安徽省宿州市省高一下学期期中考试数学试题(解析版)

安徽省宿州市省市示范高中高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知平面内作用于点的三个力，且它们的合力为，则三个力的分布图可能是（ ）
O 123,,f f f 0
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【分析】由平行四边形法则判断即可.
【详解】因为，所以与的合力与方向相反，长度相等，则由平行四边形法则
123f f f +=- 1f 2f 3f
可知，只有D 项满足. 故选：D
2．如图，是水平放置的△AOB 的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，A O B '''V O '顶点、均在坐标轴上，且△AOB 的面积为12，则的长度为（ ）
A '
B 'O B ''
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【分析】画出△AOB 的原图，根据三角形△AOB 的面积为12可得答案. 【详解】画出△AOB 的原图为直角三角形，且，
6''==OA O A 因为，所以，
1
122
⨯=OB OA 4OB =所以.
1
22''==O B OB 故选：B.
3．萧县皇藏峪国家森林公园位于萧县城区东南30公里，是中国历史文化遗产､中国最大古树群落､国家AAAA 级旅游景区､国家森林公园.皇藏峪有“天然氧吧”之称.皇藏峪，原名黄桑峪.汉高祖刘邦称帝前，曾因避秦兵追捕而藏身于此，故改名皇藏峪.景区内古树繁多，曲径通幽，庭院错落有致.一
个侧面与底面的面积之比为（ ）
A B C D 【答案】B
【分析】由已知条件和正四棱锥的定义，以及面积公式即可求解. 【详解】如图所示，
将庭院顶部可以看成一个正四棱锥,
P ABCD -是正四棱锥的高，
PO P ABCD -
设底面边长为，侧棱长为，
a a
则底面面积为，侧面是正三角形，其面积， 2
1S a =PAB
A 2
2S =
21S S ∴=故选：B.
4．欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献.人们把欧拉恒等式“
”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”.其中，欧拉恒等式是欧拉公式：
i πe 10+=的一种特殊情况.根据欧拉公式，则（ ）
cos sin i e i θ
θθ=+π
5πi 66
e e
+
=A ．2 B ．
1 C D 【答案】B
【分析】根据欧拉公式写出对应复数的三角形式并化简，即可求模.
【详解】由题设，
. π5πi i 6
6
ππ5π11e e cos
isin cos i i 166622
+=++++=故选：B
5．已知可以作为平面向量的一组基底，集合，{},x y {},R A a
a y λλ==∈
∣，则关于集合说法正确的是（ ）
{}
2,R B b b x y λμλμ==+∈
∣､,A B A ． B ．
C ．
D ．
B A ⊆A B ⊆0A ∉
A B =【答案】B
【分析】向量的共线定理：；向量基本定理：平面内一组基底向量可表示出该平面内所有向a b λ=
量，，根据上述向量性质进行判断两集合元素范围即可选出答案.
12a e e λμ=+
【详解】根据向量的共线充要条件可知，集合A ={与共线的所有向量}，
y
根据平面向量基本定理可知：集合B ={平面内所有向量}，故集合A 是集合B 的子集. 故选：B
6．已知的重心为，若向量，则（ ）
ABC A O 13BO mAB AC =+
m =A ．
B ．
C ．
D ．
23
-23
13-13
【答案】A
【分析】由三角形法则和平行四边形法则求解即可. 【详解】由三角形法则和平行四边形法则可得
，则.
1221()2333BO BA AO BA AB AC AB AC =+=+⨯+=-+
23
m =-故选：A
7．已知向量，若与垂直，则实数（ ）
()()1,2,,1a b m =-= 2a b +
2a b - m =A ．或7
B ．
或-2 C ．或2
D ．
1
2
-7
27
2-12
-【答案】C
【分析】确定，，根据垂直得到，代入数
()221,4a b m +=-
()22,3a b m -=-- ()()
220a b a b +⋅-= 据计算得到答案.
