新初中数学方程与不等式之无理方程真题汇编含答案解析

新初中数学方程与不等式之无理方程真题汇编含答案解析
一、选择题
1．k =有实数根，则k 的取值范围为___________
【答案】
【解析】
【分析】
方程两边同时平方，再移项，根据x 2≥0求解即可.
【详解】
k =，
∴222x k +=，即222x k =-，
∵x 2≥0，
∴220k -≥，
∴k 或k≤
k =有实数根，
∴k ＞0，
∴k .
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．
2．x =-的根是______．
【答案】x=﹣2
【解析】
先把方程两边平方去根号后求解，再根据x ＜0，即可得出答案．
解：由题意得：x ＜0，
两边平方得：x+6=x 2，
解得x=3（不合题意舍去）或x=﹣2；
故答案为：x=﹣2．
3．方程(x 30-=的解是______．
【答案】x=2
【解析】
【分析】
求出x 0=，求出即可．
【详解】
解：()x 32x 0--=Q ，
2x 0∴-≥，
x 2∴≤，
x 30∴-≠，
2x 0-=Q ，
x 2=，
故答案为：x 2=．
【点睛】
本题考查了解无理方程和二次根式有意义的条件，能得出方程2x 0-=是解此题的关键．
4．方程
-x =1的根是______ 【答案】x=3
【解析】
【分析】
先将-x 移到方程右边，再把方程两边平方，使原方程化为整式方程x 2=9，求出x 的值，把不合题意的解舍去，即可得出原方程的解.
【详解】
解：整理得：=x+1，
方程两边平方，得：2x+10=x 2+2x+1，
移项合并同类项，得：x 2=9，
解得：x 1=3，x 2=-3，
经检验，x 2=-3不是原方程的解，
则原方程的根为：x=3.
故答案为：x=3.
【点睛】
本题考查了解无理方程，无理方程在有些地方初中教材中不再出现，比如湘教版.
5．211x -=的解是 ．
【答案】x =1
【解析】
【分析】
根据算术平方根的意义，方程两边分别平方，化为整式方程，然后求解即可.
【详解】
两边平方得2x ﹣1=1，解得x=1．
经检验x=1是原方程的根．
故本题答案为：x=1．
6．0
=的根是________________.
【答案】x=2
【解析】
【分析】
=的左边进行计算,然后两边同时平方可得
x2-4=0;接下来,移项后利用直接开方法解这个一元二次方程得到方程的根,然后代入原方程中检验即可确定方程的根
【详解】
=，
=,
0,
240
x-=
x2=4,
x=±2
当x=-2时
=的根是x=2
【点睛】
此题考查无理方程,掌握无理方程的求解方法是关键;
7．0
x=的解是____.
x=-
【答案】3
【解析】
【分析】
根据解无理方程的方法可以解答此方程，注意无理方程要检验．
【详解】
x=，
x
-，
∴3-2x=x2，
∴x2+2x-3=0，
∴（x+3）（x-1）=0，
解得，x1=-3，x2=1，
经检验，当x=1时，原方程无意义，当x=3时，原方程有意义，
故原方程的根是x=-3，
故答案为：x=-3．
【点睛】
本题考查无理方程，解答本题的关键是明确解无理方程的方法．
8．方程11x -=的根是x =______.
【答案】2．
【解析】
【分析】
方程两边乘方，得整式方程，求解，检验即可.
【详解】
∵11x -=
∴x-1=1
∴x=2，
经检验，x=2是原方程的根，
所以，原方程的根是x=2.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了解无理方程，注意别忘记检验哟!
9．方程6x x +=的根为 ．
【答案】x=3
【解析】
两边平方得x+6=x 2,解一元二次方程得x 1=3,x 2=-2(舍去)，所以方程的根为
10．方程20x x =的解是___________。

