实数[1,3]y ∈-，使得212y
x
x y e a e -=+
， 只要2
9a
e 且142a e e +<，所以
29
7
2a e e
<
. 故选：B.
【点睛】方法点睛：关于方程有根的问题一般采用构造函数，利用导数判断出在指定区间的单调性和值域，结合数形结合思想进行求解.
二、多选题
9．已知直线:0l kx y +=与圆22:2210M x y x y +--+=，则下列说法中正确的是（ ）
A ．直线l 与圆M 一定相交
B ．若0k =，则直线l 与圆M 相切
C ．当1k =-时，直线l 与圆M 的相交弦最长
D ．圆心M 到直线l 2【答案】BCD
【分析】A.由直线l 过原点，再判断原点与圆的位置关系即可； B.利用圆心到直线的距离和半径的关系判断；C.由直线l 的方程为y x =，判断是否过圆M 的圆心即可；D.建立圆心到直线距高公式模型求解判断
【详解】22:2210M x y x y +--+=，即()()2
2
111x y -+-=，是以()1,1为圆心，
以1为半径的圆，
A.因为直线:0l kx y +=，直线l 过原点，220022010+-⨯-⨯+>，原点在圆外，所以直线l 与圆M 不一定相交，故错误；
B.若0k =，则直线:0l y =，直线l 与圆M 相切，故正确；
C.当1k =-时，直线l 的方程为y x =，过圆M 的圆心，故正确；
D.由点到直线距高公式，知222
122
12
111k k d k k k k
++===+
+++
(当1k =时，
等号成立).故正确， 故选：BCD.
10．2014年7月18日，教育部公布了修订的《国家学生体质健康标准》.学生体测成绩达到或超过良好，才有资格参与评优与评奖，中学男生100米体能测试的良好成绩小于14.15秒､某中学为了解高一男生的体能情况，通过随机抽样，获得了100名男生的100米体能测试的成绩(单位：秒)，将数据按照[11.5，12)，[12，12.5)，…，[15.5，16]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
由直方图推断，下列选项正确的是（ ） A ．直方图中a 的值为0.4
B ．由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒
C ．由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩的中位数为13.7秒
D ．由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩良好率超过了80% 【答案】AB
【分析】A ：根据各组频率之和为1，进行求解判断即可； B ：根据直方图的众数是频率最高组的中点进行判断即可； C ：根据直方图的中位数是频率相等的分点进行判断即可：
D ：根据直方图求出成绩小于14.15秒的人数所占百分比进行判断即可. 【详解】A ：由概率统计相关知识，可知各组频率之和为1. 频率=(频率/组距)×组距，
0.5(0.080.160.300.520.300.120.080.04)1a ∴++++++++=，解得0.4a =，故
A 正确；
B ：直方图的众数是频率最高组的中点，即
13.514
13.752
+=，故B 正确； C ：直方图的中位数是频率相等的分点，设为x ，
则0.5(0.080.160.300.4)0.52(13.5)0.5x ⨯++++-=， 解得13.5613.7x ≈<，故C 错误；
D ：由图可知.成绩小于14.15秒的人数所占百分比为：
[0.5(0.080.160.300.40.52)0.30.15]100%77.5%80%⨯+++++⨯⨯=<，
故D 错误. 故选：AB
11．已知236a b ==，则下列选项一定正确的是（ ） A ．4ab >
B ．22(1)(1)2a b -+-<
C ．22log log 2a b +>
D ．4a b +>
【答案】ACD
【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合基本不等式进行判断即可. 【详解】由236a b ==，得2log 62a =>，361log 61log 2b a =>⇒=，61
log 3b
=， 所以
6611log 2log 31a b +=+=，1111
124ab a b a b
=+⋅⇒，又a b ，所以
4ab >，故A 正确；
因为1111111111111a b b a b a a a a
+=⇒===+⇒-=----，
所以2
2221(1)(1)(1)21a b a a ⎛⎫-+-=-+> ⎪-⎝⎭
，故B 错误； 因为222log log log a b ab +=，又4ab >，所以222log log log 2a b ab +=>，故C 正确；
因为11()114b a a b a b a b a b ⎛⎫
+=++=+++ ⎪⎝⎭
，又a b ，所以4a b +>，D 正确，
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：根据指数式与对数式互化公式、对数的运算性质得到11
1a b
+=是解题的关键.