【详解】，则，， ()()1,2,,1a b m =-=
()221,4a b m +=- ()22,3a b m -=-- 与垂直，
2a b +
2a b - 则，
()()
()()()()222122,310,4212a b m a b m m m +⋅=-⋅---=---+=
解得或.
2m =7
2
m =-故选：C
8．将一直径为的圆形木板，截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α
满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
3
5=cos α
A ．
B ．
C ．
D ．
20cm 30cm 【答案】D
【分析】根据正弦定理得4
2sin 5
AC R D ===解.
【详解】如图：不妨设,则,由正弦定理可得
3,cos 5
D D αα=∠==
cos 4
sin 5D =
, 4
2sin 5
AC R D ===在三角形中，由余弦定理可得
ACD , ()2
2
2
2
16
2cos 805
AC AD CD AD CD D AD CD AD CD =+-⋅⇒=+-
⋅由于,所以
()2
4
AD CD AD CD +⋅≤
，
()
()2
2
16168020554
AD CD AD CD AD CD AD CD ++-=⋅≤⨯⇒+≤
当且仅当时，等号成立，
10AD DC ==在中， ,
ABC A 3
π,cos 5
B D B --==由余弦定理可得, ()2
2
2
2
4
2cos 805
AC AB CB AB CB B AB CB AB CB =+-⋅⇒=+-
⋅由于,所以
()2
4
AB CB AB CB +⋅≤
， ()
()2
2
448010554
AB CB AB CB AB CB AB CB ++-=⋅≤⨯⇒+≤当且仅当时，等号成立，
5AB BC ==故这块四边形的周长， 201030AD DC AB BC ≤+=+++所以这块四边形木板周长的最大值为. 30故选：D
二、多选题
9．在下面的四个命题中，正确的命题为（ ） A ．复数（为虚数单位的虚部为
12z i =-i )2i -B ．用平面去截一个圆锥，则截面与底面之间的部分为圆台
C ．角为三个内角，则“”是“”的充要条件
,,A B C ABC A sin sin A B >cos cos A B <D ．在复平面内，若复数（均为实数），则满足的点的集合表示的面积为
i z x y =+,x y i 3z -≤Z
9π【答案】CD
【分析】由复数定义判断A ，由圆锥与圆台的结构特征判断B ，根据三角形性质，结合充分、必要性定义判断C ，由复数模的几何意义，数形结合法判断D. 【详解】A ：复数的虚部为，错误；
12z i =-2-
B ：用平行于底面的平面去截一个圆锥，则截面与底面之间的部分为圆台，错误；
C ：在三角形中，由知：， sin sin A B >A B >若时则，若时则，故充分性成立； π2B A <<
cos cos A B <π
2
B A <<cos cos A B <若时，则，故； cos cos 0B A >>π
2
B A <<sin sin A B >若时，则，此时，故，
cos 0cos B A >>π2
B A <<π
π2A B >->sin(π)sin sin A A B -=>所以必要性成立，正确；
D ：由，故，所以点在以为圆心，半径的圆（含圆i 3z -=≤22(1)9x y +-≤Z (0,1)3内），其面积为，正确. 9π故选：CD
10．唐朝诗人罗隐在《咏蜂》中写到：不论平地与大山，无限风光尽被占：采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口，且其边长为1.下列说法正确的是（ ）
ABCDEF
A ．
B ．
AC AE BF -=
32
AC AE AD += C ．
D ．五边形的外接圆面积为
2||AD AB AB ⋅= ABCDE π【答案】BCD
【分析】根据正六边形的特点，在图中作出相关向量，对A 利用向量减法运算结合图形即可判断，对B 借助图形和共线向量的定义即可判断，对C 利用向量数量积公式和相关模长的关系即可判断，由正六边形的特点确定五边形的外接圆的半径，进而判断D.