【答案】x=0或x=4
【解析】
【分析】
将原式两边开方再求解即可.
【详解】
移项得2x x =，两边平方得24x x =，解得x=0或x=4，检验知x=0或x=4.
【点睛】
本题考查了无理方程，利用平方将方程转化整式方程.
11．210x x --=的解是_____________.
【答案】x=2
【解析】
【分析】
根据题意可得x=2或x=1，然后根据二次根式的性质舍去x=1.
【详解】
=，
∴x﹣2=0或x﹣1=0，
解得x=2或x=1，
当x=1时，x﹣2=1﹣2=﹣1＜0，舍去，
则原方程的解为x=2.
故答案为：x=2.
【点睛】
本题主要考查解方程，二次根式的性质，解此题的关键在于求出的方程的解要使二次根式有意义.
12．x
=的根是__________.
【答案】2
【解析】
【分析】
本题可先对方程两边平方，得到x+2=x2，再对方程进行因式分解即可解出本题．
【详解】
原方程变形为：x+2=x2即x2−x−2=0
∴(x−2)(x+1)=0
∴x=2或x=−1
∵x=−1时不满足题意.
∴x=2.
故答案为：2.
【点睛】
此题考查解无理方程，解题关键在于掌握方程解法.
13．1
=的解为_____．
【答案】x=2
【解析】
【分析】
=两边同时乘方，即可解答.
1
【详解】
方程两边平方得：x﹣1＝1，
解得：x＝2，
经检验x＝2是原方程的解，
故答案为：x ＝2
【点睛】
本题考点为无理方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.
14．4的解是_____．
【答案】15x =
【解析】
【分析】
两边同时平方，即可求出方程的解.
【详解】
4=,
两边同时平方可得：116,x +=
解得：15.x =
经检验，15x =符合题意.
故答案为15x =
【点睛】
考查无理方程的解法，两边同时平方是解题的关键.
15．若关于x 0k =在实数范围内有解，则k 的取值范围是__________．
【答案】k ≥
【解析】
【分析】
先将方程变形为22460x x k ++-=，再根据一元二次方程根的判别式列出不等式即可解答．
【详解】
0k =可变形为：22460x x k ++-=
则2164(6)0k ∆=--≥，解得：k ≥k ≤
0k =≥
∴k ≤
∴k ≥
故答案为：k ≥
【点睛】
本题考查了无理方程的解，解题的关键是对原方程进行变形，转化为一元二次方程．
16．-x 的值相等，那么x=__________．
【答案】-5
【解析】
【分析】
两边平方得到2
30()x x +=-，求出方程的解，把此方程的解代入原方程检验即可得出答案．
【详解】
x =-，
两边平方得：230()x x +=-，
即2300x x --=， (6)(5)0x x -+=，
(6)0x -=或(5)0x +=，
解得125,6x x =-= ，
检验：当5x =-5x ==-，
当6x =6x =≠-，
所以x =-5，
故答案为：-5．
【点睛】
本题考查无理方程，解一元二次方程．能将无理方程转化成一元二次方程是解决此题的关键．需注意：因为一个数的算术平方根是非负的，所以一元二次方程的解中可能有不符合无理方程的解，结果一定要检验．
17．如果点A(3，4)，B(5，a)两点之间的距离是4，那么a=_____________．
【答案】4±
【解析】
【分析】
根据两点之间的距离公式，列出无理方程，求解即可．
【详解】
解：因为点A(3，4)，B(5，a)两点之间的距离是4，
4=，
即2
4(4)16a +-=， 2(4)12a -=，
4a -=±，
4a =±
故答案为：4±
【点睛】
本题考查两点之间的距离公式，解无理方程，解一元二次方程．能利用两点之间的距离公式列出无理方程是解决此题的关键．
18．如图，ABC ∆中，AB AC =, 点D 在线段BC 的延长线上， 连接AD ，CD=1，BC=12，∠DAB=30°， 则 AC =__________．
【答案】439
【解析】
【分析】
过点B 作BE ⊥AD 于点E ，AH ⊥BC 于H ．设AB=AC=x ．根据AE+DE=AD ，分别利用勾股定理求出AE ，DE ，AD ，构建方程即可解决问题．
【详解】
解：过点B 作BE ⊥AD 于点E ，AH ⊥BC 于H ．设AB=AC=x ．
在Rt △ABE 中，
∵∠BAE=30°，AB=x ，
∴BE=12AB=12x ，332
x ， ∵AB=AC ，AH ⊥BC ，
∴CH=BH=6，
在Rt △AHB 中，AH 2=x 2-62，
在Rt △DBE 中，22221134
BD BE x -=-，
在Rt△ADH中，
∵AE+DE=AD，
x+=
整理得：x4-13×51x-(12×13)2=0，
解得x2=13×48或13×3（舍去），
∵x＞0，
∴，
经检验：是无理方程的解，
∴
故答案为．
【点睛】
本题考查勾股定理，解直角三角形，无理方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
19．3
=的解是______．
x=
【答案】4
【解析】
【分析】
把两边平方，化为整式方程求解，然后检验即可．
【详解】
=，
3
∴2x+1=9，
∴2x=8，
∴x=4，
经检验x=4是原方程的解．
故答案为：x=4．
【点睛】
本题考查了无理方程的解法，解含未知数的二次根式只有一个的无理方程时，一般步骤是：①移项，使方程左边只保留含有根号的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．
20．3x
-的解是___________。

【答案】x≤3
【解析】
【分析】
由根式的性质可知方程左边必大于零，再根据无理方程左边等于右边，所以可得30x -≥求解即可.
【详解】
因为左边=3x -，右边=3-x,所以30x -≥，所以3x ≤.
【点睛】
本题考查了根式的性质及无理方程的化简求解.。