江苏省苏州市第五中学高中数学教案 苏教版选修 第一章导数及其应用单元复习

单元复习
一、知识点梳理
二、学法指导
１．本章内容共分为四节，第一节是导数的概念．教材通过实例给出了平均变化率，进而给出了函数平均变化率的概念．接着教材给出了曲线上一点处的切线、瞬时速度和瞬时加速度的概念，进而给出了导数的概念．第二节是导数的运算，教材介绍了常见函数的导数，导数的四则运算以及简单复合函数的导数．第三节是导数在函数研究中的应用，主要是利用导数研究函数的单调性、求函数的极大值、极小值以及求函数在闭区间上的最大值和最小值．第四节是导数在实际生活中的应用，主要是利用导数的方法求实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等最优化的问题．
２．本章的重点：一是利用导数的定义求简单函数的导数，能利用导数公式表、运算法则求导数．二是利用导数判断函数的单调性，求函数的极大值、极小值、最大值、最小值．三是利用导数的方法解决实际应用问题．本章的难点是对导数概念的理解，导数方法的应用，特别是求一些实际问题的最值．
３．建议：
（１）借助于实例，从平均速度、瞬时速度到函数的瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念．通过例题，体会利用导数的定义求导数的方法．
（２）借助于图形去认识和理解导数的几何意义，以及用导数的几何意义去解决问题，结合图形去认识和
理解导数在研究函数性质中的作用．
（３）利用基本初等函数的求导法则和四则运算求导数，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此，观察表达式的特点，对表达式进行适当的变形时优化解题过程的关键．对于复合函数的求导，关键在于选取合适的中间变量，弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆，最后要把中间变量换成自变量的函数．
（４）利用导数的方法解决实际问题时，数学建模是关键．特别是对有关物理问题，能够将其物理意义与求导数联系起来．
三、单元自测
（一） 填空题（每小题５分，共70分）
１．半径为R 的圆受热均匀膨胀，若半径增加了r ，则圆面积的平均膨胀率是__________．
２．已知函数()2x
f x -=，则(2)f '=__________________． ３．已知函数y ＝lo
g 2（３x ＋１），则它的导数为_______________．
４．如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ，
则(3)(3)f f '+= ．
５．若()2f a '=，则当h 无限趋近于0时，
()()2f a h f a h --→____． 6．已知函数32()32,[0,]f x x x x m =-+∈在x =0处取得最大值，在x =２处取得最小值，则m 的取值范
围是 ．
7．要做一个母线长为２0厘米的圆锥形的漏斗，当高为 厘米时，该漏斗的体积最大？
8．设0>a 函数ax x x f -=3
)(在),1[+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围为________． 9．若函数f （x ）=31(1)34x a x --
在其定义域内没有极值，则a 的取值范围为_________． １0．若21()ln(2)2
f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是__________． １１．设曲线11
x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =___________．
１２．设函数())
()cos 30f x x ϕϕπ=+<<，若()()f x f x '+ 是奇函数，则ϕ=__________． １３．函数f （x ）=x ３—３x ，1,2x a ⎡⎤∈+⎣⎦的最小值为a —２，则实数a 的值为__________．
１４．已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，当0x >时，()ln f x x ax =-． 若函数()f x 在
其定义域上有且仅有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．
（二） 解答题（１５、１6每小题１３分，１7~２0每小题１6分，共90分）
１５．如果曲线31y x x =++的某一条切线与直线133y x =+平行，求切点坐标和切线方程． １6．已知a 是实数，函数()()f x x x a =
-，求函数()f x 的单调区间．
１7．如图，在矩形地块ABCD 中有两条道路AF ，EC ，其中AF 是以A 为顶点的
抛物线段，EC 是线段．AB=２km ，BC=6km ，AE=BF=４km ．在两条道路之间
计划修建一个公园，公园的形状为直角梯形QPRE （线段EQ 和RP 为两个底边，
如图所示）．求该公园的最大面积．
１8．设函数1()(01)ln f x x x x x
=>≠且 （１）求函数()f x 的单调区间； （２）已知12a x x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围．
１9．已知2()(2,)f x x ax a a x R =++≤∈，()x g x e -=，()()()x f x g x Φ=．
（１）当a =１时，求()x Φ的单调区间；
（２）是否存在实数a ，使()x Φ的极大值为３？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由． ２0．已知函数2*()2cos πln (f x x a k x k =-⋅∈N ，a ∈R ，且0a >）．
（１）讨论函数()f x 的单调性；
（２）若2010k =，关于x 的方程()2f x ax =有唯一解，求a 的值．。