数值积分

Simpson积分公式的误差：
R[ f ] f [a, a h, b, x]( x a)( x h)( x b)dx
a
b
f [a, a h, b, x](t h)t (t h)dt
h
h
f [a, a h, b,(t h)](t 3 h2t )dt
例题
1 1 x dx 。 解：由Newton Leibniz 公式得 2 1 I dx ln 2 0.69314718 1 x 1 1 1 由梯形公式 I （ ） 0.75; 2 2 1 1 1 1 1 由Sim pson 公式I ( 4 ) 0.6944; 3 2 6 1 2 1 1 1 1 由Newton公式I (1 3 3 ) 0.693 75 4 5 2 8 3 3 由Cotes公式得I 0.6931 75 计算I

b a i 0 i j
n
x xi 1 n n t i dx 0 j i hdt x j xi nh i 0
i j
n n 1 n 1 0 (t i )dt n i 0 j i i 0 i j i j
(1) n j n n 0 (t i)dt nj!(n j )! i 0
i j
当n 1时，仅有两个节点： C C
(1) 0 1 (1)10 1 (t 1) 2 0 (t 1)dt 1 2 1 0!(1 0)! 1 (1)11 1 t2 0 (t 0)dt 1 2 1 1!(1 1)! 1 0 1 0
1 2
(n) j
1 ba

b
a
1 l j ( x ) dx ba

b a i 0 i j
n
x xi dx x j xi
ba 由h , x j a jh j 0,1,2,...,n n 知xi a ih，x a th, dx hdt, x xi (t i ) h, x j xi ( j i ) h, x a时t 0; x b时t n。 因此 C (n) j 1 ba
其中
Ln ( x) l j ( x) y j是f ( x)的Lagrage 插值多项式。
j 0
n

Newton-Cotes 积分法取等分节点：
h ba , x j a jh n j 0,1,2,...,n
关键是求

b
a
f ( x)dx Ln ( x)dx Rn ( x)dx

梯形公式(n=1)
1 0 1 1
b 1 因为C C , 则 f ( x)dx T [ f ] RT [ f ] 。 a 2 1 1 且 T [ f ] (b a )[ f (a ) f (b)] 2 2 ba ( f (a) f (b)) 2 (b a ) 3 '' RT [ f ] f ( ) (a, b) 12
h
h
f [a, a h, b,(t h)]d[ (t h ) ]
h 1 4 2 2 2
h
[ 1 (t 2 h2 )2 ] f [a, a h, b,(t h),(t h)]dt 4
h
h
f [a, a h, b,( h),( h)] [ 1 (t 2 h2 )2 ]dt 4
(1) 1
1 2
当n 2时
2 ( 1) 2 0 C 0 (t 1)(t 2) d t 2 0! ( 2 0)! 1 2 [(t 2) 2 (t 2)]d t 4 0 1 1 1 1 2 [ (t 2) 3 (t 2) 2 ] 0 4 3 2 6 4 1 ( 2) ( 2) 同理可得C1 ，C 2 6 6 ( 2) 0
i 0 i 0
(4)求极限 x max{ xi }
1i n x 0
lim S n lim
x 0
f ( )x
i 0 i i
n
b
a
f ( x)dx
由此想到机械求积公式

b
a
f ( x ) dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) ...An f ( xn ) R[ f ] Ai f ( xi ) R[ f ]
b

Cotes公式(n=4)
7 32 ( 4 ) 12 32 ( 4 ) 7 ( , C1( 4 ) , C 2 ， C3 4 ) , C4 90 90 90 90 90
( 因为C0 4 ) b
所以 f ( x)dx C[ f ] RC [ f ]
a
ba 且 C[ f ] (7 f (a ) 32 f (a h) 12 f (a 2h) 90 32 f (a 2h) 7 f (b)) ba 其中h 。 4
b 1 称 Rn [ f ] a f (n 1)! b
( ) ( x)dx
f [ x, x0 , x1 ,...xn ] ( x)dx
a
其中 ( x) x x0 )(x x1 )...(x xn )， （ 为 f ( x)dx 的截断误差。
a b
常用的几个积分公式