12．同余关系是数论中的重要概念，在我国南北朝时期的著作《孙子算经》中就对同余除法有了较深的研究.设a ，b ，m 为正整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为(mod )a b m ≡.则下列选项中正确的是（ ） A ．若||,*-=∈N a b km k ，则(mod )a b m ≡ B ．18256(mod3)≡
C ．若(1)(mod ),(2)(mod )≡+≡+a m m b m m ，则(3)(mod )≡+ab m m
D ．若(mod )a b m ≡，则(mod ),*≡∈N n n a b m n 【答案】AD
【分析】A ：根据绝对值的性质，结合已知的定义进行判断即可； B ：运用二项式定理进行判断即可； C ：根据已知通过数学运算计算判断即可； D ：根据已知结合二项式定理进行判断即可．
【详解】解析：若||a b km -=，则a km b =+或b km a =+，故(mod )a b m ≡，故A 正确；
因为18
9
9
99
88
77
11999924(31)33331==+=+++++C C C C ，所以182被3除得的余
数为1，56被除得的余数为2，故B 错误；
由(1)(mod )≡+a m m 得1a km =+，由(2)(mod )≡+b m m 得2b tm =+，
2(1)(2)(2)2ab km tm ktm k t m =++=+++，ab 被m 除得的余数为2，而3m +被m
除得的余数为3，故C 错误；
若(mod )a b m ≡，则,=+=+a km r b tm r ，
112
221
11()()()()()n n n n n n n n n n n a km r km C km r C km r C km r r ----=+=+++
++，
112
221
11()()()()()----=+=+++++n n n n n n n n n n n b tm r tm C tm r C tm r C tm r r ，
所以(mod )≡n n a b m ，故D 正确， 故选：AD
【点睛】关键点睛：读懂同余关系的定义，并转化为数学式子是解题的关键．
三、填空题
13．已知随机变量()
2
~ 1.5,0.4X N ，若()1.750.6P X ≤=，则
()1.25 1.75P X ≤≤=___________.
【答案】0.2
【分析】利用正态分布的对称性列式计算求解而得. 【详解】由(
)2
~ 1.5,0.4
X N ，得 1.5μ=，1.75 1.5 1.5 1.25-=-，
所以()()()1.25 1.75121 1.751210.60.2P X P X ⎡⎤≤≤=--≤=--=⎣⎦. 故答案为：0.2
14．已如点(4,0)D ，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点F 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若1AD BD →
→
，则k 2的取值范围是___________. 【答案】(0，4]
【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1x my =+，联立直线和抛物线方程得到韦达定理，代入1AD BD →
→化简即得解.
【详解】由题意，知(1,0)F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1x my =+，
由21,4,
x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=， 所以124y y m +=，124y y =-. 由1AD BD →
→
，得
()()()()()()21212121212124433139
1
x x y y my my y y m y y m y y --+=--+=+-++
又124y y m +=，124y y =-，所以21651m -+，所以21
4
m . 又1
m k =
，所以2114k
，故2
04k <. 故答案为：(0，4]
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值范围问题常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
15．某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示，是
由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为1，高为2，半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的周柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模其体积的最小值为___________.