ABCDE 【详解】对A ，，显然由图可得与为相反向量，故A 错误；
AC AE EC -= EC BF
对B ，由图易得
，直线平分角， AE AC = AD EAC ∠
且为正三角形，根据平行四边形法则有与共线且同方向， ACE △2AC AE AH += AD
易知均为含,EDH AEH A A π
6
，
4AD DH = 而，故，故，故B 正确；
26AH DH = 232AH AD = 32AC AE AD +=
对C ，， 2,3C ABC AB BC DC π∠=∠===
，则，又，， π
6BDC DBC ∴∠=∠=
π2
ABD ∠=AD //BC π3DAB ∴∠=，，故C 正确；
2AD AB = 221cos 232
AD AB AD AB AB AB π
⋅==⨯=
对D ，五边形的外接圆就是正六边形的外接圆，其半径为 ABCDE ABCDEF ，则五边形的外接圆面积为，故D 正确；
112
r AD ==
ABCDE 2ππr =故选：BCD
11．如图，在海岸上有两个观测点C ，D ，C 在D 的正西方向，距离为2 km ，在某天10:00观察到某航船在A 处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（ ）
A ．当天10:00时，该船位于观测点C 的北偏西15°方向
B ．当天10:00时，该船距离观测点km
C ．当船行驶至B 处时，该船距观测点km
D ．该船在由A 行驶至B 的这5 min km 【答案】ABD
【分析】利用方位角的概念判断A ，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD ．
【详解】A 选项中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为C 在D 的正西方向，所以A 在C 的北偏西15°方向，故A 正确.
B 选项中，在△ACD 中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.
由正弦定理，得AC=，
sin sin CD ADC
CAD
∠∠=故B 正确.
C 选项中，在△BC
D 中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，
则BD=CD=2，于是BC=C 不正确.
D 选项中，在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2=AC 2+BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB=2+8－212
=6，
即，故D 正确. 故选：ABD ．
12．如图所示，一圆锥的底面半径为，母线长为，为圆锥的一条母线，为底面圆的一条r l SA AB 直径，为底面圆的圆心，设，则（ ）
O r
l
λ=
A ．过的圆锥的截面中，的面积最大 SA SA
B △B ．当时，圆锥侧面的展开图的圆心角为 1
2
λ=
π
C ．当时，由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到
1
3
λ=A A
D ．当时，点为底面圆周上一点，且，则三棱锥的外接球的表面积为1
4
λ=
C AC =O SAC -
217r π【答案】BD
【分析】对于选项A ，利用斜三角形面积公式即可判断；对于选项B ，由于圆锥侧面的展开图为扇
形，可利用扇形圆心角公式进行计算；对于选项C ，由于圆锥侧面的展开图为扇形，利用两点之间直线最短即可知，由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展A A 开图得到的扇形的圆心角所对的弦长；对于选项D ，由三棱锥外接球的性质可知，此外接球的直径为外接长方体的体对角线.
【详解】对于选项A ：设点是底面圆上异于点的任意一点，则，
C B 2
1sin 2
SAB l ASB =∠△S .且.
21
sin 2
SAC l ASC =∠△S ASB ASC ∠>∠当时，，此时的面积最大；
090ASB <∠≤ sin sin ASB ASC ∠>∠SAB △当时，若，则，此时的面积不是最大； 90180ASB <∠< 90ASC ∠= sin sin ASB ASC ∠<∠SAB △故选项A 错误. 对于选项B ：当时，，即.
12
λ=
1
2r l =2l r =圆锥侧面的展开图的圆心角为. 222r r
l r
ππαπ===故选项B 正确.
对于选项C ：如图，由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为圆锥侧面的A A 展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长.
AA '
当时，，即.
1
3λ=13r l =3l r =圆锥侧面的展开图的圆心角为， 222
33
r r l r ππαπ===
此时的弦长为，
2sin 23sin
3
3
l r π
π
=⋅=故选项C 错误. 对于选项D ：当时，，即. 14λ=
1
4
r l =4l r =
当时，. AC =90AOC ∠=
因为， SO ===
=
所以三棱锥，
O SAC -=
则三棱锥的外接球的表面积为. O SAC -2
2
417r ππ⎫=⎪⎪⎭故选项D 正确. 故选：BD.
【点睛】方法点睛：几何体内接于球的问题，解题时要认真分析图形，明确接点的位置，确定有关元素间的数量关系。

如长方体内接于球，长方体的顶点均在球面上，长方体的体对角线长等于球的直径.