以此类推得Cotes系数表:
n 1 2 3 4 5 6 7 8
( Ck
n)
1 {1,1} 2 1 {1, 4,1} 6 1 {1, 3, 3,1} 8 1 {7,32,12,32, 7} 90 1 {19, 75,50,50, 75,19} 288 1 {41, 216, 27, 272, 27, 216, 41} 840 1 {751,3577,1323, 2989, 2989,1323,3577, 751} 17280 1 {989,5888, - 928,10496, - 4540,10496, - 928,5888,989} 28350
2
C (j n )
j 1
n
1 b n x xi a x j xi dx j 1 b a i 0
n i j
1 n b a l j ( x)dx b a j 1 1 b n a l j ( x)dx 1 b a j 1
Newton-Cotes积分系数的和为1
a a
b
b

b
a
Ln ( x ) dx
( l
b a j 0 n
n
j
( x ) y j ) dx [ l j ( x ) dx]y j
b j 0 a
n
1 (b a ) [ j 0 b a
n j 0

b
a
l j ( x) dx] f ( x j )
(b a ) C ( n ) f ( x j ) j 因此就归结为求权 C
b

Newton公式(n=3)
因为C
a ( 3) 0
1 ( 3) 3 ( 3) 3 1 ( 3) , C1 , C2 ，C3 8 8 8 8
所以 f ( x)dx N [ f ] RN [ f ] ba 且N [ f ] ( f (a) 3 f (a h) 3 f (a 2h) f (b)) 8 ba 其中h 。 3

Simpson公式(n=2)
因为C
a ( 2) 0
1 ( 2) 4 ( 2) 1 , C1 , C2 6 6 6
所以 f ( x)dx S [ f ] RS [ f ] 且 ba ab S[ f ] ( f (a) 4 f ( ) f (b)) 6 2 (b a ) 5 ( 4 ) RS [ f ] f ( ) (a, b) 2880
第三，常常 f ( x) 本身形式并不复杂，而原函数 F ( x)推 导十分冗长，且表达式复杂，给计算结果带来十分不便。
为克服上述许多缺点，定积分计算的数值求解能弥 补上述不足，并可带来满意的结果。
积分数值算法的思想是，首先求被积函数 f ( x) 的一个逼近函数
p (x)，即 f (x) = p(x)+ r (x) ，这里 r (x) 为误差函数，于是
a a a b b b
(b a) C (j n ) f j R[ f ]
j 0
n
Newton Cotes积分公式。 其中C (j n )
n n (1) n j 0 (t i)dt是Cotes系数； nj!(n j )! i 0 i h 1 2 [ 4 (t h2 )2 ]dt 4! h
i 0 n
其中Ai 权系数， Ai f ( xi )是f ( xi )加权和，
i 0
n
也是 f ( x ) dx 的近似值。
a
b
Newton-Cotes 求积公式

由Lagrange插值,任何一的函数 y f (x)都 可以近似的表示成
f ( x) Ln ( x) Rn ( x)
梯形积分公式的误差：
第二积分中值定理：
f ( x) C[a, b], g ( x)在[a, b]不变号，并且可积， 则 [a, b], 使得

b
a
f ( x) g ( x)dx f ( ) g ( x)dx
a
b
由于( x a )( x b)在区间[a, b]不变号， 由第二积分中值定理 b1 RT [ f ] f '' ( x )( x a )( x b)dx a 2 b 1 '' f ( ) ( x a )( x b)dx a 2 b 1 '' ( x b) 2 f ( ) ( x a )d a 2 2 2 b ( x b) 1 '' f ( ) d ( x b) a 2 2 3 （b a） '' f ( ) ( a, b) 12

a
a
引言
首先，遇到的是一类被积函数 f ( x) 没有初 等函数有限形式的原函数，如

椭圆周长
L 4 2 1 a 2 sin d；
0 1 x2 0
正态分布函数 e
dx
等。
引言
其次，被积函数 f ( x) 由表格形式给出，没有解析形式，也无 法使用 Newton- Leibniz 公式；
Newton Cotes积分公式
定义 设f ( x)是[a, b]上的连续函数，将 ba [a, b]区间等分n等分，取h , x j a jh n n ( j 0,1,2...,n), 记f ( x j ) f j ,以{x j }0 为节点作 f ( x)的lagrage 插值多项式，即 f ( x) Ln ( x) Rn ( x) 则称 f ( x)dx Ln ( x)dx Rn ( x)dx

由定积分定义

b
a
f ( x) dx lim
x 0
f ( )x
i 0 i
n
i
(1)分割 ( 2)近似 (3)求和
a x0 x1 ... xn i b si f ( ) xi
n n
xi xi xi 1
S n si f ( i ) xi
第六章 数值积分
主讲 孟纯军
本章基本内容

数值微分 Newton－Cotes求积分公式 Romberg积分法 Gauss积分公式
引言
在数学分析中，我们学习过微积分基 本定理 Newton-Leibniz 公式： b f ( x)dx F ( x) b F (b) F (a) (5.0.1) 其中， F ( x)是被积函数 f ( x) 的原函数。 随 着 学 习 的 不 断 深 化 ， 发 现 NewtonLeibniz 公式有很大的局限性。