世界名画陈列馆问题(回溯法)

算法设计与分析
课程设计
题目：世界名画陈列馆问题(回溯法)
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计算机工程系
2012年11 月16 日
一、算法问题描述
世界名画陈列馆问题.世界名画陈列馆由m×n 个排列成矩形阵列的陈列室组成。

为了防止名画被盗,需要在陈列室中设置警卫机器人哨位.每个警卫机器人除了监视它所在的陈列室外,还可以监视与它所在的陈列室相邻的上、下、左、右4 个陈列室。

试设计一个安排警卫机器人哨位的算法，使得名画陈列馆中每一个陈列室都在警卫机器人的监视之下,且所用的警卫机器人数最少。

二、算法问题形式化表示
本问题的m*n 的陈列室的解可表示如下图所示。

其中1代表在该陈列室设置警卫机器人哨位,0表示未在该陈列室设置警卫机器人哨位.
m*n 陈列室的可能解
最为极端的情况是所有元素的值为1。

那什么情况下是最优解呢？就是设置警卫机器人哨位数最少即为最优。

因为每个矩阵中的值都可以为1或0，有m ＊n 个元素，有n
m *2
种
可能满足约束条件的矩阵，要从n
m *2种可能中遍历找到满足约束条件的1的个数最小的矩阵。

由此可见这是一个NP 问题。

这里的约束条件就是当某一个元素为1时，相邻的4个方向上的元素值可以为0。

三、期望输入与输出
输入:
第一行有2 个正整数m 和n （1≤m ，n ≤20) 输出:
将计算出的警卫机器人数及其最佳哨位安排输出.第一行是警卫机器人数；接下来的m 行中每行n 个数，0 表示无哨位，1 表示哨位。

样例输入: 4 4
样例输出: 4
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0
四、算法分析与步骤描述 从上到下、从左到右的顺序依次考查每一个陈列室设置警卫机器人哨位的情况，以及
该陈列室受到监视的情况，用[i ，j]表示陈列室的位置，用x[i]［j ］表示陈列室[i ，j ］当前设置警卫机器人哨位的状态.当x ［i]［j]=1时,表示陈列室[i,j]设置了警卫机器人,当x ［i][j ］=0时，表示陈列室［i ，j]没有设置了警卫机器人。

用y ［i][j]表示陈列室［i,j ］当前受到监视的
的警卫机器人的数量.当y[i］［j］>0时，表示陈列室[i，j］受到监视的警卫机器人的数量，当y[i］[j]=0时，表示陈列室［i,j］没有受到监视。

设当前已经设置的警卫机器人的哨位数为k，已经受到监视的陈列室的数量为t,当前最优警卫机器人哨位数为bestc.
设回溯搜索时，当前关注的陈列室是[i，j]，假设该陈列室已经受到监视，即y［i］[j］==1，
此时在陈列室［i,j］处设置一个警卫机器人哨位，即x［i]［j]==1，相应于解空间树的一个节点q，在陈列室［i+1,j］处设置一个机器人哨位，x［i+1］[j］==1,相应于解空间树的另一个节点p。

容易看出,以q为根的子树的解，不优于以p为根的子树的解，以q为根的子树可以剪去.因此，在以从上到下,从左到右的顺序依次考察每一个陈列室时，已受监视的陈列室不必设置警卫机器人哨位。

设陈列室［i,j］是从上到下、从左到右搜索到的第一个未受监视的陈列室，为了使陈列室[i，j］受到监视，可在陈列室［i+1,j］、[i，j]、[i，j+1］处设置警卫机器人哨位,在这3处设置哨位的解空间树中的结点分别为p、q、r。

当y［i]［j+1]==1时，以q为根的子树的解，不优于以p为根的子树的解，当y［i］［j+1]==1且y[i］［j+2］==1时,以r为根的子树的解,不优于以p为根的子树的解。

搜索时应按照p、q、r的顺序来扩展结点，并检测节点p对节点q和节点r的控制条件。

int［]［]bestx=new int[MAX］［MAX]; //x用来设置当前警卫，y用来表示监
控//情况，bestx返回最终结果int n，m, best，k = 0，t = 0；//当前已设置的警卫数为k,受监视的陈列
室//数为t，当前最少警卫数为best void change（int i, int j） { //在(i， j）处设置一个警卫，并改变其周围
受//监控情况
x[i]［j] = 1;
k++;
for（int r = 1; r 〈= 5; r++) ｛//在自己本身跟上下左右五个地方设置受控
int p = i + d[r][1]；
int q = j + d[r］[2]；
y[p]［q］++;
if（y[p］[q］ == 1)
t++；
｝
｝
void restore（int i, int j）｛｝//撤销在（i， j）处设置的警卫，并改变
其周围//受监控情况
void search(int i， int j){｝ //回溯搜索，从上到下、从左至右搜索没被监控
的//位置
五、问题实例及算法运算步骤
首先先说一下监控安置的策略，本思想是安置监控的数量由少到多的策略.
然后用一维数组来记录监控的安装位置
4*4矩阵相应的一维数组就是array[16］一共16个空间，转换成矩阵坐标也比较简单如在array数组中坐标array［8]则对应的矩阵坐标是Matrix［8％4］[8/4］所以完全可以用一维数组来替代矩阵；
再根据一维数组来计算所有安置的可能情况如2*3矩阵共6个空间,假如我要在6个空间安置3个监控则相当于离散数学中组合的概念即C(6，3) = 20；
设陈列馆由m*n个陈列室组成,因为不存在重复监视,所以很多情况下都无解，我们采用的做法是根据m和n的值进行分类讨论。

首先,先比较m、n大小，使m始终大于n，方面程序书写。

分三种情况讨论：
n＝1 这时可以直接写出最优解：
当m mod 3＝1时,将哨位置于（1，3k＋1)；
当m mod 3＝0或2时，将哨位置于（2，3k＋2），其中k＝0、1、…、m/3。

n＝2 这种情形下必须2端分别设置2个哨位，他们各监视三个陈列室。

那么当m 为偶数时问题就无解了.
当m为奇数时，将哨位分别至于(1，4k＋3）和(2，4k＋1）,k＝0、1、…、m/4。

n>2 容易验证
当n＝3，m＝3和n＝3,m＝4时无解，n＝4，m＝4有解。

设置哨位时，允许在的n＋1行和m＋1列设置哨位，但不要求的第n＋1行和m＋1列陈列室受到监视，那么当n>=3且m〉=5时在不重复监视下有解那么n＝3，m＝5的不可重复监视问题一定有解。

但是通过验证n＝3,m＝5的不可重复监视哨位设置问题无解，那么当n〉=3且m〉=5时在不重复监视下无解.
通过以上讨论就将所有情况分析完全了，简单写一个包含多个条件判断的程序就可以实现该算法。

六、算法运行截图
七、算法复杂度分析
回溯法需要为问题定义一个解空间，这个解空间必须至少包含问题的一个解（可能是最优的）。

使用递归回溯法解决问题的优点在于它算法思想简单，而且它能完全便利搜索空
2个,因此，随着物件数n 间，肯定能找到问题的最优解；但是由于此问题解的总组合数有n
2级增长，因此时间复杂度为：O(n n2)。

的增大，其解的空间将以n。