三、填空题
13．在中，若命题p ：
，命题q ：是等边三角形，则命题p 是命题q ABC A sin sin sin a b c
A B C
==ABC A 的________条件（指充分必要性）． 【答案】必要非充分
【分析】根据正弦定理与充分条件、必要条件的概念进行正反推理，对充分性与必要性分别加以讨论，可得由命题不可以推出命题成立，命题可以推出命题成立，可得答案． p q q p 【详解】解：先看充分性，当
成立时即满足正弦定理，是任意三角形，即sin sin sin a b c
A B C
==ABC A 命题不成立，故充分性不成立；
q 再看必要性，若是等边三角形，则且， ABC A a b c ==π3
A B C ===由此可得
成立，即命题成立，故必要性成立． sin sin sin a b c
A B C
==p 因此，命题是命题的必要非充分条件． p q 故答案为：必要非充分．
14．在复平面内，复数为虚数单位的共轭复数对应的点在第()()cos1sin1sin2cos2i,(i z =-+-)__________象限. 【答案】三
【分析】先由已知条件写出的共轭复数，再根据它所对应的点来判断所在象限即可. z 【详解】由复数为虚数单位的共轭复数为：
()()cos1sin1sin2cos2i,(i z =-+-)，
()()cos1sin1sin2cos2i z =---所以对应的点为，
()()()cos1sin1,sin2cos2---
因为
， ππ142
<<所以，所以， sin1cos1>cos1sin10-<因为
， π
2π2
<<所以，所以， sin2cos2>()sin2cos20--<故复数的共轭复数对应的点在第三象限， z 故答案为：三.
15．已知平面内非零向量，满足，则__________.
,a b
π,,||2,||13a b a a a b <+>==+= a b -=
【分析】由已知条件可求得，将平方展开代入求值即可得答案.
||b = 26a b ⋅=-
a b - 【详解】解：因为，
π,,||2,||13
a b a a a b <+>==+=
所以
， 222π[()]||||2||||cos 33
a b a a b a a b a +-=++-+⋅⋅=
所以
||b =
又因为，两边平方得：，
||1a b +=
22||||21a b a b ++⋅= 解得，
26a b ⋅=-
所以,
222||||243613a b a b a b -=+-⋅=++= 所以.
a -
16．甲烷分子式为，其结构抽象成的立体几何模型如图所示，碳原子位于四个氢原子的正中间4CH 位置，四个碳氢键长度相等，用表示碳原子的位置，用表示四个氢原子的位置，设
C 1234,,,H H H H ，则__________.
14,CH CH α=
cos2α=
【答案】
7
9
-
【分析】设正四面体的棱长为，外接球半径为，计算，根据余弦定理得到a r r =1cos 3α=-
，再利用二倍角公式计算得到答案.
【详解】根据题意知三棱锥为正四面体，为正四面体外接球球心， 1234H H H H -C 延长与平面相交于，则为的中心，连接，
1H C 234H H H M M 234H H H △4H M
设正四面体的棱长为，外接球半径为，则， a r 423H M ⨯=平面，平面，故，
1H M ⊥234H H H 4H M ⊂234H H H 14H M H M ⊥
，
1H M ===
故，解得， 2
2
2
r r ⎫⎫-=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭
r =则，. 22222241cos 112233
r r a a r r α+-==-=-=-
2
7cos22cos 19αα=-=-故答案为：
7
9
-
四、解答题
17．如图所示，在平面四边形中，ABCD ,2,120,AB AD AB BC B AD ⊥====
(1)求的值；
tan ACD ∠(2)将四边形绕着边所在的直线旋转一周所形成的几何体为，求的体积. ABCD AD ΩΩ
【答案】(1)tan ACD ∠=
【分析】（1）由余弦定理得出，结合三角形为正三角形得出的值； AC AD =ABC tan ACD ∠（2）几何体为：上面一个圆锥，下面为一个圆台，根据体积公式求解即可. Ω【详解】（1）连接，在三角形中，由余弦定理知：
AC ABC
AC ==易知，
30,BAC AB AD ∠=⊥
故.又，故三角形为正三角形.所以.