【答案】
2627
π
【分析】设中空圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为2(02)h h +<<，把圆柱的体积用含有h 的代数式表示，利用导数求其最大值，即可求得模具体积的最小值． 【详解】设中空圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为2(02)h h +<<， 则2
2()12h r +=，22
14
h r =-，
∴中空圆柱的体积2
2
(2)(1)(2)4h V r h h ππ=+=-+．
23(1)4V h h π'=-+-，可得当2(0,)3h ∈时，0V '>，当2
(3
h ∈，2)时，0V '<，
则当23
h =
时，V 取得最大值为64
27π，
又毛坯的体积为23
4101213
3
πππ⨯⨯+⨯=，
∴该模具体积的最小值为
10642632727
ππ
π-=． 故答案为：
2627
π
．
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用单变量来表示体积，然后利用导数法求出最值.
四、双空题
16．当x α=时，函数()2sin cos f x x x =+取得最大值为___________，且
tan α=___________.
2
【分析】根据辅助角公式，正弦型函数的性质，结合同角的三角函数关系式、诱导公式进行求解即可.
【详解】
解析：()2sin cos )f x x x x x x ϕ⎫
=+=+=+⎪⎭
，
1tan 2
ϕ=
， 当2()2
x k k Z π
ϕπ+=+∈，即2()2
x k k Z π
πϕ=
+-∈时，()f x 的函数值最大，
故2()2
k k Z π
απϕ=
+-∈，
sin cos 12tan tan 2tan 222sin tan cos 2k πϕππϕαπϕϕπϕϕϕ⎛⎫
- ⎪
⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+-=-==== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭
.
2
五、解答题
17．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，123n n a a +-=. （1）证明数列{}3n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项.
（2）是否存在整数k ，使得2021k S >？若存在，求出k 的最小值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析，1
2
3n n a +=-；（2）存在，k 最小为10.
【分析】（1）根据问题对递推公式进行变形，结合等比数列的定义进行求解即可； （2）根据等比数列的前n 项和公式，结合做差比较法判断出数列{}n S 的单调性进行求解即可.
【详解】（1）由123n n a a +-=，得()11323,34,30n n n a a a a ++=++=∴+≠，
所以
13
23
n n a a ++=+.，故数列{}3n a +是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以1
13422n n n a -++=⋅=，
所以1
2
3n n a +=-.
（2）由（1），得()2412323412
n n n
S n n +-=-=---，
又当2n 时，1
1230n n n n S S a +--==->，n *∈N ，
1192394204827420172021S =-⨯-=--=<， 121023104409630440622021S =-⨯-=--=>，
故当k 最小为10时，2021k S >.
【点睛】关键点睛：利用做差比较法判断数列{}n S 的单调性是解题的关键.
18．已知在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin c b A a B =-. （1）求B ；
（2
）若b =
a =，求ABC 的面积.
【答案】（1）34
B π
=
；（2）2. 【分析】(1)利用正弦定理边化角，再用三角函数诱导公式及和角化简求解而得； (2)利用余弦定理求出边c ，再用三角形面积定理求解即得.
【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理，得sin sin cos sin sin C B A A B =-， 又()C A B π=-+，所以sin()sin cos sin sin A B B A A B +=-， 即sin cos cos sin sin cos sin sin A B A B B A A B +=-， 即cos sin tan 1B B B =-⇒=-，又()0,πB ∈，所以34
B π
=； （2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-
，得
2
2
2
2
2025c c c ⎛=+-⨯= ⎝⎭
， 解得2c =，
所以211sin 2222
ABC S ac B =
=⨯=△. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.
19．某中学的学习兴趣小组随机调查了该校110名学生的到校形式，整理后得到如下的
22⨯列联表：
（1）根据列联表的数据判断，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为到校形式与性别有关系？
（2）若以上述样本的频率作为概率，在该校中随机抽取6人，用X 表示6人中“独自到校”的人数，求X 的数学期望和方差. 附表：
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ 【答案】（1）错误的概率不超过0.01的前提下认为到校形式与性别有关系；（2）
36()11E X =
，180
()121
D X =
. 【分析】（1）根据题中所给的公式以及附表进行计算求解判断即可； （2）根据二项分布的定义、数学期望和方差公式进行求解即可.
【详解】解：（1）假设性别与到校形式无关，根据列联表中的数据，得到
2110(20203040)352
7.822 6.6355060506045
k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，
因此，错误的概率不超过0.01的前提下认为到校形式与性别有关系. （2）X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，6.
若以样本的频率视为概率，则在该校中随机抽取1人为“独自到校”的概率为6
11
， 在该校中随机抽取6人，可视为6次独立重复试验， 所以6~6,
11X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 故636
()61111
E X =⨯
=，66180()611111121D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.
20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA PD AD ==，
60DAB ∠=︒.
（1）证明：AD PB ⊥；
（2）若异面直线PB 与CD 所成角的余弦值为
6
，求二面角A PB C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）10
5
-
. 【分析】（1）设AD 的中点为O ，利用等边三角形的性质、菱形的性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）根据异面直线所成角的定义，结合（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）证明：如图，设AD 的中点为O ，连接OP ，OB ，BD .
由PA PD AD ==，AB AD =，60DAB ∠=︒，可知ABD △，PAD △为等边三角形， 又点O 为AD 的中点，所以PO AD ⊥，BO AD ⊥. 又PO
BO O =，故AD ⊥平面POB .
又PB ⊂平面POB ， 所以AD PB ⊥.
（2）解：不妨设2PA PD AD ===，则3OP BO =. 由AB CD ∥，得6
cos PBA ∠=
，又2AP AB ==，
22222cos 446
PA PB AB PB AB PBA PB PB =+-⋅⋅∠⇒=+-，
解得6PB =
，
在POB 中，222OP OB PB +=，所以PO OB ⊥.
由（1）可知PO AD ⊥，BO AD ⊥，故PO ，OB ，AD 两两垂直.
以O 为坐标原点，分別以OA ，OB ，OP 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .
则(1,0,0)A ，3,0)B ，3)P ，(3,0)C -. 设()111,,n x y z =为平面APB 的法向量，
则0,0,n AP n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111130,
30,
x z x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩可取(3,1,1)n =. 设()222,,m x y z =为平面PBC 的法向量，
则0,0,m BP m BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即222330,20,z x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩
可取(0,1,1)m =--.
10
cos ,||||31111
n m n m n m ⋅∴〈〉=
==⋅++⨯+. 由题意，可知二面角A PB C --的平面角为钝角，
∴二面角A PB C --的余弦值为10.
21．已知函数2()2x f x e ax =--.
（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若()0x f x e -+≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）
2
22e e
+-；（2）(,1]-∞. 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，最后根据切线与横轴、纵轴的交点坐标进行求解即可；
（2）构造函数2()2x x g x e e ax -=+--，判断其奇偶性，问题转化为：当0x ≥时，
()0g x ≥恒成立，经过三次求导，根据导数的性质进行求解即可.
【详解】解：（1）因为2()2x f x e ex =--，所以)'(2x f x e ex =-，故'(1)k f e ==-. 又(1)2f =-，所以切点坐标为(1,2)-，
故函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为2(1)y e x +=--，即2y ex e =-+-， 所以切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2)e -，2,0e e -⎛⎫
⎪⎝⎭
， 故所求三角形面积为2
212(2)
442(2)22222e e e e e e e e e e ---+⎛⎫⨯-⨯=
==+- ⎪⎝⎭
. （2）由()0x f x e -+≥，得220x x e e ax -+--≥恒成立，
令2()2x x g x e e ax -=+--，则()()g x g x -=，所以()g x 为偶函数. 故只要求当0x ≥时，()0g x ≥恒成立即可.
'()2x x g x e e ax -=--，
设()2(0)x x h x e e ax x -=--≥，故 '()2(0)x x h x e e a x -=+-≥， 设()2(0)x x H x e e a x -=+-≥，则'()(0)x x H x e e x -=-≥， 显然'()H x 为(0,)+∞的増函数，故'()'(0)0H x H ≥=， 即()H x 在(0,)+∞上单调递增，(0)22H a =-.