60DAC ∠= AC AD =ABC tan ACD ∠=
（2）几何体为：上面一个圆锥，下面为一个圆台，
Ω
圆锥的底面的半径为， 3=
故的体积为. Ω(22211π2π3π333V =
⨯+⨯⨯=18．萧县的萧窑､淮南的寿州窑和芜湖的繁昌窑是安徽三大名窑.2015年，安徽省启动对萧县欧盘村窑址的考古发掘，大量瓷器的出土和窑炉遗迹的揭露，将萧窑的历史提溯至隋代.为进一步摸清萧窑窑址的分布状况､时空框架以及文化内涵等，经国家文物局批准，2021年3月，正式对萧县白土寨窑址进行主动性考古发掘.如图，为该地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：，.（参考数据：取
34.64cm AB =10cm,14cm,6
AD BE A B π
====
）
1.732=
(1)求三角形瓷器片另外两边的长； (2)求两点之间的距离. ,D E 【答案】(1)两边的长皆为 20cm (2) 14cm
【分析】（1）根据数据，利用正弦定理求解； （2）根据数据，利用余弦定理求解. 【详解】（1）解：如图，
延长交于点， ,AD BE C 因为，所以， 6
A B π
==23
C π=
故
， sin sin sin AC BC AB
B A C
=
=
()34.6420cm 1.732AC BC ∴==
=≈=即另外两边的长皆为；
20cm （2）由题意得， 2201010,20146,3
CD CE C π=-==
-==
故，
()14cm DE ====故两点之间的距离为.
,D E 14cm 19．平面内给定三个向量，且.
()()()2,2,1,4,,3a b n c k ==+=
()()
2//
a c
b a +-
(1)求实数关于的表达式；
k n (2)如图，在中，为中线的中点，过点的直线与边分别交于点（不
ABC A G AM G ,AB AC ,P Q ,P Q
与重合）.设向量，求的最小值. A ()3,AP k AB AQ mAC =+=
2m n +【答案】(1)
23k n =-(2) 98
【分析】（1）根据向量的坐标运算分别表示出和，利用平行的坐标表示可得答案；
2a c + b a - （2）利用向量运算得到
，结合三点共线得到，再结合基本不等式1184AG AP AQ n m =+ 11
184n m
+=可求答案.
【详解】（1）因为,
()()222,8,1,2,a c k b a n +=+-=-
()()
2//a c b a +- 所以，即.
()()22281k n +=-23k n =-（2）由（1）可知，，由题意可知. ()32,AP k AB nAB AQ mAC =+== ,0m n >因为， 11111,,2442AG AM AB AC AB AP AC AQ n m ==+=
=
所以； 1184AG AP AQ n m
=+
因为三点共线，所以.
. ,,P G Q 11
184n m
+=
所以， ()1
115159
228442428m n m n m n n m n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=
++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
当且仅当时，取等号， 3
8
m n ==
即
时，取最小值. 48,33AB AP AC AQ == 2m n +98
20．在斜三角形中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ABC ．
2sin 4sin cos sin sin a A b C A b B c C +=+(1)求角的大小；
A (2)若，且上的中线的面积． 2a =BC
AD ABC 【答案】(1) π3
A =
【分析】（1）根据正弦定理将已知式子进行化简，再利用余弦定理即可求出角的大小； A （2）根据为为上的中线得
，结合余弦定理求出，进而求出面积. AD BC ()
12
AD AB AC =+
4bc =
【详解】（1）因为， 2sin 4sin cos sin sin a A b C A b B c C +=+所以由正弦定理可得：， 22224cos a bc A b c +=+即，
22224cos bc A b c a =+-所以，
222
2
2cos cos 2b c a A A bc
+-==又，所以，
π2
A ≠1cos 2A =所以.
π3
A =（2）因为为上的中线，所以，
AD BC ()
12
AD AB AC =+
即
， ()
2214
AD AB AC =+ 所以， 222
42AD AB AB AC AC =+⋅+ 即， 22122cos c bc A b =++所以 ①，
2212b bc c =++由余弦定理可得：， 2222cos a b c bc A =+-所以 ② 224b c bc =+-①-②得：，
4bc =
所以1
sin 2
ABC bc S A ==A 21．（1）证明：平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和； （2）在平行四边形中，若，求面积的最大值. ABCD 2220AC BD +=ABC A 【答案】（1）证明见解析；（2）
52
【分析】（1）由平面向量的四则运算即可证明；
（2）利用（1）中结论，并根据基本不等式和三角形面积公式计算可得.
【详解】（1）证明：由向量的加法和减法运算得：，，
AC AB AD =+ BD AD AB =-
所以有：，
()
2222
22()()2AC BD AB AD AD AB AB AD +=++-=+ 即，故平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和. ()2222
2AB AD AC BD +=+（2）由（1）的结论知：，由已知有：，
()2222
2AB AD AC BD +=+2220AC BD +=
所以，故由基本不等式有，
22
2
2
102
AC BD AB AD ++==
，当且仅当
2210
522
AB AD AB BC AB AD +⋅=⋅≤==AB AD ==所以，
115
sin 222ABC S AB BC ABC AB BC ∠=⋅⋅≤⋅=A 当且仅当时，取等号， π
2
ABC ∠=
所以面积的最大值为
，此时四边形为正方形. ABC A 5
2
ABCD 22．研究表明：正反粒子碰撞会湮灭.某大学科研团队在如下图所示的长方形区域内（包含
ABCD 边界）进行粒子撞击实验，科研人员在A ､O 两处同时释放甲､乙两颗粒子.甲粒子在A 处按方
AM
向做匀速直线运动，乙粒子在O 处按方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点P ，且粒ON
子相互碰撞或触碰边界后爆炸消失.已知长度为6分米，O 为中点.
AB AB
(1)已知向量与的夹角为，且足够长.若两颗粒子成功发生碰撞，当点距碰撞点处
AM ON π
3
AD A P 多远时？两颗粒子运动路程之和的最大，并求出最大值；
(2)设向量与向量的夹角为（），向量与向量的夹角为（），AM
AO α0πα<<ON OB β0πβ<<甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍.请问的长度至少为多少分米，才能确保对任意的
AD ，总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成功发生碰撞？
()0,πβ∈α【答案】(1)，最大值为6 3AP =(2)分米 2
【分析】（1）根据余弦定理得到，根据均值不等式得到，得到229AP OP AP OP +=+⋅6AP OP +≤答案.
（2）过作，垂足为，设，则，计算，P PQ AB ⊥Q OP x =22AP OP x ==3cos 22x x
β=
-
. PQ =【详解】（1）设两颗粒子在点相撞，在中：， P AOP A 222
π2cos
3
AO AP OP AP OP =+-⋅即，
229AP OP AP OP +=+⋅
，故，
22AP OP AP OP +⎛⎫
⋅≤ ⎪⎝⎭()2
293932AP OP AP OP AP OP +⎛⎫+=+⋅≤+⨯ ⎪⎝⎭
即，， ()2
36AP OP +≤6AP OP +≤当且仅当时，等号成立，
3AP OP ==此时时，两颗粒子运动路程和的最大值，最大值为6
3AP =
（2）过作，垂足为，设，则， P PQ AB ⊥Q OP x =22AP OP x ==则，，故，
23x x +>23x x -<()1,3x ∈由余弦定理可得，
()2223cos π222
AO OP AP x
AO OP x β+--==-⋅
故，，
3cos 22x x β=-0πβ<<sin β==
，
()sin 1,3PQ x x β===∈
当即即取得最大值， 25x =x =PQ sin x β2故，
max max ()(sin )2AD PQ x β≥==的长度至少为分米，才能确保对任意的，总可以通过调整乙粒子的释放角度，使
AD 2()0,πβ∈α两颗粒子成功碰撞.。