当1a ≤时，(0)220H a =-≥，则有()h x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h ≥=， 则()g x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0g x g ≥=，符合题意； 当1a >时，(0)220H a =-<，又1
(ln 2)02H a a
=
>，故存在0(0,ln 2)x a ∈，使得()00H x =，
故()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.
当()00,x x ∈时，()(0)0h x h <=，故()g x 在()00,x 上单调递减， 故()(0)0g x g <=，与()0g x ≥矛盾. 综上，实数a 的取值范围为(,1]-∞.
【点睛】关键点睛：解题的关键第一是构造函数，利用函数的奇偶性进行转化问题求解；第二是三次求导，利用导数的性质进行求解.
22．已知(2,0)M -，(2,0)N ，动点P 满足：直线PM 与直线PN 的斜率之积为常数1
4
-
，设动点P 的轨迹为曲线1C .抛物线22:2(0)C x py p =>与1C 在第一象限的交点为A ，过点A 作直线l 交曲线1C 于点B .交抛物线2C 于点E (点B ，E 不同于点A ). （1）求曲线1C 的方程.
（2）是否存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点？若存在，求出p 的最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）221(2)4
x y x +=≠±；
（2）存在，p 【分析】（1）利用斜率公式进行求解即可；
（2）根据直线l 与椭圆的方程联立、直线l 与抛物线方程联立、抛物线方程与椭圆方程联立，结合一元二次方程根与系数、中点坐标公式、基本不等式进行求解判断即可. 【详解】解：（1）设动点()(),2P x y x ≠±，则2PM y k x =
+，2
PN y
k x =
-. 1
4PM PN k k =-，1224
y y x x ∴⋅=-+-，
即221
44
y x =--， 即221(2)4
x y x +=≠±，
∴曲线C 1的方程为2
21(2)4
x y x +=≠±.
（2）设()1111,(0,0)A x y x y >>，()22,B x y ，()00,E x y ，显然直线l 存在斜率， 设:(0,0)l y kx m k m =+≠≠，
()
22
222
44,
148440
,
x y
k x kmx m
y kx m
⎧+=
⇒+++-=
⎨
=+
⎩
，
122
8
14
km
x x
k
-
∴+=
+
，
02
4
14
km
x
k
-
=
+
.
又
2
22
2,
2()220
,
x py
x p kx m x pkx pm
y kx m
⎧=
⇒=+⇒--=
⎨
=+
⎩
，
10
2
x x pm
∴=-，
2
11
2
414
2
142
km k
x pm x p
k k
⎛⎫
-+
∴=-⇒= ⎪
+⎝⎭
，因此有0
k>，
2
4
2
2
2
2
1,
4
4
2,
x
x
y
x
p
x py
⎧
+=
⎪
⇒+=
⎨
⎪=
⎩
，
4
2
4
2
2
2
2
14
2
14
4
2
k
p
k
k
p
k p
⎛⎫
+
⎪
⎛⎫
+⎝⎭
∴+=
⎪
⎝⎭
，
2
24
22
4
1414
22
p
k k
k k
∴=
⎛⎫⎛⎫
++
+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
设
2
22
2
1411
2224
222
k
k t
k k k
⎛
⎛⎫
+⎛⎫
=+=⋅
⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭⎝
=，
当且仅当
1
2
2
k
k
=时取等号，即当
1
2
k=时取等号，
则
2
2
2
44
11
()
24
p
t t t
==
++-，当4
t≥时，2
11
()20
2
4
t+-≥，
当
1
2
k=，即4
t=时，2p取得最大值，最大值为
1
5
，即p=.
此时A
⎝⎭
，直线l不过点M，N.
故存在不过原点的直线l，使点E为线段AB的中点，且p
【点睛】关键点睛：通过解方程组求出相应点的坐标，运用基本不等式进行求解是解题的关键.。